于义22.2为们maxy(x)-()很小,则能 v(x)与v(x)具有零局接其时数数的性 {y(x):|y(x)-0(x)<} 能为v(x)的零局6-邻域时完k中正整数,为们 max{ly(x)-90(x)l,ly(x)-6(x),…,|y(x)-6 很小,则能y(x)与vo(x)有k局接其时数数的性 v(x):max{lv(x)-0(x),y(x)-b6(x),…,|y(x)-01}<} 能为v(x)的k局6-邻域时 于义22.3为们普于任意的>0,普v(x)的 k局6-邻域中的任拓y(x),恒有 J(x)-J[vo(x)<ε 则能Jv(x)中在w(x)每具有k局接其度的连续 泛数时 于义224完F(x,y,y)中关于三个变元x,y,y 的二局连续可微的数数,完x任意入定,n(x)中 任意可微数数,ε中小参数,则F(x,y,y)的增量 为 △F=F 由 Taylor公义,有 △F +n1+R 系中R中ε→0的高局的无穷小时能 OF OF SF 为数数F(x,y,y)的变是时 于义2.25为们泛数Jv(x)的增量△J=J/+ -J可以表示为 AJ=Jy, dy+B(y, Sy)max Syl 系中Jy,6普by而言中线性的,并且切6y→0 B(v,6y)→0,则能Jy,6为泛数J的变 是,数意6J,即 y, dyl
! 2.2.2 Æ max |y(x) − y0(x)| aZ" y(x) L y0(x) b2I8 .0 {y(x) : |y(x) − y0(x)| < δ} y0(x) b2 δ- cf 1 k eJÆ max{|y(x) − y0(x)|, |y (x) − y 0(x)|, ··· , |y(k) (x) − y(k) 0 |} aZ" y(x) L y0(x) k 2I8 .0 {y(x) : max{|y(x)−y0(x)|, |y (x)−y 0(x)|, ··· , |y(k) (x)−y(k) 0 |} < δ} y0(x) k 2 δ- cf ! 2.2.3 Æ!/ ε > 0, y0(x) k 2 δ- cf/K y(x), > |J[y(x)] − J[y0(x)]| < ε, " J[y(x)] y0(x) E k 2I8U@E ( ! 2.2.4 1 F(x, y, y ) !eIi x, y, y J2@E 1 x /N" η(x) / ε Z!" F(x, y, y ) d ∆F = F(x, y + εη, y + εη ) − F(x, y, y ). I Taylor " ∆F = ∂F ∂y εη + ∂F ∂y εη + R, 3 R ε → 0 5265Z δF = ∂F ∂y εη + ∂F ∂y εη F(x, y, y ) I ! 2.2.5 Æ( J[y(x)] d ∆J = J[y + δy] − J[y] 2 ∆J = J[y, δy] + β(y, δy) max |δy|, 3 J[y, δy] δy jD'4B δy → 0 β(y, δy) → 0, " J[y, δy] ( J[y] I δJ, δJ = J[y, δy]. 16
下,再给出一种较弱的变是的定义.有虑含参 数a的一系列容许曲线y(x)+aby,将y(x),by任意 固定,而式泛函J+a6y看成参数a的函数, 记作(a)=Jy+a6y 定解226出果(0)=a/b+aol=0存在, 则称亚(0)为泛函J的变是,也记作6,即 8 =d(0)=Jy+adyllo-o 定解2.2.7设v(x)分泛函J的容许曲线集 中的某一函数,若对于任意的y∈Y,都最 Jb(x)≤Jvo(x)(或Jv(x)≥Jbo(x)]), 则称泛函J在v(x)处达到极大(小方,并称 v(x)为J的极大(小)方曲线 若对于v(x)的零阶8-邻域内的所最函数y(x) 都最 Jb(x)≤Jbo(x)(或/b(x)≥J(x)) 则称泛函在v(x)处达到强极大(小)方 若对于v(x)的一阶6-邻域内的所最函数y(x) 都最 J(x)≤Jo(x)(或J(x)≥J()) 则称泛函J在(x)处达到弱极大(小)方 23变分法基本引理 基本引理231设o(x)∈Ca,b,出果对于任意 的m(x)∈CH[a,bl,m(a)=m(b)=0,恒最 o(a)n(a)dr=0, 则在变间{a,上,o(x)≡0. 证明:用反证法.假设o(x)在[a,b中的某点 处不等于零,不妨设(xo)>0.由o(x)的连续 性知,必定存在变间[z1,x2,使xo∈[z1,2lca,b 而得当x∈{1,x2l,o(x)>0.取 a≤x≤x1 n(x)={(x-x12(x-2)2,n1<x<n2 ≤x≤x1
[@ dfI" 1! α 3?g WD y(x)+αδy, R y(x), δy / N"( J[y + αδy] A.! α Φ(α) = J[y + αδy]. ! 2.2.6 Æ Φ (0) = ∂ ∂αJ[y +αδy]|α=0 # " Φ (0) ( J[y] I# δJ, δJ = Φ (0) = ∂ ∂αJ[y + αδy]|α=0. ! 2.2.7 1 y0(x) ( J[y] g WD. Y 9<!/ y ∈ Y , D J[y(x)] ≤ J[y0(x)](G J[y(x)] ≥ J[y0(x)]), "( J[y] y0(x) Ej l (Z) F y0(x) J[y] l (Z) FWD <! y0(x) b2 δ- cfJ# y(x), D J[y(x)] ≤ J[y0(x)](GJ[y(x) ≥ J[y0(x)]), "( J[y] y0(x) Ej hl (Z) F <! y0(x) 2 δ- cfJ# y(x), D J[y(x)] ≤ J[y0(x)](GJ[y(x)] ≥ J[y0(x)]), "( J[y] y0(x) Ej fl (Z) F 2.3 X" X" 2.3.1 1 φ(x) ∈ C[a, b], Æ!/ η(x) ∈ C1[a, b], η(a) = η(b) = 0, > b a φ(x)η(x) d x = 0, " I& [a, b] φ(x) ≡ 0. :< Q< e1 φ(x) [a, b] 98 x0 E H!b m1 φ(x0) > 0. I φ(x) @E '`L"# I& [x1, x2], % x0 ∈ [x1, x2] ⊂ [a, b], 4B x ∈ [x1, x2] φ(x) > 0. > η(x) = ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 0, a ≤ x ≤ x1 (x − x1)2(x − x2)2, x1 <x<x2 0, x1 ≤ x ≤ x1 17
则n(x1)=n(x2)=0,m(x)在{1,2上给续,也就 是说n(x)适合引理1的条件.但是 o(x)n(x)dx=/o()(x-1)2(x-2)2dx>0 这与引理的假设矛盾,故o(x)=0 微本引则2.3.2设9为平面区域,的边并 为r,o(x,y)∈C(92),若对任一在!+r上给续可微 且在r上取零方的数数n(x,y),恒最 p(a, y)n(a,y)dxdy=0 则在9上a(x,y)=0. 证引若用反证法.假设(x,y)在9中的某点 (x0,3)∈9处不等于零,不妨设(xo,)>0.由 o(x,y)的给续性知,必定所在r>0,使a(x,y)在 圆S:(x-x0)2+(y-90)2<r2内仍为正,而且 Src9.取 n(a, y) (x-x0)2+(y-90)2≥r2 (x-x0)2+(y-90)2-72)2,(x-x0)2+(y-)2<r2 则n(x,y)∈C1(92),且n(x,y)|r=0.但是 p(, y)n(a, y)dxd o(x,y)(x-x0)2+(y-0)2-r22 这与引理的假设矛盾,故(x,y)≡0
" η(x1) = η(x2) = 0, η (x) [x1, x2] @E#7 η(x) b0: 1 =9 b a φ(x)η(x) d x = x2 x1 φ(x)(x − x1) 2 (x − x2) 2 dx> 0, L: e1inf φ(x) ≡ 0. X" 2.3.2 1 Ω YIf Ω \ Γ, φ(x, y) ∈ C(Ω), </ Ω+Γ @E 4 Γ >bF η(x, y), > Ω φ(x, y)η(x, y) dxdy = 0, " Ω φ(x, y) ≡ 0. :< Q< e1 φ(x, y) Ω 98 (x0, y0) ∈ Ω E H!b m1 φ(x0, y0) > 0. I φ(x, y) @E'`L"# r > 0, % φ(x, y) ] Sr : (x − x0)2 + (y − y0)2 < r2 Jje4 Sr ⊂ Ω. > η(x, y) = ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ 0, (x − x0)2 + (y − y0)2 ≥ r2, ((x − x0)2 + (y − y0)2 − r2)2, (x − x0)2 + (y − y0)2 < r2, " η(x, y) ∈ C1(Ω), 4 η(x, y)|Γ = 0. Ω φ(x, y)η(x, y) dxdy = Ω φ(x, y)[(x − x0)2 + (y − y0)2 − r2] 2 dxdy > 0, L: e1inf φ(x, y) ≡ 0. 18
几三章固定边界的数是接题 31最筒单情况下的 Euler乎或 先讨论最基本的泛函 J(x)=/F(x,y,y)dx(3.1.1) 的极值问题,其中F∈C2,y(x)∈C2({xo,x1),且满 足边作条件 y(xo)=90,y(x1)=y1 3.1.2 设y(x)空J达到极值,现推导y(x)应满足的 条件.考虑以实数a为参数的一系列容许曲线 =y(x)+a6y,其中b为y(x)的变分,即 dyl =x0 a-1 显一列=0=90列=n1=1,9∈C2(x0,x1]),当a 时,=y(x)中空泛函(3.1.1)达到极值的曲线 将0代入义(3.1.1),便得 p(a)=Jly+adyl F(r,y+ady, y+ady)d c ya)在a=0时恒得极值,由极值的必要条件, 有 p(0)- oa y+ adyllo=0 (3.1.3) (FySy+Fy Sy)da 由分部积分法,界注意到 有 Fyoy'dx Fyd(oy) 将上义代入(3.1.3)义,得 0)=067=/F- FylSyda=0
Y Z!H[.IJ 3.1 Æ\]^_. Euler FG 98( J[y(x)] = x1 x0 F(x, y, y ) d x (3.1.1) F)*3 F ∈ C2, y(x) ∈ C2([x0, x1]), 4; #\=9 y(x0) = y0, y(x1) = y1. (3.1.2) 1 y(x) % J j F++ y(x) G;# =9 α !3?g WD y¯ = y(x) + αδy, 3 δy y(x) I δy|x=x0 = δy|x=x1 = 0. y¯|x=x0 = y0, y¯|x=x1 = y1, y¯ ∈ C2([x0, x1]), B α = 0 y¯ = y(x) %( (3.1.1) j FWD R y¯ N (3.1.1), R4 ϕ(α) = J[y + αδy] = x1 x0 F(x, y + αδy, y + αδy ) d x. ϕ(α) α = 0 >4FIFL=9 ϕ (0) = ∂ ∂αJ[y + αδy]|α=0 = x1 x0 (Fyδy + Fyδy ) d x = 0. (3.1.3) I-` δy|x=x0 = δy|x=x1 = 0, x1 x0 Fyδy d x = x1 x0 Fyd(δy) = Fyδy| x1 x0 − x1 x0 δy d dxFy d x = − x1 x0 δy d dxFy d x. RN (3.1.3) 4 ϕ (0) = δJ = x1 x0 [Fy − d dxFy]δy d x = 0. 19
由基本引理势,使泛函J达到位值的函数y(x) 必满足微分理程 (3.1.4) 或 Fyyy+ Yyy+ Fry-Fy=0 3.1.5) 理程(31.4)或(31.5)称为泛函J的 Euler理程 弹上所述变得 定定31.1泛函 Jy]=/F(r,y, y)dr 在y(x)达到位值的必能条件是y(x)满足理程式 (31.4)或(31.5)式 称31.2证明Euer理程(3.1.5)具有上式 d (F-yFy)-F2=0. 3.1.6) 证明 = Fr+ Fyy+ Fyy (yFy=y Fy+y(Fry+ Fyyy'+ Fyyy ) 两式相减,得 (F-y'Fy)=Fr-y(Fyry'y+ Fyy'y+ Fry'-Fy 再由(31.5)便得到证明 称313求泛函 J[y(a)=/(y2+12.ry)dr 的位值曲线 解F(x,y,y)=y2+12xy,其Eler理程为 12x-2u=0 用此理程,得 y=a+C1+C2 由v(0)=0,y(1)=1得:c1=2=0,因此Jv(x) 的位值曲线为 y
I: `%( J[y] j F y(x) L;# Fy − d dxFy = 0, (3.1.4) G Fyyy + Fyyy + Fxy − Fy = 0. (3.1.5) (3.1.4) G (3.1.5) ( J[y] Euler a# I4< !" 3.1.1 ( J[y] = x1 x0 F(x, y, y ) d x y(x) j FL=9 y(x) ;# (3.1.4) G (3.1.5) 3.1.2 < Euler (3.1.5) d dx(F − y Fy) − Fx = 0. (3.1.6) :< dF dx = Fx + Fyy + Fyy, d dx(y Fy) = yFy + y (Fxy + Fyyy + Fyyy), L?g4 d x (F − y Fy) = Fx − y (Fyyy + Fyyy + Fxy − Fy). [I (3.1.5) R4 < 3.1.3 ( J[y(x)] = 1 0 (y2 + 12xy) d x FWD K F(x, y, y ) = y2 + 12xy, 3 Euler 12x − 2y = 0. 4 y = x3 + c1x + c2. I y(0) = 0, y(1) = 1 4< c1 = c2 = 0, J[y(x)] FWD y = x3 . 20