§4高斯定理 电力线 1、引入目的:形象化、直观性地描写电场,作为一种辅助工具。 2、引入方法:电场是矢量场,引入电力线要反映场的两个方面小 方向’委 电场中人为地作出许多曲线,作法如下: (1)反映电场方向一一曲线上每点切向与该点场方向一致; (2)反映电场大小—一用所画电力线的疏密程度表示,申力线数密度与该 点场的大小成正比 △N E∝ 其中二表示通过垂直场方向单位面积的电力线条数一一电力线数密度,参见 图 E △N (a)垂直时 (b)非垂直时 △N AS △S⊥△scos6 图1-15 在SI制中,比例系数取1,则E △N ,即△N=E·△S= Ecos 8 as。更精 确地有:dN=E·ds= Ecos ds。 例:点电荷Q均匀辐射N条电力线,各向同性,半径为r的球面上电力线 数密度为N:而场强E=9,两者一致,且N=g,球面立体角中 Eor 4-19
1―4―19 §4 高斯定理 一、电力线 1、引入目的：形象化、直观性地描写电场，作为一种辅助工具。 2、引入方法：电场是矢量场，引入电力线要反映场的两个方面 方向 大小 ，在 电场中人为地作出许多曲线，作法如下： （1）反映电场方向——曲线上每点切向与该点场方向一致； （2）反映电场大小——用所画电力线的疏密程度表示，电力线数密度与该 点场的大小成正比 ⊥ S N E 其中 ⊥ S N 表示通过垂直场方向单位面积的电力线条数——电力线数密度，参见 图 1-15。 (a) 垂直时： S N (b) 非垂直时： S cos N S N = ⊥ 图 1-15 在 SI 制中，比例系数取 1，则 ⊥ = S N E ，即 N = E S = Ecos S 。更精 确地有： dN = E ds = Ecos ds 。 例：点电荷 Q 均匀辐射 N 条电力线，各向同性，半径为 r 的球面上电力线 数密度为 2 4 r N ；而场强 2 4 0 r Q E = ，两者一致，且 0 Q N = ，球面立体角 d 中 E E ΔS ΔS n θ
占有(cN)条 4丌 3、电力线的普遍性质 (1)电力线起自正电荷(或来自无穷远处)、止于负电荷(或伸向无穷远处), 不会在没有电荷的地方中断一一不中断; (2)对于正、负电荷等量的体系,正电荷发出的电力线全部集中到负电荷上 去一一不多余; (3)无电荷空间任两条电力线不相交一一不相交(否则,场则不唯一); (4)电力线不能是自我闭合线一一不闭合。 4、说明 (1)电力线非客观存在,是人为引入的辅助工具; (2)电力线可用实验演示: (3)展示几种带电体电力线的分布(图略) 二、电通量 静电场是用E描述的矢量场。一般地,研究矢量场时常引入矢量的通量概念, 如:流体力学中的流量νΔ=υscosθ等,静电场中虽无什么在流,但可藉此 研究静电场。 1、定义电通量Φg 在电场中通过一曲面元As的电通量△Φ定义为: AΦg= EAs cos e=E.A(=△N) 式中A=As。因θ可锐角、钝角,故AΦ可正、可负 对于非无限小的曲面,有 = jEcosds=∫E:d S 其中,任意曲面S的法向有两种取法,对于不闭合的曲面,其法向n取何方向无 关紧要。 对于闭合曲面,其电通量定义为 Φ。= ecose ds=E·ds 4-20
1―4―20 占有（ N d 4 ）条。 3、电力线的普遍性质 (1) 电力线起自正电荷（或来自无穷远处）、止于负电荷（或伸向无穷远处）， 不会在没有电荷的地方中断——不中断； (2) 对于正、负电荷等量的体系，正电荷发出的电力线全部集中到负电荷上 去——不多余； (3) 无电荷空间任两条电力线不相交——不相交（否则，场则不唯一）； (4) 电力线不能是自我闭合线——不闭合。 4、说明 (1) 电力线非客观存在，是人为引入的辅助工具； (2) 电力线可用实验演示； (3) 展示几种带电体电力线的分布（图略）。 二、电通量 静电场是用 E 描述的矢量场。一般地，研究矢量场时常引入矢量的通量概念， 如：流体力学中的流量 v s = vscos 等，静电场中虽无什么在流，但可藉此 研究静电场。 1、定义电通量 E 在电场中通过一曲面元 s 的电通量 E 定义为： E s cos E s ( N) E = = = 式中 s sn = 。因 可锐角、钝角，故 E 可正、可负。 对于非无限小的曲面，有 = = S S E E ds E ds cos 其中，任意曲面 S 的法向有两种取法，对于不闭合的曲面，其法向 n 取何方向无 关紧要。 对于闭合曲面，其电通量定义为： = = S S E E ds E ds cos
并规定:取闭合曲面S的外法向矢为正,则电力线穿出S处,<90,△g为 正(出正);进入S处,>90,△Φ。为负(入负) 2、点电荷场中电通量示例 (使用库仑定律) (1)面元d的电通量d E对应的立体角为:dg ds cose ds (球面度),如图1-16(a所示, 故 E nds tEL 4 (2)任意曲面的电通量Φ 划分S成为许多面元d,则 E·ds -△9 4e 其中,△Ω为S对q点所张开的立体角,如图1-16b)所示。 q 图1-16(a) 4-21
1―4―21 并规定：取闭合曲面 S 的外法向矢为正，则电力线穿出 S 处， 90，E 为 正（出正）；进入 S 处， 90，E 为负（入负）。 2、点电荷场中电通量示例 r r q E ˆ 4 2 0 = （使用库仑定律） (1) 面元 ds 的电通量 dE ds对应的立体角为 ： 2 2 cos r ds r ds d ⊥ = = （球面度），如图 1-16(a)所示， 故 2 0 2 0 4 cos 4 ˆ r qds nds r qr d E ds E = = = = = ⊥ d q r q ds 0 2 4 0 4 (2) 任意曲面 s 的电通量 E 划分 S 成为许多面元 ds ，则 = = = 4 0 4 0 q d q E ds E 其中， 为 S 对 q 点所张开的立体角，如图 1-16(b)所示。 ds dsn = 图 1-16(a)
△2 图1-16b) (3)任意闭合曲面s的电通量Φg 虽然E为矢量,但E的通量Φ为标量,可代数和。以闭合面外法向为正参 考,则 q d=E=n442={ 4. 与r无关。具体解释如图1-17,其中 ①当在S内:处处020>0.f=4,故=% ②当q在S外:0<,0,>且21=d:=-2, d2=0,故中=0 bdQ q 图1-17(a)
1―4―22 (3) 任意闭合曲面 s 的电通量 E 虽然 E 为矢量，但 E 的通量 E 为标量，可代数和。以闭合面外法向为正参 考，则 = = = 0 4 0 0 q d q E ds S S E 与 r 无关。具体解释如图 1-17，其中 ① 当 q 在 S 内：处处 0, 0, = 4 s d d ，故 0 q E = 。 ② 当 q 在 S 外： 2 1 ， 2 2 且 2 2 2 2 2 1 1 1 = = − = − ⊥ ⊥ d r ds r ds d ， = 0 s d ，故 E = 0。 ds 图 1-16(b) n1 n2 2 r ˆ 1 r ˆ 图 1-17(a)
q 图1-17(b) 说明] (1)电场对任曲面的Φg在数值上等于通过该曲面电力线的条数。例如,图 118(a)中,q共发出皇条力线,通过立方体表面=.9条:图11b)中 半球面的Φg可用圆面的Φg代之。 R 图1-18 (2)如图1-19,q在S内,Φg的有效性相当于只一次穿过闭合面;q在S 外,电力线与S面相交偶数次,穿进、穿出相消。 4-23
1―4―23 [说明] (1) 电场对任曲面的 E 在数值上等于通过该曲面电力线的条数。例如，图 1-18 (a)中， q 共发出 0 q 条力线，通过立方体表面 8 0 1 q = 条；图 1-18(b)中， 半球面的 E 可用圆面的 E 代之。 (a) (b) 图 1-18 (2) 如图 1-19， q 在 S 内， E 的有效性相当于只一次穿过闭合面； q 在 S 外，电力线与 S 面相交偶数次，穿进、穿出相消。 2 r ˆ s 1 1 r ˆ 图 1-17(b)