《数学分析》课程教学资源（试题集锦）测试题答案

第一章测试题 (A) 2、(1)x∈s,x≥5 (2)3an>2,Vx∈S,x≥a 3、WM,2kz+,12k+|=2kx+2>M,于是f(x)无上界,同理可验证f(x)无下 界 5、x>0时,设 arctan=a0<a<20<2-a<,cox-a=tana=x,于是 arccot x=-a,这样 arctan+arccot=--( 同理可证 arctan= arccot x x(x<0) 7、由(1)可得supA≤nfB。为了证supA=ntfB,用反证法。若supA<infB,设 nfB-supA=E0,Bx∈A,y∈B,使得y-x≥5o (B) 分1+,+2+…+,-<2 1.22.3 2、supE=√7,ntfE=-7 3、参见本章§2范例5。 >0. In x 4、(1)F(x)={0.x=0.,(2)F(x)={0,x=0 5、3x,x∈Dx飞x,f(x)f(x)不是递减函数 彐x2x4∈D,x3<x,f(x)<f(x1)(不是递增函数 6、设a= arctan,B= arctan,于是 tan(a+B) x+)

第一章测试题 （A） 2、（1） xs, x . （2） , , . 0 a0 a   xS x  3、 M k f k k  M 2 2 2 , 2 2 , 2 0 0 0        = +        + + ，于是 f (x) 无上界，同理可验证 f (x) 无下 界。 5 、 x  0 时，设 x a a a a = a = x      = − − tan 2 ,cot 2 2 ,0 2 arctan ,0         ，于是 arc x = − a 2 cot  ，这样 ( 0). 2 arctanx arccot x x   + = 同理可证 ( 0). 2 arctanx arccot x x   = = − 6、（1） ; 2a b x = − （2） . 2 b a x − = 7、由（1）可得 sup A inf B 。为了证 sup A = inf B ，用反证法。若 sup A  inf B ，设 inf B − sup A =  0 ,x A, y B ，使得 0 y − x   。 （B） 1、 = − + + + + n k 1 k n n 2. ( 1) 1 2.3 1 1.2 1 1 ! 1    2、supE = 7,inf E = − 7. 3、参见本章§2 范例 5。 4、（1）          − = = − , 0; 0, 0, , 0, ( )   e x x e x F x x x （2）        − − = = ln( ) 0. 0, 0, ln , 0, ( )   x x x x x F x 5、        , , , ( ) ( ).( ) , , , ( ) ( );( ) 3 4 3 4 3 4 1 2 1 2 1 2 不是递增函数 不是递减函数 x x D x x f x f x x x D x x f x f x     6、设  = arctanx, = arctany ，于是 . 1 tan( ) xy x y − +  +  =

(1)若x<1x≥0y≥0,有>00≤a≤ 于是0≤a+B<2,这样ac如nx+ arctan=0dmma+)>0 0≤B<z,有0≤a+ 因为t 同理讨论下列情况:(2)xy<1,x≤0,y≤0(3)xy<1,x≥0,y≤0.(4)xy<1,x≤0,y≥0. 7、(1)若A,B中有一集合无上界,不妨设A无上界,则S也是无上界数集,于是 supA=+∞,supS=+∞,结论成立。若A,B都是有上界数集,且supB≤supA,现设法证 up s=sup A (i)wx∈S,无论x∈A或x∈B,有x≤supA (i) ,于是x xo >sup A 同理可证(2) 第二章测试题 (A) 3、提示设S ,则有a=S ++n S1+2(S2-S1)+…+m(Sn-Sn) (S1+S2+…+Sn1) 然后可证m=(a1+2a2+…+nan)=0 4、提示用数学归纳法证:Ⅶn,1<an1<an,应用单调有界定理,可证lman=1 5、(1)错误使用四则运算法则 (2)利用极限保不等式性证明。 6、由man=AvE>03NkxN时,{-4<,因为1Cn+C2+…+C=2,于是 n an A)+C(a,-A k-4+

（1）若 xy 1, x  0, y  0 ，有 , 2 0.0 1    − +  xy x y 2 0     ，有 0  +   ，因为 tan( + )  0, 于是 2 0   +   ，这样 . 1 arctan arctan arctan xy x y x y − + + = 同理讨论下列情况：（2） xy 1, x  0, y  0; （3） xy 1, x  0, y  0; （4） xy 1, x  0, y  0. 7、（1）若 A，B 中有一集合无上界，不妨设 A 无上界，则 S 也是无上界数集，于是 sup A = +,sup S = + ，结论成立。若 A，B 都是有上界数集，且 sup B  sup A ，现设法证明 sup S = sup A: （ⅰ） xS ，无论 x A 或 x B ，有 x  sup A; （ⅱ） 0, , sup , 0 0   x  A x  A− 于是 , x0 S sup . x0  A 同理可证（2）。 第二章测试题 （A） 2、0． 3、提示 设 Si = a1 + a2 +ai ，则有 , ai = Si − Si−1 a1 + 2a2 ++ nan 2( ) ( ) = S1 + S2 − S1 ++ n Sn − Sn−1 ( ), = nSn − S1 + S2 ++ Sn−1 然后可证 ( 2 ) 0. 1 lim 1 + 2 + + = → n n a a na n  4、提示 用数学归纳法证： n 1 an 1  an ,  + ，应用单调有界定理，可证 lim =1. → n n a 5、（1）错误使用四则运算法则。 （2）利用极限保不等式性证明。 6、由 1 1 lim an A, 0, N ,k N n =     →  时， 2  ak − A  ，因为 n n n n n 1 C C c 2 1 2 + + ++ = ，于是 (a C a C an ) A n n + n 1 ++ n − 1 0 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 a0 A C a A C an A n = n − + n − ++ n − ( ) 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1   + +  − + − + + − + + n n n N n N N n n n C C a A C a A C a A  

当n>N,) 这样vE>0,3N=max{N1,N2}切n>N时 (a0+ 7、设n},由确界定义,vE>0,3n Vn,丑k∈N,n=kn+m1,0≤m< E 彐N,Vn>N时, <二,于是 a一≤a 即 (B) (2)1+2+…+1=(+1) 2、提示证明{yn}递增且yn≤1,于是可得

2 2    + （当 n  N2 ）。 这样   0,N = maxN1 ,N2,n  N 时 ( ) . 2 1 1 1 0 a C a  C a A  n n n + n + + n − 7、设       = n x a n inf ，由确界定义， 0, ,   n0  . 0 2 0  a + n xn  , , ,0 , 0 m0 m0 n0 n k  N+ n = kn +   0 0 0 0 0 0 0 0 k n m k x x k n m x m n xn kn n m + +  + + = 0 0 0 0 0 0 0 0 k n m x n x k n m k n n m + +         +  , 2 0 0 0 k n m x a m +  +       +  N,n  N 时， 0 0 2 0   kn m xm + ，于是 , 2 2      a + + = a + n x a n 即 lim a. n xn n = → （B） 1、提示 （1）        +       +       +       −      = − − xn n 2 2 4 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1  . 3 4 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2  →       −      = − + − n （2） . 2 ( 1) 1 2 2 3 3 3       + + + + = i i  i 2、提示 证明 yn  递增且 yn 1 ，于是可得

lim yn 3、提示构造在c=2+b附近摆动的数列。 4、提示取定x,VM>0,M>x。因为加、 =0N,Vn>N时x>M,于是 mm{x1,x2,…,x 5、提示设an=a+anbn=b+Bn,an,B为无穷小数列,于是 =(a+a1)(b+Bn)+(a+a2)(b+B1)+…+(a+an(b+B1) )+a(B1+B2+…+Bn) (a,B+a2B 6、提示 a M(a A+2+…+n 7、可证{x}为递减数列,不然的话,彐n,使得x>x1。由2x≤xn+xn1,有 x1-xn>xn-xn,于是 x≥x-x 把以上诸式相加,有 ≥k(x-x)+x 因为x-x->0,当k→时,x可大于任何正数M>0,与{x}为有界数列矛盾。由单调 有界定理,limx=a,于是

lim y 1 1 x. n n = − − → 3、提示 构造在 2 a b c + = 附近摆动的数列。 4 、提示 取 定 1 1 x ,M  0,M  x 。因为 N n N xn n =    → 0 , 1 lim 时 xn  M ，于是 inf   min , , , . n 1 2 N x = x x  x 5、提示 设 an a an bn b n n n = + , = + , , 为无穷小数列，于是 a1bn + a2bn−1 ++ anb1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) = a +1 b + n + a +2 b + n−1 ++ a +n b + 1 ( ) ( ) = nab + b 1 +2 ++n + a 1 + 2 ++ n ( ). + 1n +2n−1 ++n1 6、提示 a a a a n n n − + + + + + +         1 2 1 1 2 2 . ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 n a a a a n an a       + + + − + − + + − =   7、可证 xn  为递减数列，不然的话， n0 ，使得 n0 n0+1 x  x 。由 2 n  n−1 + n+1 x x x ，有 n+1 − n n − n−1 x x  x x ，于是 , n0+1 − n0  n0 − n0−1 x x x x , n0+2 − n0+1  n0+1 − n0  n0 − n0−1 x x x x x x ………… . n0+k − n0+k−1   n0 − n0−1 x x  x x 把以上诸式相加，有 ( ) . 0 n0 n0 1 n0 n k x  k x − x + x + − 因为 1 0 0 0 xn − xn −  ，当 k →  时， n k x 0+ 可大于任何正数 M  0 ，与 xn  为有界数列矛盾。由单调 有界定理， xn a n = → lim ，于是

lim(x-x=0 第三章测试题 (A) 若取04,可以估计。对 2、提示VG>0,M>0,当x<-M时,f(x)>G 5、提示以lmsn-为例说明符合题中的说法,但 lim sin-不存在。 使得 n7+ 彐l>0.6×0.3x= C(0,),,sn÷=0≤1 7、Va∈(0,1),可以仿照对黎曼函数R(x),imR(x)=0的证明,VE>0,说明使得f(x)≥E的 x的值至多只有有限个,记为x,x2…,x、(≠a),0<a<1,取 6=min(*, -a,*2-aA. -a, a, I-ak 于是当0<x-d<6时,(x)<E (B) 1、提示 取>4时,可得 x 2F2-(-1 2、提示VG>0,3δ>0,当0<x<δ时,nxx-G B+B2+…Bn

lim( ) 0. − −1 = → n n n x x 第三章测试题 （A） 1、提示 , 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 − − − − = − − − x x x x x x x 若取 4 1 0  x  ，可以估计 2. 2 1 1 2  − − − x x x 2、提示 G  0,M  0 ，当 x  −M 时， f (x)  G. 3、1． 4、 . 2 1 6 5、提示 以 x x 1 lim sin →0 为例说明符合题中的说法，但 x x 1 lim sin →0 不存在。 6、 2 1 0,   +    = no M  x ，使得 . 1 sin 1 M x x    0 1. 1 sin 1 (0; ), 2 1 1 0, 0, 0 =        =  x x U n x       7、a(0,1) ，可以仿照对黎曼函数 ( ),lim ( ) = 0 → R x R x x a 的证明，   0 ，说明使得 f (x)   的 x 的值至多只有有限个，记为 x1 , x2 ,  , xn ( a),0  a 1 ，取 min , , , , ,1 ,  = x1 − a x2 − a  xn − a a − a 于是当 0  x − a  时， f (x)   。 （B） 1、提示 , 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 − − − − = − − − x x x x x x 取 x  4 时，可得 . 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 x x x x x x x x x  = − − +  − − − 2、提示 G  0,  0 ，当 0  x   时， ln x  −G. 3、 . 1 2 n  +  +n