第五章导数和微分 §1导数的概念 例1讨论下列函数的可导性 f(x) x为有理数 为无理数 g(x)= x为有理数 x为无理数 解首先讨论f(x)的可导性。当x=0时,因为 ∫(xo+△x)-f(x0)_A△x为有理数 -lax为雪理数 所以如,(+A1)=/(x)不存在时,即(x)在点0处不可导。当x≠0时,f(x) Ax 在点x处不 连续,于是∫(x)在点x处也不可导。 然后讨论g(x)的可导性。当x0=0时, g(x0+△x)-g(x0)_{x为有理数 于是有 g(x0+△x)-g(x0) 即g(0)=0,当x0≠0时,g(x)在点x不连续,于是g(x)在点x0不可导 例2设函数f(x)定义在a](a>0)上,且适合|f(x)|≤x2,证明∫(0)=0又 g(Ax)-f(0)-(△x)2 I Ax I △x 于是 f(Ax)-f(0) △r→0 则∫(0)=0得证 例3设函数∫(x),g(x)定义在[ab]上,x∈(a,b),f(x0)=g(x),且 f-(x0)=g'+(x0),又定义
第五章 导数和微分 §1 导数的概念 例 1 讨论下列函数的可导性 x x f x − ( ) 为有理数 为无理数 x x 2 ( ) 2 x x g x − = 为有理数 为无理数 x x 解 首先讨论 f（x）的可导性。当 x0 = 0 时，因为 为有理数 为雪理数 x x x f x x f x − = + − 1 1 0 0 ( ) ( ) 所以 x f x x f x x + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 不存在时，即 f (x) 在点 0 处不可导。当 x0 0 时， f (x) 在点 0 x 处不 连续，于是 f (x) 在点 0 x 处也不可导。 然后讨论 g(x) 的可导性。当 x0= 0 时， 为有理数 为无理数 x x x x x g x x g x = − ( + ) − ( ) 0 0 于是有 0, ( ) ( ) lim 0 0 0 = + − → x g x x g x x 即 g (0) = 0 ，当 x0 0 时，g（x）在点 0 x 不连续，于是 g(x) 在点 0 x 不可导。 例 2 设函数 f (x) 定义在[-a,a]（a＞0）上，且适合∣ f (x) ∣≤x 2，证明 f (0) = 0 又 因 ︱ x g x f ( ) − (0) ∣≤ x x ( )2 ︱ x ︱ 于是 lim x→0 ∣ x f x f ( ) − (0) ∣=0 则 f （0）=0 得证 例 3 设函数 f (x) ， g(x) 定义在 [a,b] 上 ， ( , ), ( ) ( ) 0 0 0 x a b f x = g x ， 且 ( ) ( ) 0 0 f − x = g + x ，又定义
h(x)=e() asto 证明h(x)在点x可导。 证因为f(x0)=g(x0),于是 h+(x0)=Ax→0 h(xo+Ar)-h(ro) lim g(xo+Ax)-f(ro) mg(x0+△x)-g(x0) 同理可证 h-(x0)=f-(x0) 由f-(x0)=g+(x0)可得 h+(x0)=h-(x0) 所以h(x)在点x可导 例4设函数f(x)在点x处可导,过曲线上点p(x,f(x)处的切线和法线与x轴交于 点N和点M,点P在x轴上的投影为点T(见图5-1)证明 (x) (x) ,|M=1/(x)f(x) Nf(x)1+r2(x2PM=/(x)√1+2(x) f(x) 证由导数的几何意义,若过点P的切线与x轴交角为a,则 P 8Mmnd,而P=1(x),于是 f(x)
( ) ( ) ( ) f x g x h x = 0 0 x x x x 证明 h(x) 在点 0 x 可导。 证 因为 ( ) ( ) 0 0 f x = g x ，于是 x h x x h x h x x + − + = → + ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x g x x f x x + − = → + ( ) ( ) lim 0 0 0 x g x x g x x + − = → + ( ) ( ) lim 0 0 0 ( ) 0 = g + x 同理可证 ( ) ( ) 0 0 h− x = f − x 由 ( ) ( ) 0 0 f − x = g + x 可得 ( ) ( ) 0 0 h+ x = h− x 所以 h(x) 在点 o x 可导 例 4 设函数 f (x) 在点 x 处可导，过曲线上点 p(x, f (x)) 处的切线和法线与 x 轴交于 点 N 和点 M，点 P 在 x 轴上的投影为点 T（见图 5-1）证明： ( ) ( ) f x f x NT = ， TM = f (x) f (x) ， 1 ( ), ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 f x PM f x f x f x f x PN = + = + 证 由导数的几何意义，若过点 P 的切线与 x 轴交角为 a，则 由 a NT PT = tan ，而 PT = f (x) ，于是 ( ) ( ) f x f x NT =
由图中△TPM可见 tan a 即M=|(x)f(x 由此得到 PN=VNT+Pr 0 PM=VTM +PT =√f2(x)f2(x)+f2(x) (x)+f(x) 例5设平面上一抛物镜的轴截线方程为 若光线沿平行于y轴的方向射向镜面,证明反射光线都通过y轴上点(0,) 证人设点p(x0,x2)是入射光线与镜面的交点,反射光线与y轴交于点Q。过点P的 镜面的切线与y轴交于点R,此切线的斜率为(x2)|x=2x。,于是直线PR的方程为 y-x6=2x0(x-x0), 由此可得点R的y坐标为 按光线反射时满足入射角等于反射角的规律,在图5-2入射角为a,反射角为B,即有 a=B,由于△PQR的两个底角分别为a,B的余角,因此△PQR是等腰三角形。 设点Q为y坐标为q,在直角△PQT中 pq=at+pt
由图中 TPM 可见 a PT TM = tan ， 即 TM = f (x) f (x) 由此得到 2 2 PN = NT + PT = ( ) ( ) ( ) 2 2 f x f x f x + = 1 ( ) ( ) ( ) 2 f x f x f x + 2 2 PM = TM + PT = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 f x f x + f x = ( ) 1 ( ) 2 f x + f x 例 5 设平面上一抛物镜的轴截线方程为 2 y = x 若光线沿平行于 y 轴的方向射向镜面，证明反射光线都通过 y 轴上点（0， 4 1 ） 证人 设点 ( , ) 2 0 0 p x x 是入射光线与镜面的交点，反射光线与 y 轴交于点 Q。过点 P 的 镜面的切线与 y 轴交于点 R，此切线的斜率为 ( ) 2 x ︱xo=2xo，于是直线 PR 的方程为 2 ( ) 0 0 2 0 y − x = x x − x ， 由此可得点 R 的 y 坐标为 2 0 y = −x 按光线反射时满足入射角等于反射角的规律，在图 5-2 入射角为 a，反射角为β，即有 a=β,由于ΔPQR 的两个底角分别为 a，β的余角，因此ΔPQR 是等腰三角形。 设点 Q 为 y 坐标为 q，在直角ΔPQT 中 2 2 2 pq = qt + pt
+(x 由于PC ,因此 (x2-q)2=(q+x2)2 由此方程可解得对任何x都有 例6证明:若(x)在点a处可导,f(x)在点a处可导。 分析一般情况下,若f(x)在点x处可导,(x)在点x处不一定可导。例如 f(x)=x在x=0处可导,但(x)=团在点0处不可导,反之,若f(x)在点x处可导, 一般也不能推得f(x)在点x处可导。例如 f(x) 1,x为无理数 f(x)=1在点x=0处可导,但f(x)在点x=0处不连续,因而不可导然而,若f(x) 在点a处连续,则由(x)在点a处可导就可保证f(x)在点a处可导。 若f(a)≠0,由连续函数局部保号性,彐U(a),在其中f(x)保持定号,因而由在 点a处可导可推得f(x)在点a处也可导。 若f(a)=0,且团在点a处可导,因为点a为团的极值点,所以应用费马定理可以 得到f(a)=0,再由此又可证得f(a)=0。 证若f(a)≠0,由连续函数局部保号性,彐邻域U(a),f(x)在U(a)中保持定号 于是f(x)在点a处可导,即为f(x)在点a处可导。 若f(a)=0,则点a函数(x的极小值点,因(x在点a处可导,由费马定理有 f(a)=0 f(a+△x)--|f(a) 因为f(a)=0,所以
= ( ) 2 0 2 x0 + x − q 由于 2 2 PQ = QR ，因此 2 2 0 2 2 0 2 0 x + (x − q) = (q + x ) ， 由此方程可解得对任何 o x 都有 4 1 q = 例 6 证明：若 f (x) 在点 a 处可导，f（x）在点 a 处可导。 分析 一般情况下，若 f (x) 在点 0 x 处可导， f (x) 在点 0 x 处不一定可导。例如 f (x) = x在x0 = 0 处可导，但 f (x) = x 在点 0 处不可导，反之，若 f (x) 在点 0 x 处可导， 一般也不能推得 f（x）在点 x0 处可导。例如 为理数 为无理数 x x f x 1, 1, ( ) = − f (x) =1在点x0 = 0 处可导，但 f (x)在点x0 = 0 处不连续，因而不可导，然而，若 f (x) 在点 a 处连续，则由 f (x) 在点 a 处可导就可保证 f（x）在点 a 处可导。 若 f (a) 0 ，由连续函数局部保号性， U (a) ，在其中 f (x) 保持定号，因而由 f 在 点 a 处可导可推得 f (x) 在点 a 处也可导。 若 f (a) = 0 ，且 f 在点 a 处可导，因为点 a 为 f 的极值点，所以应用费马定理可以 得到 ( ) = 0 f a ，再由此又可证得 f (a) = 0。 证 若 f (a) 0 ，由连续函数局部保号性， 邻域U(a)， f (x) 在 U(a) 中保持定号， 于是 f (x) 在点 a 处可导，即为 f (x) 在点 a 处可导。 若 f (a) = 0 ，则点 a 函数 f (x) 的极小值点，因 f (x) 在点 a 处可导，由费马定理有 ( ) = 0 f a 即 0 ( ) ( ) lim 0 = + − − → x f a x f a x 因为 f (a) = 0 ，所以
(a+△n)-a)=0 △x 于是f"(a)=0 §2求导法则 例1设 f(x)=√x2+a2+l(x+√x2+a2) 求∫(x) 解由导数的四则运算法则,可得第一加项的导数 2x 在第二加项中注意到中间变量=x+√x2+a2又是两个函数式的和,于是 [=h(x+√x2+a2) ) 由此得到 f(x)=(√x2+a2+x)+ 例2设 2 f(x)= arctan( tan=a)b≥0) 求∫(x) 解由复合函数求导法,求得 2 a-b a2-b2 b. 2x vatb tan
0 ( ) ( ) lim 0 = + − − → x f a x f a x 于是 f (a) = 0 §2 求导法则 例 1 设 ln( ) 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 x x a a x a x f x = + + + + ， 求 f (x) 解 由导数的四则运算法则，可得第一加项的导数 ) 2 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 x a x x a x x x a + = + + + = ( ) 2 1 2 2 2 2 2 x a x x a + + + 在第二加项中注意到中间变量 2 2 u = x + x + a 又是两个函数式的和，于是 [ (1 ) 1 2 ln( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x a x x x a a x x a a + + + + + + = ] 由此得到 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) 2 1 ( ) x a a x a x f x x a + + + = + + = 2 2 x + a 例 2 设 )( 0) 2 arctan( tan 2 ( ) 2 2 + − − = a b x a b a b a b f x ， 求 f (x) 解 由复合函数求导法，求得 2 1 2 sec 2 1 tan 2 1 2 2 2 2 + − + − + − = x a b a b x a b a b a b y