《变分法》课程教学资源（知识点例题解，共六部分）

样予章函中则论线续合微中方程边值问题 21函中问题 对泛函求极值的问题称为函中问题,使泛函取 极值的函数称为函中问题集解也称为极值下以 或极值点。专门研究变中问题的学科称为函中 法 有速降线问题是:设O与A是高度不同且不 在同一铅垂线上的两定点,如果没有摩擦和空气 阻力,一质点在重力意用下从O点沿一曲线降落 至A点,问曲线呈何种形状时,质点降落的时间 有短? 设经过O与A的铅垂平质为XOY,OX为水 平轴,OY轴铅垂向下,A点的坐标为(a,b),且 b>0.质点从O开始运动,它的速度与它的纵 坐标有关系: 其中g是重力加速度 设质点降落曲线的方程为y=y(x),则由(2.1.1) 有 由有得 1+y 29y 对有式积中,得出质点沿曲线y=y(x)由O降至 A所需的时间为 t=ty(a)= 2.1.2) 9y 这就说明,质点由O降至A所需的时间t是函数 v(x)的函数,称t是函数y(x)的泛函,有速降线 问题就是在满也边界条件 (0)=0,y(a)=b (2.1.3) 的所有连续函数y(x)中求出一个函数使泛函(2.1.2) 取有小值

C ￾
"=DE0
FGHIJ 2.1 ￾
IJ (￾F)* ￾
IJ, %(￾> F￾￾ ￾
IJ.K, # L  G LM. NQQJI
)* ￾
.RQD)*
<1 O L A
5U S4 STVDL"8ÆUWD%V O88 F O 8VWDQX W A 8)WDXK  8QX & YZ 1! O L A TVY XOY, OX Z YX OY XTVY  A 8P/ (a, b), 4 b > 0. 8F O -[[RU v LQ P/3< v2 = 2gy, (2.1.1) 3
g
8RU 18QXWD  y = y(x), "I (2.1.1)  ds dt = v = 2gy, I4 dt = ds √2gy = 1 + y2 √2gy d x. 
48VWD y = y(x) I O QW A #= & t = t[y(x)] =  a 0 1 + y2 √2gy dx. (2.1.2) 78I O QW A #= & t
￾￾ y(x) ￾￾ t
￾￾ y(x) (￾RQD )*7
;#\=9 y(0) = 0, y(a) = b (2.1.3) #@E￾￾ y(x)
￾￾%(￾ (2.1.2) >ZF 11

出了求出没速降都问题的解面将(2.1.2)中的被 积函函记出 F 2.1.4) 设y(x)中没速降都问题的解面即y(x)满所边界论 件(2.13)且使 F(y, y)d r=min (2.1.5) 对于满所边界论件 (0)=g(a)=0 (2.1.6) 的任意连续函函(x)及任意微函e,函函 y(r)+Ep(a) 均满所边界论件(2.1.3).因此面算函 tly(a)+ep(a) 当ε=0下余没?从ty(x),从而有 y(x)+=(x)l=0=0 (2.1.7) 变(2.1.5)及是敛积是得出 ctly (a)+ep(a) F (y+Ep, y'+Ey)d. Fy(y+ap, y+Ey)p Fy(y+Ep, y+ep)yd =F3(y+e,y+) d 将此义代专(2.1.7)得出 [F(y,y)--F/(3,y) 根据变是子基值引理面变状义得出 F(y,y)-Fy(3y,3)=0 (21.8)

 RQD)* R (2.1.2)
] ￾￾ F(y, y ) = 1 + y2 √2gy . (2.1.4) 1 y(x)
RQD)*  y(x) ;#\= 9 (2.1.3) 4% t[y(t)] =  a 0 F(y, y ) d x = min. (2.1.5) !;#\=9 ϕ(0) = ϕ(a) = 0 (2.1.6) /@E￾￾ ϕ(x) S/￾ ε, ￾￾ y(x) + εϕ(x) T;#\=9 (2.1.3). (￾ t[y(x) + εϕ(x)] B ε = 0 >ZF t[y(x)], F d dεt[y(x) + εϕ(x)]|ε=0 = 0. (2.1.7) I (2.1.5) S
-
4 d dεt[y(x) + εϕ(x)] = d dε a 0 F(y + εϕ, y + εϕ ) d x =  a 0 [Fy(y + εϕ, y + εϕ )ϕ +Fy
(y + εϕ, y + εϕ )ϕ ] d x =  a 0 [Fy(y + εϕ, y + εϕ ) − d dxFy
(y + εϕ, y + εϕ )]ϕ d x. RN (2.1.7) 4  a 0 [Fy(y, y ) − d dxFy
(y, y )]ϕdx = 0. ^UI
: I4 Fy(y, y ) − d dxFy
(y, y )=0. (2.1.8) 12

从变分问题出发导出的微分方程称为该变分问题 的欧拉方程因此,常微分方程(2.1.8)是变分问 题(2.1.5)的欧拉方程.由(2.1.8)可得 在F(y,3)-yF/(y,y Fy(y, yy+ Fy(y, y)y yFy(y,y)-y'Fy(y, y) 因此有 F(y,y)-yFy/(v,)=c=常数 (2.19) 对于最速降线问题,将(2.1.4)代入上式得出 由此得 y(1+y2) 引进变数代换x=x(),并设 则由(2.1.10)有 此式对θ微分得出 rsin e 将(2.1.11)代入上式得 o dr 6, 由此得出 r(1 积分此式,我们得出微分方程(2..10)的通解的 参数表示 r(6-sin 8

FI
)*
=I
)* RSFG. *
 (2.1.8)
I
) * (2.1.5) \V  I (2.1.8) 4 d dx[F(y, y ) − y Fy
(y, y )] = Fy(y, y )y + Fy
(y, y )y −yFy
(y, y ) − y d dxFy
(y, y ) = 0.  F(y, y ) − y Fy
(y, y ) = c = *￾. (2.1.9) !RQD)*R (2.1.4) N4 1 2gy(1 + y2 ) = c. I4 y(1 + y2 ) = 1 2gc2 = 2r. (2.1.10) :I￾W x = x(θ), 1 y = cot θ 2 , (2.1.11) "I (2.1.10)  y = 2r sin2 θ 2 = r(1 − cos θ).  θ 
4 y dx dθ = r sin θ. R (2.1.11) N4 cot θ 2 dx dθ = r sin θ, I4 dx dθ = 2r sin2 θ 2 = r(1 − cos θ). 
7Æ4
 (2.1.10)  !￾2 x = r(θ − sin θ) + x0, y = r(1 − cos θ), 13

其中r与xo为任意实数.根据边界条件(2.1.3), 即由曲线经过坐标原点O得出x0=0,再由曲线 经过Aa,b)可以确定r的值.因此,最速降线是 旋轮线的一段,它是以r为半径的圆周 (2.1.12) 沿ⅹ轴旋转时,圆周上的点(0.0)运动的轨迹 弹性体的平衡问题是一类重要的变分问题 弹性体受外力作用发生变形,变形中克服内力 (弹性体各质点间的约束内力)所做的功,作为能 量贮存在弹性体内部,称为弹性势能或变形能 在除去外力而弹性体恢复原来的形状时,变形能 就采取对外界做功的方式表现出来.弹性力学中 的最小势能原理指出:弹性体在外力作用下,在 适合已知条件的一切位移中,使弹性体处于平衡 状态的位移使总势能 E=变形能-外力所做的功 为最小 例如,我们研究平面上边界固定的均匀薄膜 (不计自重受外力作用后的平衡位移实验证明, 弹性薄膜的变形能与薄膜的面积的增加成正比, 这个比例常数叫做薄膜的张力.设薄膜所在平面 区域为g,边界为a9.在外力作用下,薄膜在点 (x,y)∈g处的垂直位移用a(x,y)表示,则薄膜的 变形能为 ∥+吗+吗xd=12).(21 其中T为薄膜的张力,|92为区域Ω的面积.因 为弹性变形为小变形,当v2+2充分小时,利用 近似公式 变形能(2.1.13)可以改写成 (u2+u2)dxdy (2.1.14)

3
r L x0 /￾ ^U\=9 (2.1.3), IWD!P/,8 O 4 x0 = 0, [IWD ! A(a, b) )" r F RQD
\]D_
 r `X]^< x2 + (y − r) 2 = r2 (2.1.12) V X X\9 ]^8 (0, 0) [YZ a'DY[)*
\8I
)* a'D^ -II
]bJ (a'Dc8&__J) #Td U#a'DJ-a'`GI aa'D^e, I 7f>Td + a'
Z`, @<a'D  b0`=9Ba
%a'DE!Y[ a%Æ` E = I - #Td Z 7ÆQJY\N"Tbgc ( _;8) ^ 5Y[a c< a'gcILgcd.eh h*￾`TgcK 1gc#Y If Ω, \ ∂Ω.  gc8 (x, y) ∈ Ω EVNa u(x, y) 2"gc I T(  Ω  1 + u2 x + u2 y dxdy − |Ω|), (2.1.13) 3
T gcK |Ω| If Ω   a'IZIB u2 x + u2 y 1
Z 6 8d" √ 1 + ε ≈ 1 + ε 2 , I (2.1.13) ig. T 2  Ω  (u2 x + u2 y) d x d y, (2.1.14) 14

再设薄膜在单位面积上所受的力为f(x,y),则此 外力所做的功为 f(r, y)u(a, y)dad 于是薄膜的总势能为 E(u)=2∥(2+2)d2dy-Ⅱ1uad(2.115) 它是函数u(x,y)的泛函.由于薄膜的边界是固定 的,所以有边界条件 u=0,在ag上 (2.1.16) 最小势能原理说明,薄膜受外力∫(x,y)作用后, 在满足边界条件(2.1.16)的函数类中,使总势能 (2.1.15)取最小值的位移u(x,y)就是薄膜达到平 衡位置时的位移 这样一来,弹性薄膜平衡问题的位移就是在边 界条件(2.16)下,变分问题 E()=∥2+)ddy=∥mdd=m 1.1 的解.仿照最速降线问题得出这个变分问题的欧 拉方程是 Poisson方程 a2n_2=,在9中(2.118) dx2 ay2 T 这就说明,在边界条件(2.1.16)下,变分问题(2.117) 的解是 Poisson方程(2.1.18)的解 在一定意义下,边值问题(2.1.18),(2.1.16)等价 于变分问题(2.1.17),(2.1.16) 22变分概念 定义221设Jy(x)是定义在函数集合Y= {y(x)}上的泛函,当v(x),y(x)∈Y时,称 y=dy(r=y(a)-yo( 为自变量y(x)的变分

[1gc#^ f(x, y), " #Td  Ω  f(x, y)u(x, y) d x d y. !
gcÆ` E(u) = T 2  Ω  (u2 x + u2 y) dxdy −  Ω  fu d x d y, (2.1.15) 
￾￾ u(x, y) (￾ I!gc\
N" #\=9 u = 0,  ∂Ω . (2.1.16) Z`, gc^ f(x, y)  5 ;#\=9 (2.1.16) ￾￾\
%Æ` (2.1.15) >ZFa u(x, y) 7
gcjY [h a a'gcY[)*a7
\ =9 (2.1.16) I
)* E(u) = T 2  Ω  (u2 x + u2 y) dxdy −  Ω  fudxdy = min (2.1.17) kRQD)*4I
)*\ V 
Poisson  −u = −∂2u ∂x2 − ∂2u ∂y2 = f T ,  Ω
. (2.1.18) 7\=9 (2.1.16) I
)* (2.1.17)
Poisson  (2.1.18) " \F)* (2.1.18), (2.1.16) HH !I
)* (2.1.17), (2.1.16). 2.2 ￾
VW ! 2.2.1 1 J[y(x)]
"￾￾.0 Y = {y(x)} (￾B y(x), y0(x) ∈ Y  δy = δy(x) = y(x) − y0(x) ;I y(x) I
15