第二章导体周围的静电场 导体在电结构上的特殊性和静电平衡时的特殊条件,使导体在静电场中产 生许多新现象和新应用,这些除与导体固有特性密切相关外,还须服从场方程, 本章是上一章的应用、继续和发展。 §1静电场中的导体 导体的特性 导体内存在着自由电荷,它们在电场作用下可以移动 对于金属导体,若不受外场作用,又不带净电荷,则自由电子均匀地迷漫于 正离子点阵间,从宏观上看,导体处处电中性,即净电荷体密度ρ=0。 电荷的分布和电场的分布相互影响、相互制约。 、导体的静电平衡条件 1、静电平衡的定义 带电体系中的电荷不作宏观运动,因而电场分布不随t而变的状态。 静电平衡的条件 所有场源(包括分布在导体上的电荷)共同产生的电场之合场在导体内处处 为零,即E=0。 [分析]一一当某原因使导体内存在电场E。(施感外场)时,E推动自由电 子作定向运动,引起自由电荷重新分布一一静电感应,出现感应 电荷而产生附加场E,此时导体内存在 E—一外场,驱使自由电子运动,但此场恒定。 E’——附加场,起因于电子定向运动的积累,阻止电子无 休止地定向运动,此为变场。 E0与E'方向相反,当达到E0与E'在导体内完全抵消时,即 Eo+E 无净电力作用于电子,则它停止定向运动,电荷重新分布过程 结束—一静电平衡
2－1－1 第二章 导体周围的静电场 导体在电结构上的特殊性和静电平衡时的特殊条件,使导体在静电场中产 生许多新现象和新应用,这些除与导体固有特性密切相关外,还须服从场方程, 本章是上一章的应用、继续和发展。 §1 静电场中的导体 一、 导体的特性 导体内存在着自由电荷，它们在电场作用下可以移动。 对于金属导体，若不受外场作用，又不带净电荷，则自由电子均匀地迷漫于 正离子点阵间，从宏观上看，导体处处电中性，即净电荷体密度 = 0。 电荷的分布和电场的分布相互影响、相互制约。 二、 导体的静电平衡条件 1、静电平衡的定义 带电体系中的电荷不作宏观运动，因而电场分布不随 t 而变的状态。 2、静电平衡的条件 所有场源（包括分布在导体上的电荷）共同产生的电场之合场在导体内处处 为零，即 E = 0 。 [分析]——当某原因使导体内存在电场 E0 （施感外场）时， E0 推动自由电 子作定向运动，引起自由电荷重新分布——静电感应，出现感应 电荷而产生附加场 E ，此时导体内存在： E0 ——外场，驱使自由电子运动，但此场恒定。 E ——附加场，起因于电子定向运动的积累，阻止电子无 休止地定向运动，此为变场。 E0 与 E 方向相反，当达到 E0 与 E 在导体内完全抵消时，即 E = E0 + E = 0 无净电力作用于电子，则它停止定向运动，电荷重新分布过程 结束——静电平衡
可见一一导体处在电场中达静电平衡,导体上总有一定感应电荷分布,否则 无E’;导体上感应电荷产生的场与外场的合场在导体内处处为零, 表明每单方面在导体内存在,但其合结果使导体内域成为电力线禁 区,即不能有电力线穿越。 示例一一导体球置于均匀外电场E0中。图2-1(a)为原问题,图2-1(b)为 静电平衡时的情形:导体内E与E反方,至E内=0止;导体外E 与E'叠加,场发生畸变,成为E=E。+E Eo NE-/+ 图2 3、推论 (1)导体静电平衡时,导体是等势体、导体表面是等势面。 ∵导体内处处E=0, 导体上任两点电势差U=Ed=0,即U=U (2)导体面外附近场强处处与表面垂直。 ∵E与等势面正交,且导体表面为一等势面, ∴E=E(n为导体面外法向单位矢)。 [两点说明] (1)导体表面是一自然的或特殊的等势面,实用中通过改变或选择电极形状 来控制空间场分布 (2)关于本章研究问题的方法有特别之处:因p、E分布相互制约,故不 宜研究达静电平衡的过程,而是以达到平衡为基础进一步分析问题
2－1－2 可见——导体处在电场中达静电平衡，导体上总有一定感应电荷分布，否则 无 E ；导体上感应电荷产生的场与外场的合场在导体内处处为零， 表明每单方面在导体内存在，但其合结果使导体内域成为电力线禁 区，即不能有电力线穿越。 示例 ——导体球置于均匀外电场 E0 中。图 2-1(a)为原问题，图 2-1(b)为 静电平衡时的情形：导体内 E0 与 E 反方，至 E内 = 0 止；导体外 E0 与 E 叠加，场发生畸变，成为 E = E + E 0 。 (a) (b) 图 2-1 3、推论 (1) 导体静电平衡时，导体是等势体、导体表面是等势面。 ∵ 导体内处处 E = 0 ， ∴ 导体上任两点电势差 = = Q P PQ U E dl 0 ，即 UP = UQ 。 (2) 导体面外附近场强处处与表面垂直。 ∵ E 与等势面正交，且导体表面为一等势面， ∴ E En = （ n 为导体面外法向单位矢）。 [两点说明] (1) 导体表面是一自然的或特殊的等势面，实用中通过改变或选择电极形状 来控制空间场分布。 (2) 关于本章研究问题的方法有特别之处：因 、E 分布相互制约，故不 宜研究达静电平衡的过程，而是以达到平衡为基础进一步分析问题
三、静电平衡时导体上电荷分布 处在静电场中的导体,不管它本来带净电与否,达静电平衡总有一定电荷分 布,问这些电荷分布在何处?怎样分布? 1、导体内电荷体密度p=0,电荷仅分布于导体表面。 针对此结论,分述情况研究和分析如下 (1)实心导体 在导体内取任意闭面S作为高斯面,如图2-2(a所示 E.ds=0 又因为S为任意的,所以 0 即静电平衡时导体内电荷体分布为零,电荷只能分布于导体V的表面上 图2-2 (2)空腔导体(腔内无荷) 导体有腔,Ⅴ为复通域,表面S1+S2,如图2-2(b所示,分述如下 ①导体内p=0情况(理由同上分析)。 ②腔体内表面上无电荷分布,电荷仅分布于外表面(S1)上
2－1－3 三、静电平衡时导体上电荷分布 处在静电场中的导体，不管它本来带净电与否，达静电平衡总有一定电荷分 布 ，问这些电荷分布在何处？怎样分布？ 1、导体内电荷体密度 = 0 ，电荷仅分布于导体表面。 针对此结论，分述情况研究和分析如下： (1) 实心导体 在导体内取任意闭面 s 作为高斯面，如图 2-2(a)所示 E内 = 0 ， = 0 E ds S 内 ， 即 q内 = 0 又因为 s 为任意的，所以 = 0 即静电平衡时导体内电荷体分布为零，电荷只能分布于导体 V 的表面上。 (a) (b) 图 2-2 (2) 空腔导体（腔内无荷） 导体有腔，V 为复通域，表面 S1 + S2 ，如图 2-2(b)所示，分述如下： ① 导体内 = 0 情况（理由同上分析）。 ② 腔体内表面上无电荷分布，电荷仅分布于外表面( 1 S )上
证明:在导体内取高斯面S,由于E=0,而Ed=0,即腔内表面上电 量代数和∑q=0。此外,腔内表面上处处不能有电荷,否则必某处 正、另处负(等量异号),在腔内即有从一处至另一处的电力线,而 沿电力线电势逐点降低,则腔体非等势,与腔体为等势体相矛盾。 结论:腔内表面无电荷分布,腔内空间场强处处为零,导体及其所围空间区 域构成的整体为等势区,其电势等于外表面处的电势值。 (3)导体腔(腔内有带电体) ①导体内ρ=0(理由同前分析)。 ②导体腔内表面带电与腔内电荷等量异号。 证明:作高斯面S如图2-3所示, 0 En·d=0 若腔内带电体带电+q,则内壁表面带电-q,根据电荷守恒,壳外表面上 有电荷总量+q分布 g q + 图2-3静电感应 ③若导体壳本身还带Q电荷,则内壁电荷分布不变(内部的场也不变),而外 表面上分布电荷总量为Q+q
2－1－4 证明：在导体内取高斯面 s ，由于 E内 = 0 ，而 = S E ds 0 ，即腔内表面上电 量代数和 q = 0 。此外，腔内表面上处处不能有电荷，否则必某处 正、另处负（等量异号），在腔内即有从一处至另一处的电力线，而 沿电力线电势逐点降低，则腔体非等势，与腔体为等势体相矛盾。 结论：腔内表面无电荷分布，腔内空间场强处处为零，导体及其所围空间区 域构成的整体为等势区，其电势等于外表面处的电势值。 (3) 导体腔（腔内有带电体） ① 导体内 = 0 （理由同前分析）。 ② 导体腔内表面带电与腔内电荷等量异号。 证明：作高斯面 s 如图 2-3 所示， E内 = 0 = 0 E ds s 内 q = 0 若腔内带电体带电 + q ，则内壁表面带电 − q ，根据电荷守恒，壳外表面上 有电荷总量 + q 分布。 图 2-3 静电感应 ③ 若导体壳本身还带 Q 电荷,则内壁电荷分布不变(内部的场也不变),而外 表面上分布电荷总量为 Q + q
2、电荷面分布函数a(x,y,z) 导体静电平衡时,电荷分布于表面,但确定σ(x,y,=)是有一定难度的 (1)一般情况 形状 o(xy=)与导体带电总量 等因素有关。即使周围引入不带 周围其它电荷的场 电的其它导体也会改变σ(x,y,)分布(静电感应,达到新的平衡)。 (2)特例一一孤立导体 其它物体在该导体处的影响略而不计。此时导体表面σ分布(相对分布)只 与导体形状有关:凸的地方(曲率大),G大:凹的地方(曲率小),G小。 Q 例如:孤立带电Q、半径R的导体球(壳),外表面04mP,电荷球面对 称分布:孤立无限大导体平板带电Q、面积S,各面G=9 四、导体外的电场分布 1、σ与E的关系 导体表面外附近点的场强可求出如下 △S △h 导体 n 图2-4 如图24作高斯面:A,M,万。由E卤= se. ds+SE ds+jE.ds
2－1－5 2、电荷面分布函数 (x, y,z) 导体静电平衡时，电荷分布于表面，但确定 (x, y,z) 是有一定难度的。 (1) 一般情况 (x, y,z) 与导体 周围其它电荷的场 带电总量 形状 等因素有关。即使周围引入不带 电的其它导体也会改变 (x, y,z) 分布（静电感应，达到新的平衡）。 (2) 特例——孤立导体 其它物体在该导体处的影响略而不计。此时导体表面 分布（相对分布）只 与导体形状有关：凸的地方（曲率大）， 大；凹的地方（曲率小）， 小。 例如：孤立带电 Q、半径 R 的导体球（壳），外表面 2 4 R Q = ，电荷球面对 称分布；孤立无限大导体平板带电 Q、面积 S，各面 S Q 2 = 。 四、导体外的电场分布 1、 与 E 的关系 导体表面外附近点的场强可求出如下： 图 2-4 如图 2-4 作高斯面: s h n , , 。由 = S q E ds 0 内 ， 得 0 s E ds E ds E ds + + = 外 侧 内