解原式=2sind(=-2cos√F+C 例5∫cos2xsin3xdk 解原式=-小os2l-cos2xd(eosx)=-写cosx+5cosx+C. 以下例题是先适当变形后再用凑微分法： 例6「sn2xdk 解原式-小g2k-ow2d02-n2x+c 例7∫tanxdx. 期原默-0=-可cas=-c)+C. 州后之血 解原式=∫水三=∫x一d合=acsm。+C a - 1 例9可a+x欧 解原式=∫1。k=1d白=arctan产+C ar0+)a1+(r 1 例10∫7+2x+号 1 期默-2x+小方是+c. 解默-小o-at网=ga中a -2ha-+嘉a*+c-h4C 例12∫secxdx
52 解 原式 = = − + 2 sin ( ) 2cos xd x x C . 例 5 2 3 cos sin x xdx . 解 原式 2 2 = − − cos (1 cos ) (cos ) x x d x 1 1 5 3 cos cos 5 3 = − + + x x C . 以下例题是先适当变形后再用凑微分法： 例 6 xdx 2 sin . 解 原式 1 cos 2 2 x dx − = 1 1 cos 2 (2 ) 2 4 = −x xd x 1 1 sin 2 2 4 = − + x x C . 例 7 ta xdx n . 解 原式 sin cos x dx x = 1 (cos ) cos d x x = − = − + ln(cos ) x C . 例 8 − dx a x dx 2 2 . 解 原式 2 2 1 dx dx x a a = − 2 ( ) 1 ( ) dx x d x a a = − arcsin x C a = + . 例 9 dx a x + 2 2 1 . 解 原式 2 2 2 1 (1 ) dx x a a = + 2 1 1 ( ) 1 ( ) x d a a x a = + arctan x C a = + . 例 10 2 1 2 3 dx x x + + . 解 原式 2 1 1 2 ( 1) arctan 2 ( 1) 2 2 x d x C x + = + = + + + . 例 11 dx a x − 2 2 1 . 解 原式 dx a x a x − + = ( )( ) 1 dx a a x a x ) 1 1 ( 2 1 + + − = ( ) 1 2 1 ( ) 1 2 1 d a x a a x d a x a a x + + − + − − = 1 1 ln( ) ln( ) 2 2 a x a x C a a − = − + + + 1 ln 2 a x C a a x + = + − . 例 12 sec xdx
解原式=∫e+amh=∫cx+ secx+tanx secx+tanx d(sec x+tan)=In(scxtan)+C. secx+tan x 1 例181+e 解式-=本=可ee+0=-e++C 州- 解原我-j+-243x+3-2-小c-2x+3-子h 1+x =3x-r2+3x-2n1+x+C. 注：1、利用变量代换法，得到结论时要记住将变量回代： 2、通常，我们用“凑微分”法而不用变量代换法求积分。 练习题3.2 求下列不定积分： 1.∫e-ak: 2.「x(2x2-1)3k: 3∫e 4 s血： &jin-山本 x 9∫a: 10.∫csexd: ' 2: 13.「x2dk: 14.「sin2xcos2xdk: 15.[sin'xcos'xdx 6.∫sin3xcos'xk: 17.∫1+2x:
53 解 原式 + + = dx x x x x x sec tan sec (sec tan ) + + = dx x x x x x sec tan sec sec tan 2 + + = x x d x x sec tan (sec tan ) = + + ln(sec tan ) x x C . 例 13 dx e x 1+ 1 . 解 原式 1 ( 1) ln( 1) 1 1 x x x x x e dx d e e C e e − − − − − = = − + = − + + + + . 例 14 3 2 1 1 x x x dx x − + + + . 解 原式 3 2 2 2 2 3 3 2 1 x x x x x dx x + − − + + − = + 2 2 ( 2 3 ) 1 x x dx x = − + − + 1 3 2 3 2ln(1 ) 3 = − + − + + x x x x C . 注：1、利用变量代换法，得到结论时要记住将变量回代； 2、通常，我们用“凑微分”法而不用变量代换法求积分. 练习题 3.2 求下列不定积分： 1. 3 1 x e dx − + ； 2. 2 3 x x dx (2 1) − ； 3. e dx x x 1 2 1 ； 4. + dx x x 2 9 ； 5. + dx x 2 9 1 ； 6. sin( 1) x dx x − ； 7. 2 1 ln ln x dx x x + ； 8. − dx x x 2 1 arcsin ； 9. 2 2 1 dx x a − ； 10. cscxdx ； 11. + dx x x 2 cos 1 tan ； 12. 2 3 1 x dx x − ； 13. 2 1 2 x x dx + ； 14. 2 2 sin cos x xdx ； 15. 2 3 sin cos x xdx ； 16. 3 4 sin cos x xdx ； 17. 3 2 (1 2 ) + x dx ； 18. + dx e e x x 1 2 ；
20.sincos sinx-cosx ·3.3第二类型换元法 有时被积函数较复杂，不能用前面所学的积分法求出积分，但当我们作了适当的变量代 换x=()后，所得到新的积分可以求得，这就是第二类型换元积分法 对于∫f(x)dk,设F(x)是f((x)o'(x)的一个原函数. 作变量代换，令x=p),有dk=p'0)dh,则 ∫f(x)dk=∫f(p)o'0d=F)+C=F(p'(x)+C. 一般地，第二类型换元法的类型有： （①)含r+b:作变量代挨x=-b a (2)含Va2-x2:作变量代换x=asint (3)含Vx2+a2:作变量代换x=atant: (4)含V2-a2:作变量代换x=asec1. 1j,a血 解令2x=1,则k=d. 默后-40n =1-In(1+0)+C=2x-In(1+2x)+C 例2+ 解令x=P,则dk=6rdh 照默-g=64f-f1h=小c-+1-4 1+1
54 19. 2 1 2 2 x dx x x − − + ； 20. sin cos sin cos x x dx x x + − ； 21. 3 1 1 x dx x + − . * 3．3 第二类型换元法 有时被积函数较复杂，不能用前面所学的积分法求出积分，但当我们作了适当的变量代 换 x t = ( ) 后，所得到新的积分可以求得，这就是第二类型换元积分法. 对于 f x dx ( ) ，设 F x( ) 是 f x x ( ( )) ( ) 的一个原函数. 作变量代换，令 x t = ( ) ，有 dx t dt =( ) ，则 f x dx ( ) = f t t dt ( ( )) ( ) = + F t C ( ) 1 F x C ( ( )) − = + . 一般地，第二类型换元法的类型有： （1）含 ax b + ：作变量代换 2 t b x a − = ； （2）含 2 2 a − x ：作变量代换 x = asin t ； （3）含 2 2 x + a ：作变量代换 x = a tan t ； （4）含 2 2 x − a ：作变量代换 x = asect . 例 1 1 1 2 dx + x . 解 令 2x t = ，则 dx tdt = . 原式 1 t dt t = + ( 1) 1 1 t dt t + − = + 1 (1 ) 1 dt d t t = − + + = − + + t t C ln(1 ) = − + + 2 ln(1 2 ) x x C . 例 2 3 1 dx x x + . 解 令 6 x t = ，则 5 dx t dt = 6 . 原式 3 6 1 t dt t = + 3 2 2 1 1 6 1 t t t t t dt t + − − + + − = + 2 1 6 ( 1 ) 1 t t dt t = − + − +
=2r3-32+6-6In1+1)+C=2F-3F+6F-6ln(+1)+C. 例3 解令x=asint,则dk=acostdr 原式=sin=fasinte=-aost+C=-匠-+C acost 例4「1 dx (a2+x23)月 解令x=atant,则k=asec21d ya+x t 式 a 图3.3.1 由am1-作辅助三角形（如图及.D,由图中得51二后十家·即 a 原式广+F+C. 注：1、用哪类换元积分法，一般地说有其特定的题型。但不是绝对的，如例3，两种方 法都适用： 2、用变量代换法求不定积分需回代 练习题3.3 求下列不定积分： 2∫F+: s 55
55 3 2 = − + − + + 2 3 6 6ln( 1) t t t t C 3 6 6 = − + − + + 2 3 6 6ln( 1) x x x x C . 例 3 2 2 x dx a x − . 解 令 x = asin t ，则 dx = acostdt . 原式 sin cos cos a t a tdt a t = = a tdt sin = − + a t C cos 2 2 = − − + a x C. 例 4 dx a x + 2 3 2 2 ( ) 1 . 解 令 x = a tan t ，则 dx a tdt 2 = sec . 原式 2 3 3 sec sec a t dt a t = 2 2 1 sin cos t tdt C a a = = + . 由 tan x t a = 作辅助三角形（如图 3.3.1），由图中得 2 2 sin x t a x = + ，即 原式 2 2 2 x C a a x = + + . 注：1、用哪类换元积分法，一般地说有其特定的题型. 但不是绝对的，如例 3，两种方 法都适用； 2、用变量代换法求不定积分需回代. 练习题 3.3 求下列不定积分： 1. 1 1 1 dx + −x ； 2. 4 1 dx x x + ； 3. ( ) arctan 1 x dx x x + ； 4. 2 1 1 dx x x − ； 5. 2 3 1 (1 ) dx + x 6. 2 2 9 x dx x − . x t a 2 2 a x + 图 3.3.1
3.4分部积分法 有些形如∫fxg(x本的积分，用前面的求法都无效，可以用下述的分部积分法来解 由微分的乘法法则，有d(m)=wd+vd,两边求不定积分，∫d(m)=∫u+∫d, 所以∫ud=w-∫vdu.这就是分部积分公式 1、单一函数的积分 例1∫Inxdx。 解原武=hx-小s本=nx-x4C 例2「arcsinxdx. 鼎m小=m+a- =xarcsinx+1-x+C. 例3「arctanxdx =xarctanx-In(1+x)+C. 2、两个函数相乘的积分 例4∫e2本 解原式=de)-e-e=e2-e产+c. 例5∫xsinxdx. 解原式=-∫xd(cosx)=-xCOSx+∫cosxdx=-xCOSx+-sinx+C 例6∫xarctan xdx. g-jmon-号omr品营cn-f片 1 56
56 3．4 分部积分法 有些形如 f x g x dx ( ) ( ) 的积分，用前面的求法都无效，可以用下述的分部积分法来解 决. 由微分的乘法法则，有 d(uv) = udv + vdu ，两边求不定积分， d uv udv vdu ( ) = + ， 所以 udv = uv − vdu. 这就是分部积分公式. 1、单一函数的积分 例 1 ln xdx . 解 原式 1 x x x dx ln x = − = − + x x x C ln . 例 2 arcsin xdx . 解 原式 2 arcsin 1 x x x dx x = − − 1 2 2 2 1 arcsin (1 ) (1 ) 2 x x x d x − = + − − 2 = + − + x x x C arcsin 1 . 例 3 arctan xdx . 解 原式 2 arc n 1 x x ta x dx x = − + 2 2 1 1 arc n (1 ) 2 1 x ta x d x x = − + + 1 2 arc n ln(1 ) 2 = − + + x ta x x C . 2、两个函数相乘的积分 例 4 2x xe dx . 解 原式 1 2 ( ) 2 x = xd e 1 1 2 2 2 2 x x = − xe e dx 1 1 2 2 2 4 x x = − + xe e C . 例 5 x xdx sin . 解 原式 = − xd x (cos ) = − + x x xdx cos cos = − + + x x x C cos sin . 例 6 x xdx arctan . 解 原式 2 arc n ( ) 2 x = ta xd 2 2 2 1 arctan 2 2 1 x x x dx x = − + 2 2 2 1 1 1 arc n 2 2 1 x x ta x dx x + − = − + 2 2 1 1 arc n (1 ) 2 2 1 x ta x dx x = − + + 2 1 1 arc n arc n 2 2 2 x = − + + ta x x ta x C