第三章极限与函数的连续性 §2数列的极限 1.用定义证明下列数列的极限为零: (5)im(√n+1-√m) 证明首先, 所以v>0,取N=[]则当n>N时,有 √n+1-vn≤ 由极限定义,这表示 提示 on 10 12 10310 9! 2.用定义证明: n k n 3,其中 Bn n=3k+1(k=1,2,…) 3k+
第三章 极限与函数的连续性 §2 数列的极限 1. 用定义证明下列数列的极限为零： (5) limn→∞ ( √ n + 1 − √ n)； 证明 首先， | √ n + 1 − √ n| = (n + 1) − n √ n + 1 + √ n ≤ 1 √ n 所以∀ε > 0, 取N = [ 1 ε 2 ], 则当n > N时，有 | √ n + 1 − √ n| ≤ 1 √ n ≤ ε 由极限定义，这表示 limn→∞ ( √ n + 1 − √ n) = 0 (6) limn→∞ 10n n! ； 提示： 10n n! = 10 1 · 10 2 · · · 10 1 0 · · · 10 n ≤ 109 9! · 10 n 2．用定义证明： (4) limn→∞ xn = 3，其中xn = 3, n = 3k 3n+1 n , n = 3k + 1(k = 1, 2, · · ·) 2 + 1+n 3− √ n+n , n = 3k + 2. 1
证明当n=3k,k=1,2,…时 当n=3k+1,k=1,2,…时 In-3I 3n+1 当n=3k+2,k=1,2,…时, ln-3 -2+√n n+n +n (当n≥9时) 综上,当n≥9时 |xn-3 故ve>0,取N=max9,,则当n>N时,有 4 n /n 所以 lim n=3 求下列极限 (1)im(+2 提示 +1)n-n+
证明 当n = 3k, k = 1, 2, · · ·时， |xn − 3| = 0 当n = 3k + 1, k = 1, 2, · · ·时， |xn − 3| = | 3n + 1 n − 3| ≤ 1 n 当n = 3k + 2, k = 1, 2, · · ·时， |xn − 3| = |2 + 1 + n 3 − √ n + n − 3| ≤ −2 + √ n 3 − √ n + n ≤ √ n − n 2 + n , (当n ≥ 9时) ≤ √ 2 n 综上，当n ≥ 9时， |xn − 3| ≤ 1 n + 2 √ n ≤ 4 √ n 故∀ε > 0, 取N = max 9, 16 ε 2 , 则当n > N时，有 |xn − 3| ≤ 4 √ n < ε 所以 limn→∞ xn = 3 8．求下列极限： (1) limn→∞ ( 1 1·2 + 1 2·3 + · · · + 1 n(n+1))； 提示： 1 n(n+1) = 1 n − 1 n+1 . 2
(2)im(+a+…+2) 提 2 1+1m n)2 1 n (5)mim(1-2)cn 提示:极限不存在 (8)lim[(m+1)2-n],0<a<1: 提示:因为0<a<1,所以 (9)lim是 解法1由于 (2m-1)+(2n+1) 2 1)(2n+1) 所以 5√3√3,√②-②n+ 所以由 n=y√2n+70 lim 3
(2) limn→∞ ( 1 n2 + 1 (n+1)2 + · · · + 1 (2n) 2 )； 提示： 1 n2 + 1 (n + 1)2 + · · · + 1 (2n) 2 ≤ 1 n2 + 1 n2 + · · · + 1 n2 1 n (5) limn→∞ (1 − 1 √n 2 ) cos n； 提示：极限不存在。 (8) limn→∞ [(n + 1)α − n α]，0 < a < 1； 提示：因为0 < a < 1, 所以 (n + 1)α − n α = n α [(1 + 1 n ) α − 1] ≤ n α [(1 + 1 n ) − 1] = 1 n1−α (9) limn→∞ 1 2 · 3 4 · · · · · 2n−1 2n ； 解法1 由于 2n = (2n − 1) + (2n + 1) 2 ≥ p (2n − 1)(2n + 1) 所以 1 2 · 3 4 · · · · · 2n − 1 2n ≤ 1 √ 1 · 3 · 3 √ 3 · 4 · · · · · 2n − 1 p (2n − 1)(2n + 1) ≤ 1 √ 2n + 1 所以由 limn→∞ 1 √ 2n + 1 = 0 3
使知 13 2n-1 解法2记 1 3-44-5 则易见 2n+1 n≤yn 所以 V2n+1 故由 lim √2n+1 0 使知 0 2 16.设iman=a,证明 (1)lim++n=a;(又问,它的逆命题成立否?) 证明v>0,3N1∈N,使得当n>M1时,有 lanI 对这取定的N1,a1+a2+…+aN是一个固定的数,因此可以取N>N1,使 得当n>N时,有 a1+a2+…+aN\22
使知 limn→∞ 1 2 · 3 4 · · · · · 2n − 1 2n = 0 解法2 记 xn = 1 2 · 3 4 · · · · · 2n − 1 2n yn = 2 3 · 4 5 · · · · · 2n 2n + 1 则易见 xnyn = 1 2n + 1 且 xn ≤ yn 所以 xn ≤ √ xnyn ≤ r 1 2n + 1 故由 limn→∞ 1 √ 2n + 1 = 0 使知 limn→∞ 1 2 · 3 4 · · · · · 2n − 1 2n = 0 16．设 limn→∞ an = a，证明： (1) limn→∞ a1+a2+···+an n = a；（又问，它的逆命题成立否？） 证明 ∀ε > 0, ∃N1 ∈ N, 使得当n > N1时，有 |an| < ε 2 对这取定的N1，a1 + a2 + · · · + aN1是一个固定的数，因此可以取N > N1,使 得当n > N时，有 | a1 + a2 + · · · + aN1 n | < ε 2 4
于是,利用三角不等式,得 a1+a2+ a1+a2+…+aN1,aN1+1+aN1+2+……+ a1+a2+…+a +/-+1+aN2+2+…+an 逆命题不成立,例如:an=(-1)n (2)若an>0,则 lim va1a2…an=a 提示:利用上题的结论。 18.用定义证明下列数列为无穷大量 1 解对任意正整数n,存在正整数k,使得2≤n<2k+1,所以 11 1+-+-+…+ n 1++(+7)+(2++2+5)+ 7 (21+1+2+2+“+2+2)+乎+…+1 1111 ≥1+,+(7+7)+(5+5+5+5)+ +x+… k+1 2 In n 2 In 2 显然地,VM>0,不等式 2h2>M等价于m>22
于是，利用三角不等式，得 | a1 + a2 + · · · + an n | = | a1 + a2 + · · · + aN1 n + aN1+1 + aN1+2 + · · · + an n | ≤ |a1 + a2 + · · · + aN1 n | + | aN1+1 + aN1+2 + · · · + an n | < ε 2 + (n − N1) ε 2 n < ε. 逆命题不成立，例如：an = (−1)n . (2) 若an > 0，则 limn→∞ √n a1a2 · · · an = a. 提示：利用上题的结论。 18．用定义证明下列数列为无穷大量： (4) 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n . 解 对任意正整数n，存在正整数k，使得2 k ≤ n < 2 k+1 , 所以 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n = 1 + 1 2 + (1 3 + 1 4 ) + (1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ) + · · · +( 1 2 k−1 + 1 + 1 2 k−1 + 2 + · · · + 1 2 k−1 + 2k−1 ) + 1 2 k + 1 + · · · + 1 n ≥ 1 + 1 2 + (1 4 + 1 4 ) + (1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) + · · · + ( 1 2 k + 1 2 k + · · · + 1 2 k ) | {z } 2 k−1个 = k + 1 2 ≥ ln n 2 ln 2 显然地，∀M > 0, 不等式 ln n 2 ln 2 > M等价于n > 2 2M 5