福建交通职业技术学院教案纸 第页 课程：航海数学10-1山学年第二学期第周月日 教学内容 备注 1.1函数概念 一、新课引入 函数是航海数学研究的主要对象，极限概念是微积分学的理论基础，本章将介绍函数、极 限和函数连续性等基本概念，以及它们的一些性质，这些内容是学习本课程必须掌握好的基靴知识 二、讲授新课 1.基本初等函数 我们把幂函数y=x“(a为实数)，指数函数y=a(a>0且a≠)，对数函数y=log。x (a>0且a≠1)，三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.其中三角函数为六个函数： y=sinx:y=cosx:y=tanx:y=cotx:y=secx:y=cscx.反三角函数为四个函数 y=arcsin x:y=arccosx:y=arctanx:y=arccotx. (1)幂函数y=x(a∈R) 它的定义域和值域依a的取值不同而函数在x∈(0，+)内总有定不同，但是无论a取何值， 系函数在x∈0，)内总有定义.当aeN或a=2m- 1 ,neN时，定义域为R.常见的幂 函数的图形如图1-1所示 <1 a>1 , 图1-2 (2)指数函数y=a'(a>0,a≠)，它的定义域为(o,+o),值域为0，+o) 指数函数的图形如图1-2所示
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 1 1.1 函数概念 一、新课引入 函数是航海数学研究的主要对象，极限概念是微积分学的理论基础，本章将介绍函数、极 限和函数连续性等基本概念，以及它们的一些性质，这些内容是学习本课程必须掌握好的基础知识. 二、讲授新课 1．基本初等函数 我们把幂函数 y = x （ 为实数），指数函数 x y = a (a 0 且 a 1) ，对数函数 y x a = log (a 0 且 a 1) ，三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. 其中三角函数为六个函数： y = sin x ； y = cos x ； y = tan x ； y = cot x ； y = sec x ； y = csc x .反三角函数为四个函数： y = arcsin x ； y = arccos x ； y = arctan x ； y = arc cot x . （1）幂函数 y x (a R) a = 它的定义域和值域依 a 的取值不同而函数在 x(0,+) 内总有定不同，但是无论 a 取何值， 幂函数在 x(0,+) 内总有定义. 当 a N 或 n N n a − = ， 2 1 1 时，定义域为 R . 常见的幂 函数的图形如图 1-1 所示. （2）指数函数 y = a (a 0 a 1) x ， ，它的定义域为 (−，+ ) ，值域为 (0，+ ). 指数函数的图形如图 1-2 所示． 图 1-2 图 1-1
福建交通职业技术学院教案纸 第顶 课程：航海数学一_10-11学年第二学期第二周_月日 教学内容 备注 (3)对数函数y=log。x(a>0,a≠1) 定义域为(0，+)，值域为(0，+可).对数函数 y=lbg。x是指数函数y=a的反函数.其图形见图1-3. 在工程中，常以无理数e=2.718281828.,作且记为 a<1 指数函数和对数函数的底，记e=expx,log。x=lnx, 1- 而后者称为自然对数函数 (4)三角函数 三角函数有：正弦函数y=smx、余弦函数y=cosx、正切函数y=tanx、余切函数 y=cotx、正割函数y=SCcx和余割函数y=cSCx.其中正弦、余弦、正切和余切函数的 图形见图1-4所示 -1 图1-
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 2 （3）对数函数 y = log x (a 0 a 1) a ， ， 定义域为 (0，+ ) ，值域为 (−，+ ). 对数函数 y x a = log 是指数函数 x y = a 的反函数. 其图形见图 1-3. 在工程中，常以无理数 e＝2.718281828.，作且记为 指数函数和对数函数的底，记 exp x e x = ，log ln e x x = ， 而后者称为自然对数函数. （4）三角函数 三角函数有：正弦函数 y = sin x 、余弦函数 y = cos x 、正切函数 y = tan x 、余切函数 y = cot x 、正割函数 y = sec x 和余割函数 y = csc x . 其中正弦、余弦、正切和余切函数的 图形见图 1-4 所示. 图 1-3 图 1-4
福建交通职业技术学院教案纸 第页 课程 航海数学 10-11学年第二学期第周一月一日 教学内容 备注 (5)反三角函数 反三角函数主要包括反正弦函数 y=arcsinx、反余弦函数y=arccosx、反 正切函数y=arctanx和反余切函数 y=arccotx等.它们的图形如图1-5所示. 2.复合函数 如果y是u的函数y=f(),u是x的 函数u=p(x),D表示使得函数y=f()和 “=(x)都有定义的x值的集合，当变量x任 取D中的一个数时都有唯一确定的y与之对 应，我们则称y是x的复合函数，记作 y=f(x),其中x称为自变量，u称为中间变量.若复合函数是由多个函数复合而成， 中间变量可用变量u,v,w,5,1等表示. 注意：函数u=(x)的值域应在函数y=f(的定义域内，否则就没有意义 例如y=22和y=arctan2x等是复合函数：而y=arcsin(x2+2)则没有意义. 例1指出函数y=sn2(2x+1)的复合过程. 解复合过程为y=2,u=sin(w),v=2x+1. 例2指出函数y=2cos23(x2+2)2-1的复合过程. 解复合过程为y=22-1,u=c0sv,v=3w2,w=x2+2 3.初等函数 由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算或经过有限次的复合步骤所构成的，并且 用一个解析式子表示的函数叫做初等函数。 例如y=2,y=3sinx,y=2+G,y=sn32x,y=M(x-)
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 3 （5）反三角函数 反 三 角 函 数 主 要 包 括 反 正 弦 函 数 y = arcsin x 、反余弦函数 y = arccos x 、反 正 切 函 数 y = arctan x 和 反 余 切 函 数 y = arc cot x 等．它们的图形如图 1-5 所示. 2．复合函数 如果 y 是 u 的函数 y = f (u)，u 是 x 的 函数 u = (x) ，D 表示使得函数 y = f (u) 和 u = (x) 都有定义的 x 值的集合，当变量 x 任 取 D 中的一个数时都有唯一确定的 y 与之对 应，我 们则称 y 是 x 的复合函 数，记作 y = f ((x)) ，其中 x 称为自变量， u 称为中间变量．若复合函数是由多个函数复合而成，则 中间变量可用变量 u ， v， w， s ，t 等表示． 注意：函数 u = (x) 的值域应在函数 y = f (u) 的定义域内，否则就没有意义. 例如 x y 2 = 2 和 y = arctan 2x 等是复合函数；而 arcsin( 2) 2 y = x + 则没有意义. 例 1 指出函数 sin (2 1) 2 y = x + 的复合过程． 解 复合过程为 2 y = u ，u=sin(v)，v=2x+1． 例 2 指出函数 2cos 3( 2) 1 2 2 2 y = x + − 的复合过程． 解 复合过程为 2 1 2 y = u − ，u = cosv ， 2 v = 3w ， 2 2 w = x + ． 3．初等函数 由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算或经过有限次的复合步骤所构成的，并且可 用一个解析式子表示的函数叫做初等函数． 例如 2 2 x y = ， y = 3sin x ， y = 2 + x ， y sin 2x 3 = ， y = ln( x −1) ， 图 1-5
福建交通职业技术学院教案纸第页 课程：航海数学一10-1学年第二学期第一周一月一日 教学内容 备注 y=arctan3x等都是初等函数.不难发现，我们过去所见到的函数一般都是初等函数 4.分段函数 有些函数虽然也可以用解析式表示，但不能用一个解析式表示，在定义域的不同范围具有 不同的解析式，这样的函数称为分段函数。 如少=r>0 「1x>0 -xx0y=0=0等都是分段函数 -1x<0 1.2函数极限 1.当x→o时的极限 当x→o(x→+o或→o)时，函数∫(x)的极限. 考察函数)=的图形， 容易发现不论x→-0或x→+0都有y→0.这样我们称该函数当x→0时的极限 为0（或f(x)收敛于0），记作mf(x)=0或my=0. 一般的，当x→o时，fx)一A(常数)，则称当x→时f(x)的极限为A,记为 mf(x)=A.否则，则称fx)的极限不存在.当x→-oo时fx)的极限记为imf() 当x→+oo时f(x)的极限记为limf(x). 极限mfx)=A存在的充分必要条件是1imf(x)和1mf(x)存在且相等。 例1 m arctanx=-乏marctan x-交，但marctanx≠mrctanx,所以 im arctanx不存在
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 4 y = arctan 3x 等都是初等函数. 不难发现，我们过去所见到的函数一般都是初等函数. 4．分段函数 有些函数虽然也可以用解析式表示，但不能用一个解析式表示，在定义域的不同范围具有 不同的解析式，这样的函数称为分段函数. 例如 0 0 x x y x x = − ， − = = 1 0 0 0 1 0 x x x y ， 等都是分段函数. 1.2 函数极限 1. 当 x → 时的极限 当 x → → → (x + 或 - ) 时, 函数 f x( ) 的极限. 考察函数 x y 1 = 的图形， 容易发现不论 x → −或 x → + 都有 y → 0 . 这样我们称该函数当 x → 时的极限 为 0（或 f (x) 收敛于 0），记作 lim f (x) x→ =0 或 y x→ lim =0. 一般的，当 x → 时， f (x) →A（常数），则称当 x → 时 f (x) 的极限为 A，记为 f x A x = → lim ( ) . 否则，则称 f (x) 的极限不存在.当 x →− 时 f (x) 的极限记为 lim ( ) x f x →− ； 当 x → + 时 f (x) 的极限记为 lim ( ) x f x →+ . 极限 f x A x = → lim ( ) 存在的充分必要条件是 lim ( ) x f x →− 和 lim ( ) x f x →+ 存在且相等. 例 1 2 lim arctan = − →− x x ， 2 lim arctan = →+ x x ，但 lim arctan x x →− lim arctan x x →+ ，所以 x x lim arctan → 不存在
福建交通职业技术学院教案纸 第页 课程： 航海数学 10-11学年第二学期第周一月一日 教学内容 备注 例2lime=0,lme2=o. 2.当x→x时的极限 例4考察当x→0.5时，函数f(x)=2x+1→？ 列表观察 从左侧05 x.0.490.4990.4999.0.5.0.50010.5010.51. fx).1.981.9981.9998.2·2.00022.0022.02. 从表中可以看出当x→0.5（无论x从左侧或从右侧趋于0.5）时，函数(x)=2x+1的值 总是趋于2.这样我们则称当x→0.5时，函数f(x)=2x+1的极限为2，记为m,(2x+)十2. 一般的，当x→x,时，f(x)→A(常数)，则称当x→x时f(x)的极限为A,记为 mf()=A.若x是从左侧趋于x。(记为x→)时f(x)的极限为A,则称当 x→x。时f(x)的左极限为A,记为mfx)=A:若x是从右侧趋于x。(记为x→x） 时fx)的极限为A,则称当x→x,时∫()的右极限为A,记为mf)=A 极限mf(x)=A存在的充分必要条件是imf(x)和1imfx)存在且相等. 要清楚地认识 的观案说明甲片2 到何时用左右极 注意到函数产一 限，何时不要用 这说明当x→x。时，函数∫(x)的极限与函数在x=x。处有没有定义无关：反之，有定义也 未必有极限. 「1，x<0, 又如f)={0x=0在x=0有定义，但由于x)=1,mf=-1,即 -1.x>0
福建交通职业技术学院教案纸 第 页 课程： 航海数学 10-11 学年 第_ 一 _学期 第 周 月 日 教 学 内 容 备 注 5 例 2 lim = 0 →− x x e ， = →+ x x lim e . 2. 当 0 x → x 时的极限 例 4 考察当 x →0.5 时，函数 f (x) = 2x +1 → ? 列表观察 从左侧 → 0.5 ← 从右侧 x 0.49 0.499 0.4999 0.5 0.5001 0.501 0.51 f (x) 1.98 1.998 1.9998 2 2.0002 2.002 2.02 从表中可以看出当 x →0.5 （无论 x 从左侧或从右侧趋于 0.5）时，函数 f (x) = 2x +1 的值 总是趋于 2. 这样我们则称当 x →0.5 时，函数 f (x) = 2x +1 的极限为 2，记为 lim (2 1) 2 0.5 + = → x x . 一般的，当 0 x → x 时， f (x) → A（常数），则称当 0 x → x 时 f (x) 的极限为 A，记为 f x A x x = → lim ( ) 0 . 若 x 是从左侧趋于 0 x （记为 − → 0 x x ）时 f (x) 的极限为 A，则称当 − → 0 x x 时 f (x) 的左极限为 A，记为 f x A x x = → − lim ( ) 0 ；若 x 是从右侧趋于 0 x （记为 + → 0 x x ） 时 f (x) 的极限为 A，则称当 + → 0 x x 时 f (x) 的右极限为 A，记为 f x A x x = → + lim ( ) 0 . 极限 f x A x x = → lim ( ) 0 存在的充分必要条件是 0 lim ( ) x x f x → − 和 0 lim ( ) x x f x → + 存在且相等. 要清楚地认识 例 3 观察说明 2 1 1 lim 2 1 = − − → x x x . 到何时用左右极 注意到函数 1 1 2 − − x x 在 x =1 点处没意义，而当 x →1 时， 函数 1 1 2 − − x x 的值的变化趋势却是 2. 限，何时不要用. 这说明当 0 x → x 时，函数 f (x) 的极限与函数在 0 x = x 处有没有定义无关；反之，有定义也 未必有极限. 又如 , 0, 0, , 0, 1 0 1 ( ) = − = x x x f x 在 x = 0 有定义，但由于 lim ( ) 1 1 = → − f x x ， lim ( ) 1 1 = − → + f x x ，即左