1.写出下列复数的实部，虚部，模和幅角： (1)1+W3:(2)1-cosa+isina,0≤a<2π：(3)emx,x为实数：(4)e: 0d:6:):0哥o产：0em,p是实 的实函数。 we=1.m=5,Aa=c+m-2.Ag=02-号+2a (2)Re=1-cosa,Im=sina,Am=(1-cosa)'+sina=2-2cosa=2sin tan(Arg)-singr2sin cos =o所以Ag-+2r 2sin号 2 (3)Am=1,Arg=sinx+2kz,Re=cos(sinx),Im=sin(sinx): (4)z=x+y,e=e“,Am=ey,Arg=x+2kπ，Re=e'cosx,m=e'sinx (5)Am=e,Arg=y+2kπ，Re=e'cosy,Im=e'siny: o-e-e学，a=2外Aa=1.Ng2n+2, Re-ow im-sin )i=5em泸-5ef传-，m=0.wAm-5,Ag-g+m+2a Re2cosc Im-(sin m周-于学.子 Re=” (9)Am=e,Arg=l+2kπ，Re=ecos1,Im=esinl (10)Am=1,Arg=(x)+2kz,Re=cos[o(x)].Im=sin[o(x)]:
1．写出下列复数的实部，虚部，模和幅角： （1）1 3 + i ；（2）1 cos sin − + α i α ，0 2 ≤α < π ；（3） i x sin e ， x 为实数；（4） iz e ； （5） z e ；（6） 4 −1；（7） 1+ i ；（8） 1 1 i i + − ；（9） 1 i e + ；（10） i x( ) e ϕ ，ϕ ( ) x 是实变数 x 的实函数。 （1）Re 1 = ，Im 3 = ， 2 2 Am Re Im 2 = + = ， Im Arg arctan 2 2 Re 3 k k π π π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + =+ ⎝ ⎠ = ； （2）Re 1 cos = − α ，Im sin = α ， ( )2 2 Am 1 cos sin 2 2cos 2sin 2 = α − + =− = αα α ， ( ) 2 2sin cos sin 2 2 tan Arg cot 1 cos 2 2sin 2 α α α α α α == = − ，所以 Arg 2 2 = k π α π − + ； （3）Am 1 = ， Arg sin 2 =xk + π ， Re cos sin = ( x) ，Im sin sin = ( x) ； （4）z x iy = + ， iz y ix e e− + = ，Am y e− = ，Arg 2 =x k + π ，Re cos y e x − = ，Im sin y e x − = ； （5）Am x = e ， Arg 2 =y k + π ， Re cos x = e y ， Im sin x = e y ； （6） ( ) 1 2 1 4 2 4 4 1 n i i n e e π π π + + −= = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ，( n = 0，1，2，3)，Am 1 = ， 2 1 Arg 2 4 n = k π π + + ， 2 1 Re cos 4 n = π ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠， 2 1 Im sin 4 n = π ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠； （7） 2 2 4 4 4 8 12 2 i n in ie e π π π π ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎟ + + ⎝ ⎠ ⎝⎠ += = ，( n = 0，1)， 4 Am 2 = ，Arg 2 8 =n k π + + π π ， ( ) 4 4 Re 2 cos 1 2 cos 8 8 n n π π π ⎛ ⎞ = + =− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， ( ) 4 Im 1 2 sin 8 n π = − ； （8） ( ) 1 4 2 2 2 2 2 4 4 1 2 1 2 i n n i i n i i e e e i e π π π π π π π + + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ − + ⎡ ⎤ = == ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ ，( n = 0，1)，Am 1 = ，Arg 2 4 =n k π + + π π ， ( ) 1 Re 2 n − = ， ( ) 1 Im 2 n − = ； （9）Am = e ， Arg 1 2 = + kπ ， Re cos1 = e ，Im sin1 = e ； （10）Am 1 = ， Arg 2 =x k ϕ ( ) + π ， Re cos = ⎡ϕ ( x)⎤ ⎣ ⎦ ， Im sin = ⎡ϕ ( x)⎤ ⎣ ⎦ ；
2.把下列关系用几何图形表示出来： )<2,H-=2,2:(2)Re>,1<m<2:(3)ag-)=0, ag+)-了，a照e+1-小-7：(4)0<g0-水牙，0<ag+小<4 子<g(el-2<胥：6a<a吗：<月与7<Re:<6的公共区城a,A.7,6 均为常数：(6)上-<1,1<-<反：(7)-d=上-，a,b为常数：(8) -d+-l=c,其中a,b,c,为常数，且c>a-b:(9)+Rez<l:(10) 0<号 (1) (3)arg(1-)=arg(1-x-y)=0台1-x>0且y=0,即x<1,y=0 ag(+)=arg1+x+)=台1+x>0且y=51+x: rg(e+1-)=arg[x+1+i(y-l)]=5x+1=0且y-1>0
2．把下列关系用几何图形表示出来： （1） z < 2 ， z = 2 ， z > 2 ；（2） 1 Re 2 z > ，1 Im 2 < z < ；（3） arg 1 0 ( ) − = z ， arg 1( ) 3 z π + = ， arg 1 ( ) 2 z i π +− = ；（4 ） 0 arg 1( ) 4 z π < − < ， 0 arg 1( ) 4 z π < + < ， arg 1 2 ( ) 4 3 z i π π < −− < ；（5）α < < arg z β 与γ < Re z < δ 的公共区域，α ，β ，γ ，δ 均为常数；（6） z i − <1，1 2 < −< z i ；（7） za zb − = − ， a ， b 为常数；（8） za zb c −+−= ，其中 a ， b ， c ，为常数，且 c ab > − ；（9） z z + Re 1 < ；（10） 0 arg 4 z i z i ⎛ ⎞ − π < < ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 。 （1） （2） （3）arg 1 arg 1 0 () ( ) − = −− = z x iy ⇔ 1 0 − x > 且 y = 0，即 x <1， y = 0； arg 1 arg 1 1 0 () ( ) 3 z x iy x π + = + + = ⇔+ > 且 y x = 3 1( + ) ； arg 1 arg 1 1 1 0 ( ) () 2 z i x iy x π +− = ++ − = ⇔ += ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 且 y −1 0 >
(4)0<arg-)=arg[-x-]<年台0<-y<l-x: 0<agl+)=arg[0+x+]<平台0<y<1+x: 牙<a8e-1-2)=ag[0x-+i0y-2]小<号台0<x-1<y-2<V5(x-): 5 (9)+Re:=V++x<1,化简得x<(1-y2)
（4）0 arg 1 arg 1 0 1 () () 4 z x iy y x π < − = − − < ⇔ <− < − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ； 0 arg 1 arg 1 0 1 () () 4 z x iy y x π < + = + + < ⇔ < <+ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ； arg 1 2 arg 1 2 0 1 2 3 1 ( ) ( )( ) ( ) 4 3 z i x iy x y x π π < −− = − + − < ⇔ < −< − < − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ； （5） （6） （7） （8） （9） 2 2 z z xyx + = + +< Re 1，化简得 ( ) 1 2 1 2 x < − y
w计周所0 0<-2x<x2+y2-1,即x<0且(x+1)2+y2>2。 3已陶-复数，面出，-，三，是上并指出它们之的儿何关系 把：写成pe”,则正=pe0+n,即把：逆时针旋转90度。-z=peo),即把：逆时到 装转0度。三=心，即：关于实箱的对称点。}，即：关于华位圆的对称点· 41流证到医部1，a,6为任室复数 医-传阁谱
（10） ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 1 z i x y ix x iy z i x iy x y − + −− + − = = + ++ + + ，所以0 arg 4 z i z i ⎛ ⎞ − π < ⎜ ⎟ < ⎝ ⎠ + ⇔ 2 2 02 1 <− < + − xx y ，即 x < 0 且( )2 2 x y +1 2 + > 。 3．已知一复数 z ，画出iz ， −z ， z ， 1 z ， 1 z ，并指出它们之间的几何关系。 把 z 写成 i e ϕ ρ ，则 i( 2) iz e ϕ π ρ + = ，即把 z 逆时针旋转 90 度。 i( ) z e ϕ π ρ + − = ，即把 z 逆时针 旋转 180 度。 i z e ϕ ρ − = ，即 z 关于实轴的对称点。 1 1 i e z ϕ ρ = ，即 z 关于单位圆的对称点。 1 1 i e z ϕ ρ − = ，即 z 关于单位圆的对称点。 4．若 z =1，试证明 1 az b bz a + = + ， a ，b 为任意复数。 ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 1 az b az b az b a abz abz b bz a bz a bz a b abz abz a + + + +++ == = + + + +++ ，所以 1 az b bz a + = +
5.证明下列各式： (1 -1s-1+arg: o补-产-即子 D先证5 记：=p, -1"2-2cs-2sin 2slol-larg=. -H*-s-后g (2) 国。与在得一圆周上、《=野等B=子，由于同所对周周角是 风6角价-卡所-，事ag浮-子 6.用复数：表示曲线上的变点。(I)写出经过点α且与复数b所代表的矢量平行的直线方 程：(2)写出以d和-d为焦点，长轴长2a的椭圆方程(a>d)。 (1)矢量：-a与矢量b平行，所以：-a=kb,k为实数： (2)由椭圆定义得-d+上+d=2a. 7.用复数运算法则推出：(1)平面直角坐标平移公式：(2)平面直角坐标旋转公式
5．证明下列各式： （1） z z zz −≤ −+ 1 1 arg ； （2）若 123 zz z = = ，则 3 2 2 31 1 1 arg arg 2 z z z zz z − = − 。 （1）先证 1 arg z z z − ≤ 。 记 i z e ϕ = ρ ， 1 1 2 2cos 2 sin arg 2 z i e z z ϕ ϕ −= −= − = ≤ = ϕ ϕ 。 1 1 1 1 1 1 arg z z zz z zz z z z z z z z −= − + −≤ − + −= −+ −≤ −+ 。 （2） 如图， 1z ， 2 z ， 3 z 在同一圆周上， 3 2 3 1 arg z z z z α − = − ， 2 1 arg z z β = 。由于同弧所对圆周角是 圆心角的一半，所以 1 2 α = β ，即 3 2 2 31 1 1 arg arg 2 z z z zz z − = − 。 6．用复数 z 表示曲线上的变点。（1）写出经过点 a 且与复数b 所代表的矢量平行的直线方 程；（2）写出以 d 和 −d 为焦点，长轴长 2a 的椭圆方程（ a d > ）。 （1）矢量 z a − 与矢量b 平行，所以 z a kb − = ， k 为实数； （2）由椭圆定义得 zd zd a −++ = 2 。 7．用复数运算法则推出：（1）平面直角坐标平移公式；（2）平面直角坐标旋转公式