《投资学 Investments》课程教学资源（PPT课件）第6章 资产组合理论与资本资产定价模型

若已知资产组合收益c、方差-协方差矩阵∑ 和 组合各个资产期望收益向量r=G,,,可),求解组合中资产权重 向量w(,…1则有 min∑∑wo t,∑万=c 投资学第6章 26

投资学 第6章 26 1 1 1 1 min s.t. , 1 n n i j ij i j n i i i n i i w w w r c w           11 1 1 1 2 1 2 ... =( , ,..., ) w=( , ,..., ), n n nn T n n c r r r w w w             r     若已知资产组合收益 、方差 协方差矩阵 和 组合各个资产期望收益向量 ，求解组合中资产权重 向量 则有

对于上述带有约束条件的优化问题,可以 引入拉格朗日乘子λ和来解决这一优化 问题。构造拉格朗日函数如下 n n L=∑∑wo-∑两7-c)-∑呢-1) 上式左右两边对w求导数,令其一阶条件 为0,得到方程组 投资学第6章

投资学 第6章 27 § 对于上述带有约束条件的优化问题，可以 引入拉格朗日乘子λ和μ来解决这一优化 问题。构造拉格朗日函数如下 1 1 1 1 L ( ) ( 1) n n n n i j ij i i i i j i i ww  wr c  w            § 上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件 为0，得到方程组

OL W, O1-ir-u=o OL ∑o2y-h2-H=0 OL ∑ w.a. -h =0 和方程 v.:=C =1 投资学第6章 28

投资学 第6章 28 1 1 1 1 2 2 2 11 000 n j j j n j j jn j nj n n j L w r wL w r wL w r w                               和方程 1 1 1 n i i i n i i w r c w       

这样共有n+2方程,未知数为w;(i=1, 2,…,n)、^和μ,共有n+2个未知量,其解 是存在的。 注意到上述的方程是线性方程组,可以通 过线性代数加以解决。 例:假设三项不相关的资产,其均值分别 为1,2,3,方差都为1,若要求三项资产 构成的组合期望收益为2,求解最优的权重。 投资学第6章

投资学 第6章 29 § 这样共有n＋2方程，未知数为wi（i＝1， 2,…,n）、λ和μ，共有n＋2个未知量，其解 是存在的。 § 注意到上述的方程是线性方程组，可以通 过线性代数加以解决。 § 例：假设三项不相关的资产，其均值分别 为1，2，3，方差都为1，若要求三项资产 构成的组合期望收益为2，求解最优的权重

由于∑=010 r=(1,2,3),C=2 001 aL ∑a1-47-1=11--H=0 aL ∑ 172-4=2-22-=0 aL ∑ F3-=2-3-=0 ∑m7=11+22+3"3 v.=,++W,=1 投资学第6章

投资学 第6章 30 3 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 1 3 3 3 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 0 2 0 3 0 2 3 2 1 j j j j j j j j j i i i i i L w r w w L w r w w L w r w w w r w w w w w w w                                                                   1 0 0 0 1 0 0 0 1         由于 = 1 (1 , 2, 3) , 2 T r c 