变分法简介 第一章广义函数简介 1.1背景知识 函数是古典分析中的基本概念之一,然而这样 的一个基本概念,随着科学的发展已不够用.下 面用几个例子加以说明. 例1.1.1(脉冲)20世纪初, Heaviside在解电 路方程时,提出了一种运算方法,称之为算子演 算.这套算法要求对如下函数 1,x≥ 求导,并把导数记为6(x).但按照经典分析的理 论,h(x)并不可导,因此6(x)不可能是普通意 义下的函数,它除了作为一个记号进行形式演算 外,在数学上是没有意义的.但是,6(x)在实际 中却是有意义的,又代表一种理想化的“瞬时”单 位脉冲 例1.1.2( Dirac符号)在微观世界中,把可观 测到的物质的状态用波函数来描述,最简单的波 函数具有形式e(x∈(-∞,+∞),A是实参数, 并考虑如下形式的积分 eiar d x 2丌J-2r 这种积分按 Cauchy积分来定义,即 ear dx= lim/eiar dx=lim I sinn入 显然,这个极限在普通意义下不存在.然而,物 理学家认为这个极限是前面所提到的6(X),并认 为是 Dirac符号.特别,在量子力学中,进一步发 展了许多关于6(A)的运算法则,并广泛地使用 例1.1.3(广义微商)在数学本身的发展中,也 时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范 围所加的限制.20世纪30年代, Sobolev为了确
1.1 1.1.1() 20 Heaviside h(x) = ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ 1, x ≥ 0, 0, x< 0, δ(x). h(x) δ(x) δ(x) “ ” 1.1.2(Dirac ) Æ eiλx(x ∈ (−∞, +∞)), λ ! 1 2π 2π −2π eiλx d x. Cauchy " 1 2π 2π −2π eiλx d x = limn→∞ n −n eiλx d x = limn→∞ 1 π sin nλ λ . # Æ ! "# δ(λ), ! Dirac $ $% & ' ! δ(λ) " ()% 1.1.3( ) &# * ' $ % + %# & 20 30 (Sobolev ) 1
定微分方程解的存在性、惟一性问题,通过分部 积分公式,推广了函数可微性的概念,建立了广 义微商理论,形成了 Sobolev空间理论.这标志着 现代微分方程理论的诞生 基于上述原因,扩充函数概念,为广义函数寻 找坚实的数学基础,对数学家提出了新的挑战 20世纪40年代, Schwartz完成了这一艰巨的任 务,创立了广义函数的系统理论,并因此而获得 1950年数学最高奖一菲尔兹奖 12基本函数空间 设9是Pn的有界开集,用x=(x1,x2,…,xn) 表示Pn中的点 局部空间定义为 L(9)=∩{D(9):cc9 其中gcc9意味着9c9,且d(O0,02)>0.对 任一9上定义的函数,称集合{x∈92f(x)≠0} 的闭包为f的支集,记为 supp f 考虑上具有支集含于9的无穷可微函数空 C(9)={u∈C∞(9): suppu cs} 我们有以下重要定理 定理1.2.1C。(g)是DP(9)(1<p<∞)的稠密 子集 首先引进记号: 表示a阶的微分算子,其中la|=∑a 在讨论 Soboley空间中的函数的某些性质时, 往往先对光滑函数证明该性质,然后利用稠密性 过渡到极限,这就需要用光滑函数在某种意义下 逼近给定的函数,为此先引进磨光算子 设p(x)满足 (1)p∈C(B
" # ',(')*!- "+ '#$ , . Sobolev %& /* + 0- ! ,'1 - .(2 /.0 20 40 ( Schwartz 1. )*/ 23$ 30 +4 1950 (5, — 67, 1.2 1 Ω Rn -. x = (x1, x2, ··· , xn) 2 Rn 8 /- Lp %&" Lp loc(Ω) = {Lp (Ω ): Ω ⊂⊂ Ω}, 3 Ω ⊂⊂ Ω 4 Ω ⊆ Ω, 4 d(∂Ω , ∂Ω) > 0. / Ω ".0 {x ∈ Ω| f(x) = 0} 9: f , suppf. Ω 5.1! Ω 65 % & C∞ 0 (Ω) = {u ∈ C∞(Ω) : suppu ⊆ Ω}. 7Æ 8" !" 1.2.1 C∞ 0 (Ω) Lp(Ω)(1 <p< ∞) ;6 . 79: < Dα = Dα1 1 ··· Dαn n , Di = ∂ ∂xi , α = (α1, ··· , αn), 2 |α| 2 3 |α| = n i=1 αi. 8 Sobolev %&9$' ;;934<=' 56 ;6' !> 7= 34 9 ?8@"9::3 1 ρ(x) ;# (1) ρ ∈ C∞(Rn), 2
(2)uppp C B1(0) (3)/p(x)dx=1 称它为光滑子.显然这样的光滑子是存在的,例 如 cexp(x12-1)-1,若|x|<1 p(x)= 若|x|>1, 其中c为常数,满足条件 p(r)d 若取h>0,h<d(x,092),那么{h=p(xh-1)}就构成 个光滑子族.对u∈L(92),作卷积 (a(a)=”(=nm(d 称它为u的磨光算子,也称un(x)=(J)(x)为u 的均值函数(正则化函数).算子J的作用是把 函数u磨光,若在g的余集上补充定义u(x)≡0 则可以证明an(x)∈C∞(F),且当supu为有界集 时,∈C(P) 在集合C(g2)上定义收敛性如下 定义1.2.2设{ym}cCo(92),yo∈C(9),如果 (1)存在一个相对于9的紧子集Kc9,使得 (2)对于任意指标a=(a1…,an)恒有 max|D°ym(x)-D°≠0(x)→0(m→∞ x∈K 即{D°ym}在K上一致收敛于D°po 则称序列{m}在C(2)中收敛于φ.赋予上 述收敛性的线性空间C(2),称为基本函数空间 D(9) 1.3广义函数的定义和基本性质 定义1.3.1D(92)上的一切连续线性泛函都称 为广义函数即广义函数是这样的泛函f:D(92)→ R,满足
(2) suppρ ⊂ B1(0), (3) Rn ρ(x) d x = 1, $%. 34# ρ(x) = ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ c exp(|x| 2 − 1)−1, < |x| < 1, 0, < |x| > 1, 3 c *;#=9 Rn ρ(x) d x = 1. <> h > 0,h< d(x, ∂Ω), ?@ {h−nρ(xh−1)} 7:. 34& u ∈ L1 loc(Ω), ; (Jhu)(x) = h−n Ω ρ( x − y h )u(y) d y, u '$(, # uh(x)=(Jhu)(x) u ) (*+ ). Jh u :3 < Ω >.A1" u(x) ≡ 0, " < uh(x) ∈ C∞(Rn), 4B suppu . uh ∈ C∞ 0 (Rn). .0 C∞ 0 (Ω) "A<' < ! 1.2.2 1 {ϕm} ⊂ C∞ 0 (Ω), ϕ0 ∈ C∞ 0 (Ω), Æ (1) # ?! Ω =. K ⊂ Ω, %4 suppϕm ⊂ K(m = 1, 2, ···); (2) !/@/ α = (α1, ··· , αn) > max x∈K |Dαϕm(x) − Dαϕ0(x)| → 0(m → ∞), {Dαϕm} K AA<! Dαϕ0, "B? {ϕm} C∞ 0 (Ω) ,- ! ϕ0. CC A<'D'%& C∞ 0 (Ω), D(Ω). 1.3 .! / 0 ! 1.3.1 D(Ω) B@ED'(D , ( f : D(Ω) → R1, ;# 3
(1)线性 (f,191+A2y92)=A1(f,91)+入2(f,y2) Vg1,y2∈D(92),VA1,A2∈R (2)对于任意的{9m}∈D(2),当pm→yo时,恒 有 (f,9m)→(f,g0)(m→∞) 一切广义函数∫所组成的集合记作D(92)f在点 9处的值f(y)记为(f,y),于是(f,g)=f(p) 若对于任意的有界可测集Ec9,f(x)在E上 按 Lebesgue意义是可积的,则称f(x)在Ω上是 局部可积的,记这种函数全体为L(9).f(x)对应 着一个广义函数 ( p)=/f(a)(a)da, VE D(O) 注:广义函数是局部可积函数的推广.每个 局部可积函数对应一个广义函数.并不是所有的 函数都是广义函数.事实上,普通的不可测函数 并不能看成是广义函数 例1.3.26-函数.设6∈9.,定义 (6,9)=y(6),Vy∈D(2) 6函数是一个广义函数 定义1.33设{m}CD(92),f0∈D(9).如果 对一切p∈D(9,有 lim(m, p)=(, p) 则称{fm}在D(92)中收敛于f 例1.3.4在R上 1 sin fm(a) m=1,2, 是一列L()函数,从而可以看作是广义函数 列.我们有fm→6(m→∞) 1.4广义导数及其性质
(1) D'< f, λ1ϕ1 + λ2ϕ2 = λ1 f,ϕ1 + λ2 f,ϕ2 , ∀ ϕ1, ϕ2 ∈ D(Ω), ∀ λ1, λ2 ∈ R1; (2) !/ {ϕm}∈D(Ω), B ϕm → ϕ0 > f,ϕm → f,ϕ0 (m → ∞). B f #1..0 D (Ω). f 8 ϕ EF f(ϕ) f,ϕ , ! f,ϕ = f(ϕ). <!/ . E ⊂ Ω, f(x) E Lebesgue " f(x) Ω 2345., CD L1 loc(Ω). f(x) G f,ϕ = Ω f(x)ϕ(x) d x, ∀ ϕ ∈ D(Ω). < /-+ E /-G # D F A. 1.3.2 δ- 1 θ ∈ Ω, " δ, ϕ = ϕ(θ), ∀ ϕ ∈ D(Ω). δ ! 1.3.3 1 {fm}⊂D (Ω), f0 ∈ D (Ω). Æ B ϕ ∈ D(Ω), lim m→∞ fm, ϕ = f,ϕ , " {fm} D (Ω) ,- ! f. 1.3.4 R1 fm(x) = 1 π sin mx x , m = 1, 2, ··· ? L1 loc(R1) F A ? 7Æ fm → δ(m → ∞). 1.4 6 780 4
广义函数求导的想法来源于古典分析中的分 部积分.为此我们先回顾一下分部积分的基本思 想.设f和φ都是定义在R上的连续可微函数, φ具有紧支撑.由分部积分公式,有 f(a)p(ar)da f(ar)y(a)da 这个等式表明利用分部积分可以对一个函数的求 导运算转化为对另一个函数的求导.这一简单而 又重要的事实启发我们按以下方式引进广义函数 的导数 定义1.4.1(局部可积函数的广义导数)设u, 为g上局部可积函数,若 成立,则称为u的a阶广义导数 定义14.2(广义函数的广义导数)设f,g∈D(92) 是广义函数,满足 (f,D°g)=(-1)°(g,y),Vy∈D(92) 则g称为f的a阶广义导数 定理14.3任一广义函数的所有阶广义导数 都存在而且都是广义函数 例1.4.4由 Heaviside函数h所定义的函数 1,x≥0. h(a) 的广义导数h=6. 证明:对于任意的y∈D(B),有 M()=-My2)=-dx=(0)=09) 因此 例1.4.5| 证明:对于任意的p∈D(B),取a>0,使得
H! - 7Æ9BC -G 1 f D ϕ D" R @E ϕ =5G I-" ∞ −∞ f (x)ϕ(x) d x = − ∞ −∞ f(x)ϕ (x) d x. H6 - 9E 8FH7Æ : ! 1.4.1(/- ) 1 u, v Ω /-< Ω uDαϕdx = (−1)α Ω vϕ d x, ∀ ϕ ∈ C∞ 0 (Ω) .$" v u α 2 6 . ! 1.4.2( ) 1 f, g ∈ D (Ω) ;# f,Dαϕ = (−1)α g,ϕ , ∀ ϕ ∈ D(Ω). " g f α 2 6 . !" 1.4.3 / #2 D# 4D 1.4.4 I Heaviside h #" h(x) = ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ 1, x ≥ 0, 0, x< 0 h = δ. :<!/ ϕ ∈ D(R), h (ϕ) = −h(ϕ ) = − ∞ 0 ϕ d x = ϕ(0) = δ(ϕ), h = δ. 1.4.5 |x| = 2δ. :< !/ ϕ ∈ D(R), > a > 0, %4 5