数学系2002级三、四班数学分析补充材料(一 (数列极限习题,2002年10月) 1、下列说法能否作为a是数列{an}的极限定义?为什么? (1)对于无穷多个E>0,彐N∈N+,当n>N时,不等式{an-叫<∈成立; (2)v>0,彐N∈N+,当n>N时,有无穷多个an,使不等式|an-叫<E成立; (3)对于给定的10-10,不等式|an-q<10-10恒成立 2、说明下列表述都可以作为a是数列{an}的极限定义 (1)v>0,彐N∈N+,当n≥N时,不等式|an-a<成立; (2)v>0,彐N∈N+,当n>N时,不等式|an-a≤∈成立 (3)ve>0,彐N∈N+,当n>N时,不等式|an-a<kE成立,其中k是一个正常数; (4)vE>0,an∈N+,使不等式|an+p-a<对任意的p∈N+都成立; 5)设正数列{Ek}=1以0为极限,VEk>0,mk∈N+,当n≥mk时,不等式|an-a|<Ek 成立 3、若{an}与{bn}是两个发散数列,它们的和与积是否发散?为什么?若其中一个发散,它们 的和与积又如何? 用肯定语气叙述: (1)数列{xn}不以a为极限 2)数列{xn}不收敛; 3)数列{xn}无界 5、用ε-N语言验证下列极限为零 n 10 (3)lim(√n+1-Vm (6) 6、下列结论是否正确?若正确,请给出证明;若不正确,请举出反例。 (1)若iman=A,则 lim an|=|4i (2)若 lim an=|4,则iman=A )若 lim an|=0,则 (4)若iman=A,则iman+1=A (5)若 lim a=A,则Iim土=1; n→∞an (6)若va>0, 7、试证明:
1 2002 2002 10 1 a {an} 1 ε > 0 ∃N ∈ N+, n>N |an − a| < ε 2 ∀ε > 0 ∃N ∈ N+, n>N an |an − a| < ε 3 10−10 |an − a| < 10−10 2 a {an} 1 ∀ε > 0 ∃N ∈ N+, n ≥ N |an − a| < ε 2 ∀ε > 0 ∃N ∈ N+, n>N |an − a| ≤ ε 3 ∀ε > 0 ∃N ∈ N+, n>N |an − a| < kε k ! 4 ∀ε > 0 ∃n ∈ N+, |an+p − a| < ε p ∈ N+ 5 {εk}∞ k=1 0 ∀εk > 0 ∃nk ∈ N+, n ≥ nk |an − a| < εk " 3 {an} {bn} !#" #$$ %#" #" #$ $ %%& 4 &'' 1 {xn} a 2 {xn} () 3 {xn} ( 5 ε − N * (1) limn→∞ 1 n2 + n; (2) limn→∞ 1 n4 − n ; (3) limn→∞( √ n + 1 − √n); (4) limn→∞ 10n n! ; (5) limn→∞ n! nn ; (6) limn→∞ 1 n sin nπ 2 . 6 )+ , , - * , -.*+/ 1 limn→∞ an = A limn→∞ |an| = |A|; 2 limn→∞ |an| = |A| limn→∞ an = A; 3 limn→∞ |an| = 0 limn→∞ an = 0; 4 limn→∞ an = A limn→∞ an+1 = A; 5 limn→∞ an = A limn→∞ an+1 an = 1; 6 ∀α > 0, limn→∞ αan = αA limn→∞ an = A. 7 0'
2 (1)若xn>0,lim 则 (2)若iman=a,则 lim van=va. n→ 3) lim a=a的充分必要条件是ima2k=a,lima2k+1=a (4)若xn>0,G=q<1,则uian=0 8、求下列数列的极限 (1)lim (2)m3+1+(-2)+ lim 2+ sin (7)lim (8)im(1+ n.+n 101in(1 (11)lim V2sin2n +cos2n (12) n-oo n+3 (13)lim k(k+1)…(k+ (15)n=(1-x)(1 (16)linS(=1)k-1 (17) lim 2,1 (18)lim(1+a+…+-)n (19) lim 1 1.2.3"2.3.4 n(n+1)(n+2) (20)lim 1·3·5…(2n-1) 1+2 1+2+3 +2+3+…+n 9、判别下列数列的收敛性 (1)xn +1 (2)xn=(1-)(1 11 (4)xn=T+y+…×n sin 1 sin 2 (5)xn=a0+a1q+a292+…+anq(q<1,|ak|≤M,k=1,2,) 10、证明下列数列收敛,并求极限: 0<x1<1 (3)0<x1<√3,xn+1= 3(1+xn) (4)x1>0,a>0.,xn+1=a(xn+一); 3+T
2 1 xn > 0, limn→∞ an = a limn→∞ √an = √a. 2 limn→∞ an = a limn→∞ √3 an = √3 a. 3 limn→∞ an = a ,-.1/ lim k→∞ a2k = a lim k→∞ a2k+1 = a. 4 xn > 0, limn→∞ √ n an = q < 1 limn→∞ an = 0. 5 xn > 0, limn→∞ √ n an = l > 1 limn→∞ 1 an = 0. 8 2 ' (1) limn→∞ (n + 1)(n + 2)(n + 3) 5n3 ; (2) limn→∞ 3n + (−2)n 3n+1 + (−2)n+1 ; (3) limn→∞ 1+2+ ... + n n + 2 − n 2 ; (4) limn→∞ √n( √n + 4 − √n); (5) limn→∞ √ 2 √4 2 √8 2... 2 √ n 2; (6) limn→∞ n 2 + sin2 n; (7) limn→∞ 1 n3 + 1 + 4 n3 + 2 + ... + n2 n3 + n ; (8) limn→∞ 1 + 1 n + 1 n ; (9) limn→∞(1 − 1 n) n; (10) limn→∞(1 + 1 n − 4 ) n+4; (11) limn→∞ n 2 sin2 n + cos2 n; (12) limn→∞( n + 1 n + 3 ) 3n; (13) limn→∞ n k=1 1 k(k + 1)...(k + m) (m = 1, 2, ...); (14) limn→∞( n3 − 1 n3 − 2 ) 4n3 ; (15) xn = (1 − 1 22 )(1 − 1 32 )...(1 − 1 n2 ); (16) limn→∞ n k=1 (−1)k−1 3k−1 ; (17) limn→∞ 2 n+1 k=1 1 √n2 + k ; (18) limn→∞ 1 + 1 2 + ... + 1 n 1 n ; (19) limn→∞ 1 1 · 2 · 3 + 1 2 · 3 · 4 + ... + 1 n(n + 1)(n + 2) ; (20) limn→∞ 1 · 3 · 5 ···(2n − 1) 2 · 4 · 6 ···(2n) ; (21) limn→∞ 1 − 1 1+2 1 − 1 1+2+3 ... 1 − 1 1+2+3+ ... + n . 9 30 ()' (1) xn = 1 3+1 + 1 32 + 1 + ... + 1 3n + 1; (2) xn = (1 − 1 2 )(1 − 1 4 )...(1 − 1 2n ); (3) xn =1+ 1 2! + 1 3! + ... + 1 n! ; (4) xn = sin 1 12 + sin 2 22 + ... + sin n n2 ; (5) xn = a0 + a1q + a2q2 + ... + anqn (|q| < 1, |ak| ≤ M, k = 1, 2, ...). 10 () 12 ' (1) x1 = √ 2, xn+1 = √2 + xn; (2) 0 < x1 < 1, xn+1 = 1 − √1 − xn; (3) 0 < x1 < √ 3, xn+1 = 3(1 + xn) 3 + xn ; (4) x1 > 0,a> 0, xn+1 = 1 2 (xn + a xn );
3 (5)a1=1,an=1+ (7)A>0.0 (2-AIn):( 8)11=sin a, In 相地一,江有 12、设0<a1<b,令an+1=√a,b+1=,n=1,23…求证:{an}与{n}极限存 在且相等。 13、设0<a1<b1<c1,令an+1 3 an+bn+ 1,2,3,…。求证:{an}、{bn}、{cn}极限存在且相等。 14、设x1=a,x2=b,xn n-1+In (n≥3),利用闭区间套定理证明{xn}收敛并求其极限 15、证明: (1)若数列{xn}收敛且zn>0(n=1,2,…),则Im 工1①2…n 2)若xn>0m=1.2,)收敛且1x存在,则m=nmxn 16、若man=a,imhn=b证明 (2) lim bn+a2bn-1+…+anb1 bn={(1+)y+1}.n∈N+,证明: (1)数列{an}单调增加有界; (2)数列{bn}调减少有界 (3)数列{an}是基本列 (4)记m(1+元)=e求证:(1+1+元+…+元)=E (1+1 On<1) (7)e为无理数。 综合练习题 18、设有一对新出生的兔子,两个月之后成年。从第三个月开始,每个月产一对小兔,且新生的 每对小兔也在岀生两个月之后成年,第三个月开始每月生一对小兔。假定出生的兔子均无死亡,(1) 问一年后共有几对兔子?(2)问n个月后有多少对兔子?(3)若n个月之后有Fn对兔子,试求 (题中所讲的一对兔子均是雌雄异性的)
3 (5) a1 = 1, an =1+ 1 1 + an−1 ; (6) x1 = √ 2, xn+1 = √2xn; (7) A > 0, 0 < x1 < 1 A, xn+1 = xn(2 − Axn); (8) x1 = sin a, xn+1 = sin xn. 11 {an} 23 {bn} 234 limn→∞(bn − an)=0 ' {an} {bn} () 14 56 12 0 < a1 < b1, 7 an+1 = √anbn, bn+1 = an + bn 2 , n = 1, 2, 3, ... 2' {an} {bn} 5 45 13 0 < a1 < b1 < c1, 7 an+1 = 3 1 an + 1 bn + 1 cn , bn+1 = √3 anbncn, cn+1 = an + bn + cn 3 , n = 1, 2, 3, ... 2' {an} {bn} {cn} 545 14 x1 = a, x2 = b, xn = xn−1 + xn−2 2 (n ≥ 3), 8697:Æ {xn} ()12 15 ' 1 {xn} ()4 xn > 0(n = 1, 2, ...) limn→∞ √ n x1x2...xn = limn→∞ √ n xn. 2 xn > 0(n = 1, 2, ...) ()4 limn→∞ xn+1 xn 5 limn→∞ √ n xn = limn→∞ xn+1 xn . 3 limn→∞ n √ n n! = e. 16 limn→∞ an = a, limn→∞ bn = b 1 limn→∞ a1 + a2 + ... + an n = a; 2 limn→∞ a1bn + a2bn−1 + ... + anb1 n = ab. 17 8 an = (1 + 1 n)n , bn = (1 + 1 n)n+1 , n ∈ N+. ' (1) {an} 239( (2) {bn} 34;( (3 {an} :; (4) 8 limn→∞(1 + 1 n) n = e. 2' limn→∞(1 + 1 + 1 2! + ... + 1 n! ) = e; (5) 1 (n + 1)! < e − (1 + 1 + 1 2! + ... + 1 n! ) < 1 n!n ; (6) e =1+1+ 1 2! + ... + 1 n! + θn n!n ( n n + 1 < θn < 1); (7) e Æ << 18 *=> ! = >??@A B@ > 4= B > *=! = ??@AB= > A*=> CDE 1 F =BC> 2 F n =;> 3 n = Fn > 02 limn→∞ Fn Fn+1 GD > CE !
说明:该问题是年大利数学家 Fibonacci于十三世纪初(1202年)研究兔子繁殖过程限的数量变 化规律时提出来的,其限的数列F被后人称为 Fibonacci数列数趣的是,极限=0.618题是”黄金 分割”数,在优选法及许多领收得到很多新的敛用 19.所谓蛛网模型是在研究市场经济的习种理环现象限提出来的,现列猪肉的产量与价格其间的 关系为例来说明.若去年猪肉的产量供过于求,它的价格就会降低;价格降低会使今年养猪试减少,使 猪肉的产量供不敛求,于是肉价上扬;价格上扬又使明年猪肉产量增加,求成新的供过于求,如此理环 下去。设xn为第n年的猪肉产量,为其价格,由于当年的产量确定明年价格,所列vn=f(xn) 称为且求函数,而第n年的价格又决定第n+1年的产量,故xn+1=g(yn),称为供敛函数.产相关 系呈现出如下过程: T1→→→→→→→ 在平面同角令标系限描出下面的点列 P1(x1,y),P2(x2,y1),P3(x2,y2),P4(x3,y2),……,P2k-1(xk,孙),Pk(xk+1,孙k)(k=1,2,3,…), 其限所数的P2k都满利x=g(y),P2k-1满利y=f(x),如图所示.由于区种关系很像习个蛛网,所列 称为蛛网模型。 据统计,某城市1991年猪肉产量为30万吨,肉价为6套/kg;1992年猪肉产量为25万吨 肉价为为8套/kg.少练1993年的猪肉产量为28万吨.若维持目前的生费水平和生产模式,并假 定猪肉当年的价格与当年的产量其间、来年的产量与当年的价格其间都是线性关系 (1)试确定且求函数vn=f(xn)和供敛函数xn+1=9(yn); (2)求imxn+1与nim+1 (3)问若干年后猪肉的产量与价格是否会趋于稳定?若能够稳定,求出稳定的产量和价格 说明:本兔料习题选三王绵森、马练恩开编《工科数学分析基础》(高等教始出版社,1998年), 列及北京大学数学系《数学分析习题集》(林每渠、方企勤、李题套、廖可人编,高等教始出版社, 1986年)
4 'FF G8"H Fibonacci H?IIJ (1202 ) #J> K$LM KN OPLM*N Fn Q=OR Fibonacci "P Æ 0.618 ” ST -U ” %&V'Q(WXY) 19 "GR*ST+#JUZV[ ,Æ\W- M*N W.X@K ]^ 7 _Y/N" Z .X@K`L2 #]^[abc]^bca\ /.04; .X@K`)2 X]]1]^]1 .X@K9 2`L2 %dÆ\ Z xn ? n .X@K yn ]^ 3 @K, ]^ G yn = f(xn) R42e f? n ]^^? n + 1 @K g xn+1 = g(yn) R`)e"@5_ YhW*% LM' x1 → y1 → x2 → y2 → x3 → y3 → x4 → .... _`6i7jY a* `k' P1(x1, y1), P2(x2, y1), P3(x2, y2), P4(x3, y2), ......, P2k−1(xk, yk), P2k(xk+1, yk) (k = 1, 2, 3, ...), G P2k b8 x = g(y),P2k−1 b8 y = f(x) %cGd"39,_YYe *S G R*ST+ fgl hmU 1991 .X@K 30 in X] 6 : /kg 1992 .X@K 25 in X] 8 :o kg ";< 1993 .X@K 28 in" jpkl=qm_$=@T 1A .X ]^ @K 7N @K ]^ 7 n_Y" (1) 0,42e yn = f(xn) $`)e xn+1 = g(yn); (2) 2 limn→∞ xn+1 limn→∞ yn+1; (3) F r =.X@K ]^aop sp 2*p@K$]^ ';>q &?rstu<t@uvwv"-w:xy z{A*|x 1998 V}yG""Yv"-w ~y zB{|}~ : Ou z{A*|x 1986