suppy C(-a,a),则有 P()=()=/u(a)d rp"(r)dx+/ p"(a)d r (a)d p(0)+9(0)=26(9) 因此|z|"=26(9) 定理14.6设函数u∈DP(92),则u具有积分的 整体连续性,即对于任意的ε>0,存在δ>0,当 H<6时 lu(ar+h)-u()p<e 定理1.4.7设u∈L(2),则 Hullo≤ulp,lim‖Ju-al=0 注:当Du∈L(2)时,有 lim Dou-Deul 定理14.8(变分法基本引理)如果u∈LP(2)满 足 u(ar)p(a)dx=0, VY E C0(2) 则u=0在9上几乎处处成立(记为u=0a.e.于 g2,或u=0p.p.于9 局部可积函数的广义导数等价于以下定义 定义1.4.9设u,∈L2(2),若对于任意gcc 92,存在函数列un∈C∞(92)满足 lun-lp→0,‖De p→0(n→∞) 则称v是u的a阶广义导数 注:广义导算子就是经典导算子在L的闭 扩张,因此若函数有经典a阶导数存在,则它与 广义a阶导数一致.但是二者也有区别:经典导 数由低阶定义高阶,而广义a阶导数是直接给出 定义,因此高阶广义导数存在不能推出低阶导数 也存在 局部可积函数的广义导数具有如下初等性质
suppϕ ⊂ (−a, a), " |x| (ϕ) = |x|(ϕ) = ∞ −∞ |x|ϕ(x) d x = − 0 −a xϕ(x) d x + a 0 xϕ(x) d x = 0 −a ϕ (x) d x − a 0 ϕ (x) d x = ϕ(0) + ϕ(0) = 2δ(ϕ), |x| = 2δ(ϕ). !" 1.4.6 1 u ∈ Lp(Ω), " u JD@E'!/ ε > 0, # δ > 0, B |h| < δ u(x + h) − u(x) p < ε. !" 1.4.7 1 u ∈ Lp(Ω), " Jhu p ≤ u p, lim h→0 Jhu − u p = 0. <B Dαu ∈ Lp(Ω) lim h→0 Dαuh−Dαu p = 0. !" 1.4.8(I: ) Æ u ∈ Lp(Ω) ; # Ω u(x)ϕ(x) d x = 0, ∀ ϕ ∈ C∞ 0 (Ω), " u = 0 Ω FEE.$ ( u = 0 a. e. ! Ω, G u = 0 p. p. ! Ω). /- HH! " ! 1.4.9 1 u, v ∈ Lp loc(Ω), <!/ Ω ⊂⊂ Ω, # ? un ∈ C∞(Ω ) ;# un − u p → 0, Dαun − v p → 0(n → ∞), " v u α 2 6 . < 7 L1 loc 9 'K< α 2# "L α 2A JM#I%< IK2"52 α 2NI@ "52 # +K2 ## /- H' 6
1)D(au+bu)=aDu+bDou (2)D+au=D(D°u) (3)若Du=0普一切a=m成立的设是必称 条件中u几乎每每等于一个(m-1)次多项 义时 1.5 Soboley空间 定义1.5.1设k为非负整数,p≥1,定义 Soboley空间为 W(92)={u∈DP(D)D°u∈DP(9,va≤k W(92)中的推数定义为 Soboley空间数作Wb(92)或Wk(92) W(92)中完们的空间时 切k=0时,测一W(g)=DP(9) 切p=2时,W2(9)中 Hilbert空间,一般简 数为H(92).这中由于在H(9)中可以定义 内积 (u,)=∑(Da,Dn)=∑/ Deudeydx ·切1<p<+∞时,空间Wb(92)中自反可是 的 Banach空间时 C(9)中W(9)的稠密的时 定义1.5.2能C(92)在W()推数.的完们 化空间为 Soboley空间WbP(g 切1<p<+∞0时,由于C(92)中D(g)的稠 密子的,因此W62(9)=DP(9)=W(g2),但中,切 k>0.2≠P时,Wb2(92)中W(2)的真子空间时
(1) Dα(au + bv) = aDαu + bDαv. (2) Dα+βu = Dα(Dβu). (3) < Dαu = 0 B |α| = m .$1L =9 u FEEH! (m − 1) M'O 1.5 Sobolev ! 1.5.1 1 k NOJ p ≥ 1, " Sobolev Wk p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω)| Dαu ∈ Lp (Ω), ∀ |α| ≤ k}. Wk p (Ω) +" u k,p,Ω = ( |α|≤k Dαu p p) 1/p. Sobolev %& Wk p (Ω) G Wk,p(Ω). • Wk p (Ω) 1Æ%& • B k = 0 W0 p (Ω) = Lp(Ω). • B p = 2 Wk 2 (Ω) Hilbert %&P Hk(Ω). I! Hk(Ω) " J u, v = |α|≤k Dαu, Dαv = |α|≤k Ω DαuDαv d x. • B 1 <p< +∞ %& Wk p (Ω) ;Q Banach %& • C∞(Ω) Wk p (Ω) ;6. ! 1.5.2 C∞ 0 (Ω) Wk p (Ω) + 1Æ %& Sobolev %& Wk,p 0 (Ω). B 1 <p< +∞ I! C∞ 0 (Ω) Lp(Ω) ; 6. Wk,p 0 (Ω) = Lp(Ω) = W0 p (Ω), B k > 0, Ω = Rn Wk,p 0 (Ω) Wk p (Ω) P%& 7
研内Wb(92)的方便的处是W2(92)中的任何 数数都u可以连处延拓到Wb(P).为此,只称让 (x),x∈92 →a构集W6(2)→W()的连处延拓 组X1,X2是两个赋范都性空间,作们的范数分 别为‖·‖1,‖·‖2,着果满足条件 (2)存在常数c,空得‖u2≤cul1,va∈x1 定称空间X1嵌入到空间X2,以作X1→X2,着果 嵌入还满足恒等算子I:X1→X2是条的,定称这 个嵌入是条的 定理1.5.3集立 C(92) p>n, L9(2) 1<q< L甲p/(n-p)(92),p<n 部中以为∽积表局包设关系的简,还表局嵌入 算子是连处的.此简,对任并u∈Wb(2)有不等 式 supLus C(n, p)IQ/mn-I/PIlDullp, p>n, lull≤C(n,q)g2H‖Duln,p=n,1≤q<∞ Tulln/(n-p)≤C‖Dulp,p<n 部中‖Dulp=∑‖ Doull 推论1.54关于W2(92k>1)的情按有嵌入 m -(=-Up(k-D)< n, C(9,0≤1≤k- 推论1.5.5Wb(9)中可以定义着.的等价范 llull.P(=∑Deal
QJ Wk,p 0 (Ω) RE Wk,p 0 (Ω) /K D u @ERK Wk p (Rn). SL u¯(x) = ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ u(x), x ∈ Ω, 0, x/∈ Ω. u → u¯ :. Wk,p 0 (Ω) → Wk p (Rn) @ERK 1 X1, X2 LC+D'%&Æ+ % · 1, · 2, Æ;#=9 (1) X1 ⊂ X2; (2) # * c, %4 u 2 ≤ c u 1, ∀ u ∈ X1, "%& X1 MN %& X2, X1 → X2. Æ MNM;#>H I : X1 → X2 =" MN= !" 1.5.3 .$ W1,p 0 → ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩ C(Ω) ¯ , p > n, Lq(Ω), p = n, 1 ≤ q < ∞, Lnp/(n−p) (Ω), p < n, 3 → 2:1 3M2MN @E / u ∈ W1,p 0 (Ω) H sup Ω |u| ≤ C(n, p)|Ω| 1/n−1/p Du p, p > n, u q ≤ C(n, q)|Ω| 1/q Du n, p = n, 1 ≤ q < ∞, u np/(n−p) ≤ C Du p, p < n, 3 Du p = |α|=1 Dαu p. <= 1.5.4 ! Wk,p 0 (Ω)(k > 1) OMN Wk,p 0 → ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩ Wl,s 0 (Ω), s = np n − (k − l)p,(k − l)p < n, Wl,q 0 (Ω), (k − l)p = n, 1 ≤ q < ∞, Cl (Ω) ¯ , 0 ≤ l ≤ k − n p . <= 1.5.5 Wk,p 0 (Ω) " HH+ u Wk,p 0 (Ω) = |α|=k Dαu p. 8
定义1.5.6号果所在一明固前锥K92,使每明点 x∈O皆有以x为顶点与Ka全等念锥Ka(x)c9, 则能2满足内部锥条件 定理1.5.7号果a满足内部锥条件面则 Lp/(n=P)(92) kp n C(92) 0<l<k WA(Q 0<(k-1)p<m 嵌入前理还可以在H6lder空间得述更精密念 力关时 定义1.5.8 Holder空间Cka()Cka()古C(3)(Ck(9) 念子空间面其k阶通函具有指标a(0<a≤1)念 Holder连续性时所谓知函f具有指函a念 Holder 连续性面意指 f(x)-f(3) 0<a<1. 普Ca(92)具念知函f,可以装备范函 I lk, oo. 3+ max DS 说构成 Banach空间时 定理1.5.9号果a满足内部锥条件面kp>n 则有H6lder空间嵌入 W()7ck-1m/P() 当k-古非整函 C==1(2),当k#古整函 定理1.5.10号果ag满足内部锥条件面则有 wk(9)at C(),A>n,1<k- 2(=m一≤几Em 满足以具条件念嵌入映射古紧映射时 注:前理或前理都要可∂满足内部锥条件面 外古普于W6"(g2),没条件则路必要就古W”(92) 和Wb(92)念重要区使时 定理1.5,11 (Friedrichs路等来面 poincare路等来) 号果u∈W(92),则所在常函M>0,使得 2d)2≤M/∑(u3+1my
! 1.5.6 Æ# N"> KΩ, %E8 x ∈ ∂Ω O x S8L KΩ CH> KΩ(x) ⊂ Ω, " ∂Ω ;# ?3@A. !" 1.5.7 Æ ∂Ω ;#J->=9" Wk p (Ω) → ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ L(np)/(n−kp) (Ω), kp < n, Cl (Ω), 0 ≤ l<k − n p , Wk p (Ω) → Wl s(Ω), s = np n − (k − l)p , 0 < (k − l)p < n. MN" M H¨older %&4 TP6 ! 1.5.8 H¨older %& Ck,α(Ω)( ¯ Ck,α(Ω)) Ck(Ω)( ¯ Ck(Ω)) %&3 k 2@/ α(0 < α ≤ 1) H¨older @E' #T f @ α H¨older @E'@ [f]α,Ω = sup x,y∈Ω,x=y |f(x) − f(y)| |x − y| α < ∞, 0 < α ≤ 1. Ck,α(Ω) f, BÆ+ f Ck,α(Ω) = f k,∞,Ω + max 0≤|β|≤k [Dβf]α,Ω :. Banach %& !" 1.5.9 Æ ∂Ω ;#J->=9 kp > n, " H¨older %&MN Wk p (Ω) → ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ Ck−1,n/p(Ω), B k − n p NJ Ck−n/p−1,1(Ω), B k − n p J. !" 1.5.10 Æ ∂Ω ;#J->=9" Wk p (Ω) → ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ Cl (Ω), kp > n, l < k − n p Ls(Ω), s = np n − kp − ε, kp < n, ε < np n − kp. ;# =9MNUP=UP <" G" D ∂Ω ;#J->=9 ! Wk,p 0 (Ω), =9" L 7 Wk,p 0 (Ω) D Wk p (Ω) 8I% !" 1.5.11(Friedrichs HPoincar´e H) Æ u ∈ W1 2 (Ω), "# * M > 0, %4 ( Ω |u| 2 d x) 1/2 ≤ M[ Ω n i=1 ( ∂u ∂xi ) 2 + | ∂Ω uds| 2 ] 1/2 . 9
敛紧1.5.12对函数集合 B={u∈C(9)∩C()u=0在a上} 有.面的不等式 n2dx≤C/|DuP2dx,vu∈Bb 即 lall≤CDul2,a∈Bb 其中C是与u无关而只与92有关的常数时
<= 1.5.12 .0 B1 0 = {u ∈ C1 (Ω) C0 (Ω) ¯ | u = 0 ∂Ω } H Ω u2 d x ≤ C Ω |Du| 2 d x, ∀ u ∈ B1 0 , u 2 ≤ C Du 2, ∀ u ∈ B1 0, 3 C L u 6 SL Ω * 10