第八章不定积分 基本积分公式与换元积分法 例1求下列不定积分: x+x2+1 (2) j+√ 解(1)由于 因此得到 d x dx =x---arctanx+C (2)解法一由于 (+3)=1+5x3+10x+02+5x+x2 因此有 j+√)a 3 dx=x+x2+5x2+4x2+x3+=x2+C 解法二利用换元积分法,令1+√x=t,则x=(-1),d=2(-1)h,于是有 j+)=21(-1=21-)h t?(66 21,厂1 + 说明第(2)题解法二的优点在于当被积函数这个二项式的指数较大时(如求 j+√d),处理起来不会增加任何困难;但若仍用解法一去计算,那将是十分繁琐的 更何况当不定积分变为+√,a为任意实数时,只能用解法二来计算。 注意第(2)题的两种解法所得结果在形式上虽不相同,但它们之间至多相差一个常 数,可被容纳在积分常数C之内。 例2用第一换元积分法求下列不定积分 (1) (2)sin nx cos mdx
第八章 不定积分 1 基本积分公式与换元积分法 例 1 求下列不定积分： （1） dx x x x x 4 2 4 2 1 + + + ； （2） ( x ) dx 5 1+ 解（1）由于 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 2 2 2 4 2 + = + − + = + + + + x x x x x x x x ， 因此得到 1 1 4 2 2 2 4 2 + = + − + + + x dx x dx dx dx x x x x x C x = x − − arctan + 1 （2）解法一 由于 ( ) 2 5 2 2 3 2 1 5 1+ x =1+ 5x +10x +10x + 5x + x ， 因此有 ( + x ) d x = x + x + x + x + x + x 2 + C 7 2 3 5 2 2 3 5 7 2 3 5 5 4 3 10 1 解法二 利用换元积分法，令 1+ x = t ，则 ( ) 2 x = t −1 ，dx = 2(t −1)dt ，于是有 ( x ) dx t (t )dt (t t )dt 5 6 5 5 1+ = 2 −1 = 2 − C t t + = − 6 7 2 7 6 = ( + x ) − ( + x ) + C 7 6 1 3 1 1 7 2 说明 第（2）题解法二的优点在于当被积函数这个二项式的指数较大时（如求 ( x ) dx 100 1+ ），处理起来不会增加任何困难；但若仍用解法一去计算，那将是十分繁琐的； 更何况当不定积分变为 ( x ) dx a 1+ ，a 为任意实数时，只能用解法二来计算。 注意 第（2）题的两种解法所得结果在形式上虽不相同，但它们之间至多相差一个常 数，可被容纳在积分常数 C 之内。 例 2 用第一换元积分法求下列不定积分： （1） e dx x x 1 2 1 ； （2） sin nx cosmxdx ；
arctan x+vada (4) 解(1)Jedx=-Jex 2)sin nx cos modx=Jsin(n+mlx+sin(n-mkxkdx (n-m)x (3)∫ dx=∫ arctan dx (1+x 2]arctan/xaarctanvx) arctan√x)+C (4)∫ (x3 3(x h +c + 注由第(2)题看到,三角函数的积化和、差公式在不定积分计算中起着关键性的作 用 例3用第二换元积分法求下列不定积分 (1)∫ (2)∫ xx2+1 (3)∫ (a≠b) b
（3） dx x x x 3 arctan + ； （4） ( ) dx x x 2 3 5 − 2 解 （1） e C x e dx e d x x x x = − + = − 1 1 1 2 1 1 （2） nx mxdx = sin(n + m)x + sin(n − m)xdx 2 1 sin cos ( ) (n m)x C n m n m x n m + − − + − + − = cos 1 cos 1 2 1 （3） ( ) dx x x x dx x x x + = + 1 arctan arctan 3 = 2 arctan xd(arctan x ) = ( x ) + C 2 arctan （4） ( ) ( ) ( ) dx x x x dx x x 2 3 ' 3 3 2 3 5 3 2 2 2 − − = − ( ) ( ) ( 2) 3 2 2 2 3 2 3 3 − − − + = d x x x = dt t t 2 2 3 1 + （令 2 3 t = x − ） = + dt t t dt 2 2 3 1 C t t + = − 2 ln 3 1 + − = − − C x x 2 2 ln 2 3 1 3 3 注 由第（2）题看到，三角函数的积化和、差公式在不定积分计算中起着关键性的作 用。 例 3 用第二换元积分法求下列不定积分： （1） dx a x x 2 2 2 − ； （2） 1 2 + x x dx ； （3） ( )( ) (a b) x a b x dx − −
解(1)令x=asmt<,d= a costa设a>0,于是 a' sin 2 cosi dt=f(1-cos 2r)dr a cos t sin t cost)+C a2-x2|+C (2)解法一令x=nt<,ax= sec tdt,于是 tdt csct-cot t d(csct-cott n +c 解法二利用己知的不定积分 借助第一换元积分法,可得 C =In
解 （1）令 , cos , 2 x = asin t, t dx = a tdt 设 a 0 ，于是 ( t)dt a dt a t a t d x a x x 1 cos 2 cos 2 sin cos 3 2 2 2 2 2 = = − − t t C a + = − sin 2 2 1 2 2 (t t t) C a = − sin cos + 2 2 x a x C a a a x + = − − 2 2 2 2 1 arcsin 2 （2）解法一 令 x t t dx tdt 2 , sec 2 = tan , = ，于是 dt tdt t t t x x dx csc tan sec sec 1 2 2 = = + dt t t t t t csc cot csc csc cot 2 − − = ( ) t t d t t csc cot csc cot − − = = ln csct − cot t + C C x x x = + − + 1 1 1 ln 2 C x x + + + = 1 1 ln 2 解法二 利用已知的不定积分 x x C x dx = + + + + 2 2 ln 1 1 借助第一换元积分法，可得 + = − + = + x d x x x dx x x dx 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 C x x + = − + + 2 1 1 1 ln C x x + + + = 1 1 ln 2
(3)由于 因此若令x-a=(b-a)sin2,b-x=(b-a)cos2t,则有 x=a+(b-a)sin2't, dx =2 (b-a)sintcostdt 于是 b-a)sin tcost dt=∫2dt b =2t+C=2 arctan 说明在使用第二换元积分公式 ∫f(xkx=Jf(o()(kt 时,为保证1=-()和(()=一的存在,要求()≠0,为此应指出t的合适范围 这正如本例(1)与(2)的解法一中指出的川 例4试用多种解法求不定积分∫ 解法一令x=2snt, 是 t=arcsin -.dx=2 cos tdt ∫=∫ 2 cost dt=-csctdt 4 sin tcost 2 In/csct-cotr+C 解法二令 , 于是 d 因而
（3）由于 =1 − − + − − b a b x b a x a ， 因此若令 x a (b a) t b x (b a) t 2 2 − = − sin , − = − cos ，则有 x a (b a)sin t,dx 2(b a)sin t costdt 2 = + − = − 于是 ( )( ) ( ) ( ) dt dt b a t t b a t t x a b x d x 2 sin cos 2 sin cos 2 2 2 = − − = − − C b x x a t C + − − = 2 + = 2arctan 说明 在使用第二换元积分公式 f (x)dx f ( (t)) (t)dt ' = 时，为保证 t (x) −1 = 和 ( ( )) (t) x ' ' 1 1 = − 的存在，要求 ( ) 0 ' t ，为此应指出 t 的合适范围， 这正如本例（1）与（2）的解法一中指出的 2 t 例 4 试用多种解法求不定积分 2 x 4 x dx − 解法一 令 2 2sin , x = t t ，于是 dx tdt x t , 2cos 2 = arcsin = 因而 dt tdt t t t x x dx csc 2 1 4sin cos 2cos 4 2 = = − = ln csct − cott + C 2 1 C x x + − − 2 2 4 ln 2 1 解法二 令 2 1 , 1 t t x = ，于是 , 1 x t = dt t dx 2 1 = − 因而
d(2) 注这里借助教材上册第185页上的例8,得到如上结果 解法三令x2=-,t>,于是=dx=--d,因而 8 In +c 解法四令√4-x2=t!∈(0,2),于是dr= ,因而 dl 解法五先把该不定积分变形为: x(2
dt t t t x x dx 2 2 2 1 4 4 − = − − ( ) (2 ) 1 2 2 1 2 − = − t d t = − ln 2t + 4t −1 + C 2 1 2 C x x + + − = − 2 2 4 ln 2 1 注 这里借助教材上册第 185 页上的例 8，得到如上结果 解法三 令 4 1 , 2 1 t t x = ，于是 dt t dx x 2 1 = − ，因而 2 2 2 2 8 1 8 1 8 1 4 1 2 4 1 4 − − − = − − = − − t d t t t dt x x d x = C t − t − + t − + 8 4 1 ln 4 1 2 C x x x + − = − − + 2 2 2 2 4 8 1 1 ln 4 1 解法四 令 4 , (0,2) 2 − x = t t ，于是 2 4 t tdt dx − − = ，因而 dt t t t dt x x d x + − − = − = − − 2 1 2 1 4 1 4 4 2 2 = C t t + + − 2 2 ln 4 1 C x x + − + − − = 4 2 4 2 ln 4 1 2 2 解法五 先把该不定积分变形为： ( ) x x x x dx x x dx − + − = − 2 2 2 4 2