§5电势及其梯度 、静电场的环路定理 已知电荷分布,利用电场叠加原理、高斯定理可计算电场分布,但因E为矢量,不 够方便,可引入另一物理量一一电势来研究问题方便。 1、静电场力做功与路径无关。 做功与路径无关,只由起点、始点位置决定的力一一保守力,下面由库仑定律结合 力的叠加原理证明静电力是保守力。 (1)点电荷形成的场中电场力做功 在点电荷q形成的电场中,q由a→b,如图1-26a所示,电场力做功计算如下: dA=F dl=Fcose dl= Fdr=goEr- goq dr 4 qo Edr= yoq rs dr 40q 表明:此情况下,电场力做功与路径无关。只决定于始、末位置、b。 (2)任意带电体系的电场中场力做功 F=f1+f2+…=q0E=q0(E1+E2+…) A.=Fd=q1E·d=qnm + go E 由(1)知,该式每一项均与积分路径无关,故场力之功A也与路径无关。证毕 d l b 起点 (a) 图1-26
1－5－1 §5 电势及其梯度 一、静电场的环路定理 已知电荷分布，利用电场叠加原理、高斯定理可计算电场分布，但因 E 为矢量，不 够方便，可引入另一物理量——电势来研究问题方便。 1、静电场力做功与路径无关。 做功与路径无关，只由起点、始点位置决定的力——保守力，下面由库仑定律结合 力的叠加原理证明静电力是保守力。 (1) 点电荷形成的场中电场力做功 在点电荷 q 形成的电场中， 0 q 由 a →b ，如图 1-26(a)所示，电场力做功计算如下： ∵ 2 0 0 0 4 cos r q q d r dA F dl F dl Fdr q Edr = = = = = ∴ ) 1 1 ( 4 4 0 0 2 0 0 0 a b r r r r r r q q r q q d r A q Edr b a b a = = = − 场 表明：此情况下，电场力做功与路径无关。只决定于始、末位置 a r 、 b r 。 (2) 任意带电体系的电场中场力做功 ∵ ( ) 1 2 0 0 1 2 F = f + f + = q E = q E + E + ∴ → = = = + + b a b a b a b a a b A F dl q E dl q E dl q E dl 0 0 1 0 2 由 (1) 知，该式每一项均与积分路径无关，故场力之功 Aa→b 也与路径无关。证毕# (a) (b) 图 1-26 a I b 起点 II E dr dl q0
保守力的另一等价数学表示:据上述a→b成两路线aIb、aIIb,如图1-26(b),有 qoE·d 40 E lI b n。)Ed=0 亦即 意义表明:在电场E中移动q一周电场力做功为零 2、静电场是保守场一一环路定理 由上述可知 fE·d=0 即静电场的环流为零。表明:静电场力移动单位正电荷一周做功为零。有这一结论,才 能引入电势,即保守场中有势、势能等概念。 二、电势差和电势 1、外力做功 处在静电场E(x,y,=)中的点电荷q0’在一个与电场力F=q0E大小相等、方向相反 的外力F(F=-F)的作用下,以非常缓慢的速度由场内一点(如P点)沿任路径至另 点(如Q点),外力F之功为 Apse= FdI=-fFdI 即外力之功等于电场力之功的负值,因Ap0与路径无关,故Ap也与路径无关。又 F=-F,故q所受合力:F+F=0,未改变q0(物体)的动能。(故此部分不涉及动 能的讨论) 若APQ>0,则电场力做负功,即AQ<0,称外力反抗电力做功;若ApQ(0, 则电场力做正功,即ApQ<0,称电场力反抗外力做功。 2、电势能 静电力为保守力,外力反抗保守力做功,虽然不改变物体的动能,但要改变物体势 1-5-2
1－5－2 保守力的另一等价数学表示：据上述 a →b 成两路线 a I b、a II b，如图 1-26(b)，有 q E dl q E dl a I b a II b = 0 0 即 ( + ) 0 = 0 q E dl a I b b II a 亦即 = l E dl 0 意义表明：在电场 E 中移动 0 q 一周电场力做功为零。 2、静电场是保守场——环路定理 由上述可知 = l E dl 0 即静电场的环流为零。表明：静电场力移动单位正电荷一周做功为零。有这一结论，才 能引入电势，即保守场中有势、势能等概念。 二、电势差和电势 1、外力做功 处在静电场 E(x, y,z) 中的点电荷 0 q ，在一个与电场力 F q E = 0 大小相等、方向相反 的外力 ( ) ' ' F F F = − 的作用下，以非常缓慢的速度由场内一点（如 P 点）沿任路径至另 一点（如 Q 点），外力 ' F 之功为： P Q P Q Q Q P AP→ F dl F dl = −A → = = − 即外力之功等于电场力之功的负值，因 AP→Q 与路径无关，故 A P→Q ' 也与路径无关。又 ' F F = − ，故 0 q 所受合力： F + F = 0 ，未改变 0 q （物体）的动能。（故此部分不涉及动 能的讨论）。 若 0 ' A P→Q ，则电场力做负功，即 AP→Q 0 ，称外力反抗电力做功；若 A P→Q ' 〈0， 则电场力做正功，即 AP→Q 0 ，称电场力反抗外力做功。 2、电势能 静电力为保守力，外力反抗保守力做功，虽然不改变物体的动能，但要改变物体势
能。在静电场中可引λ静电势能:外力反抗保守力做功等于物体系势能的増量:对于静 电场中,外力反抗静电力做功则应等于电荷处在场中的静电势能(用W表示)的增量: A=△W=W(Q)-W(P) Ap-0=PF. d=golE.d/=W(P)-W(@)=-AW 其中,W(P)、W(⑨)分别为电荷qo在场E中P、Q点的电势能。 上述表明:电场力做正功,则是以减少电势能为代价;电场力做负功,则电势能增 加。释义如下: 若Ao>0,则-△W>0.∴△W<0即W(Q)-W(P)<0,得W(Q)<W(P),末的电势 能比初的电势能低。 着重指出几点 (1)电荷qo在q之场E中任一点具有一定的电位能W,此W是体系所共有的的,实 为q与q的相互作用能,故W不能完全反映场性质。(如同库仑力F反映q与E两因素 样,故W不能用于描述场)。 ()电势能差是绝对的:△H=%Ed,与电势能零点参考的选取无关:但电势 能是相对的,即与电势能零点的选取有关 例:当q0距q无限远时,相互作用能为零,W。=0,故场中某点P处的电势能等于 场力将由该点移至无限远所做的功:W(P)=JqEd (3)电势能是标量,有正、负之分,电势能的高、低点要从体系考虑。 3、电势差及电势 W与qo之比与q无关,仅反映场属性,此即申势U (1)电势差 UPO(Up -Uo) w(P)-w(Q) ∫E 即单位正电荷在场中P、Q两点的电势能之差,反映场本身在P、Q两点的属性
1－5－3 能。在静电场中可引入静电势能：外力反抗保守力做功等于物体系势能的增量；对于静 电场中，外力反抗静电力做功则应等于电荷处在场中的静电势能（用 W 表示）的增量： A W W(Q) W(P) P →Q = = − 或 A F dl q E dl W P W Q W Q P Q Q P P→ = = 0 = ( ) − ( ) = − 其中， W (P) 、W (Q) 分别为电荷 0 q 在场 E 中 P、Q 点的电势能。 上述表明：电场力做正功，则是以减少电势能为代价；电场力做负功，则电势能增 加。释义如下： 若 APQ 0 ，则− W 0,W 0,即W(Q) −W (P) 0 ，得 W (Q) W (P) ,末的电势 能比初的电势能低。 着重指出几点： (1) 电荷 0 q 在 q 之场 E 中任一点具有一定的电位能 W，此 W 是体系所共有的的，实 为 0 q 与 q 的相互作用能，故 W 不能完全反映场性质。（如同库仑力 F 反映 0 q 与 E 两因素 一样，故 W 不能用于描述场）。 (2) 电势能差是绝对的： = − Q P W q E dl 0 ，与电势能零点参考的选取无关；但电势 能是相对的，即与电势能零点的选取有关。 例：当 0 q 距 q 无限远时，相互作用能为零， W = 0 ，故场中某点 P 处的电势能等于 场力将 0 q 由该点移至无限远所做的功： = P W(P) q E dl . 0 (3) 电势能是标量，有正、负之分，电势能的高、低点要从体系考虑。 3、电势差及电势 W 与 0 q 之比与 0 q 无关，仅反映场属性，此即电势 U 。 (1) 电势差 = − − = Q Q P PQ P E dl q W P W Q U U U 0 ( ) ( ) ( ) 即单位正电荷在场中 P 、Q 两点的电势能之差，反映场本身在 P、Q 两点的属性
(2)电势 ①用电势能定义: W(P) ②用电势差定义:若选Q点电势为0作为参考,则P点电势为 ∫Ed 对于电荷分布在有限域,常选U=0,有 实用中,选大地电势为零参考,U地=0 需要指出: a.电势差与电势零点的选取无关,具有绝对意义;而电势则不然。 b.电势差(即电压)与电势的关系为 EdI=EdCE C.场中某点电势能用电势表示为 W=qoSEdl=qoU 4、电势能和电势的单位 在SI制中,电势能和电势的单位均为导出单位。 电势能一一同于能量单位:焦耳(J) lev=16×10 lMep=10°ev,lGev=10°e 电势一一移动单位正电荷之功:伏特(V) 焦耳 1伏特,1=1 库仑 5、综述说明 (1)区别电势与电势能 空间某点的电势与有否试探电荷q无关,反映电场本身的性质
1－5－4 (2) 电势 ①用电势能定义： = = P P E dl q W P U 0 ( ) ②用电势差定义：若选 Q 点电势为 0 作为参考，则 P 点电势为 = Q P P U E dl 对于电荷分布在有限域，常选 U = 0 ，有 = P P U E dl 实用中，选大地电势为零参考， U地 = 0。 需要指出： a.电势差与电势零点的选取无关，具有绝对意义；而电势则不然。 b.电势差（即电压）与电势的关系为 P Q P Q Q P UPQ = E dl = E dl − E dl =U −U c.场中某点电势能用电势表示为 = = P P q UP W q E dl 0 0 4、电势能和电势的单位 在 SI 制中，电势能和电势的单位均为导出单位。 电势能——同于能量单位：焦耳（J）。 ev J 19 1 1.6 10− = ， Kev ev 3 1 =10 ， Mev ev 6 1 =10 ， Gev ev 9 1 =10 。 电势——移动单位正电荷之功：伏特（V）。 伏特 库仑 焦耳 1 =1 ， V C J 1 =1 。 5、综述说明 (1) 区别电势与电势能 空间某点的电势与有否试探电荷 0 q 无关，反映电场本身的性质；
电势能则与场中某点的qo大小正、负有关,为场及试探电荷所共有。 (2)电势是标量,有正负、高低之分。 某点电势的正负与该点电势能的正负不一定相同。参见图1-27加以分析,其中设q、 q本身代表正电荷: E二 q …>∞O 源 E go Ed <0,(0=7) W U E·d>0 E·d<0 图 结论:电势高低正场源电荷之场中近点电势高Vp>0) 负场源电荷之场中远点电势高(p<0) 正场源场中/正q在远点处电势能低 电势能高低 负q在远点处电势能高 负场源中正荷在远点W高 负荷在远点W低 推论:ⅱ)正场源电荷的场中,近电荷处Up高;负场源电荷的情况则反之。U~r曲 线如图1-28所示。 r (a) 图1-28 ii)正电荷在电场力作用下从高电势点移向低电势点;负电荷则相反
1－5－5 电势能则与场中某点的 0 q 大小正、负有关，为场及试探电荷所共有。 (2) 电势是标量，有正负、高低之分。 某点电势的正负与该点电势能的正负不一定相同。参见图 1-27 加以分析，其中设 q 、 0 q 本身代表正电荷： = − = = − = P P P P P E dl q W U W q E dl 0 0 , ( 0) 0 0 = = = = P P P P P E dl q W U W q E dl 0 0 , ( ) 0 0 (a) (b) 图 1-27 结论： ( 0) ( 0) P P V V 负场源电荷之场中远点电势高 正场源电荷之场中近点电势高 电势高低 电势能高低 负荷在远点 低 正荷在远点 高 负场源中 负 在远点处电势能高 正 在远点处电势能低 正场源场中 W W q q 0 0 推论: i) 正场源电荷的场中，近电荷处 UP 高；负场源电荷的情况则反之。 U ~ r 曲 线如图 1-28 所示。 (a) (b) 图 1-28 ii) 正电荷在电场力作用下从高电势点移向低电势点；负电荷则相反。 ⊝ • 源 P ∞ E ♁ • － 源 P ∞ E q0 + q0 q − q