习题选解 第一章实数集与函数 §1实数 6.设a、b、c∈R(R,表示全体正实数集合)证明: 你能说明此不等式的几何意义吗? 证利用根式有理化的方法,有 b+cllb-c +b+√a2+
习题选解 第一章 实数集与函数 §1 实数 6．设 a、b、c R+ （ R+ 表示全体正实数集合）.证明： a + b − a + c b − c 2 2 2 2 . 你能说明此不等式的几何意义吗？ 证 利用根式有理化的方法，有 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a c b c b c a b a c + + + + − + − + =
b+d G+b2+G2+cb-c≤b-4 关于不等式的几何意义请读者通过画图自行解答 8.设p为正整数证明:若p不是完全平方数,则√P是无理数 证用反证法假若√P是有理数,设 √P=“,u,为正整数,互质,且v≠0 于是有 方面,p为非平方数,故v2≠1.另一方面,因u与v互质,故意u2与v2也互质:但由 u2=pv2,y2为2的一个整数因子,故必有v2=1,矛盾由此可见√P为无理数
≤ | | 2 2 2 2 b c a b a c b c − + + + + ≤ b − c . 关于不等式的几何意义请读者通过画图自行解答. 8．设 p 为正整数.证明：若 p 不是完全平方数，则 P 是无理数. 证 用反证法.假若 P 是有理数，设 P = u v v u , , 为正整数，互质，且 v 0 ， 于是有 P = 2 2 v u . 一方面，p 为非平方数，故 1 2 v .另一方面，因 u与v 互质，故意 2 2 u 与v 也互质；但由 2 2 2 2 u = pv ,v 为u 的一个整数因子，故必有 1 2 v = ，矛盾.由此可见 P 为无理数
§2数集·确界原理 8.设a>0,a≠1,x为有理数,证明 spy为有理数 mrp为有理数r<x当<1 证首先把要证的结论用确界的定义确切地写出来不妨设a>1,需证: (i)Vr<x,r为有理数,a'^≤ax; (i)va<a2,彐有理数r,r<x,使得a<a'<a2. 因为rx都是有理数,由有理数指数性质可得(i).再证(i,因为0<a<a2,所以lg。a<x, 由有理数的稠密性,彐有理数r,log,a<r<x,于是a<a<a2 同理可证0<a<1的情形
§2 数集·确界原理 8．设 a>0,a≠1,x 为有理数，证明： = inf , , 1. sup , , 1, a r r x a a r r x a a r r x 为有理数 当 为有理数 当 证 首先把要证的结论用确界的定义确切地写出来.不妨设 a>1，需证： （i） r x，r 为有理数， r x a a ； （ii） x r x a ,有理数r,r x,使得 a a . 因为 r,x 都是有理数，由有理数指数性质可得（i）.再证（ii），因为 x 0 a ，所以 x log a ， 由有理数的稠密性， 有理数 r， r x log a ，于是 r x a a . 同理可证 0<a<1 的情形
§3函数概念 12.证明关于函数y=[x]的如下不等式 (1)当x>0时,1-x<x (2)当ⅹ<0时,1≤ 证(1)当x>0的,1 -1<-≤-,即1-x<x-≤1 x (2)当x<0时 1<-|≤-,因为x<0,所以1 <1-x
§3 函数概念 12．证明关于函数 y =[x] 的如下不等式： （1）当 x>0 时， 1 1 1 − x x x ； （2）当 x<0 时， x x x − 1 1 1 . 证 （1）当 x>0 时， x x x 1 1 1 1 − ，即 1 1 1 − x x x . （2）当 x<0 时， x x x 1 1 1 1 − ，因为 x<0，所以 x x x − 1 1 1
§4具有某些特性的函数 1l.证明:f(x)=x+snx在R上严格递增 ∈R.x> f(x2)-f(r,=x2-x,+sin x2-sin x, x 2 x2-X1 x2-x1 x2-x1+(x2-x1)=0 其中应用了不等式nx<|(x≠0) 12.设定义在[a,+∞)上的函数∫在任何闭区间[ab]上有界,定义[a,+∞)上的函数:
§4 具有某些特性的函数 11．证明： f (x) = x + sin x 在 R 上严格递增. 证 设 1 2 2 1 x , x R, x x ， 2 1 2 1 2 1 f (x ) − f (x ) = x − x + sin x − sin x 2 sin 2 2cos 2 1 2 1 2 1 x x x x x x + − = − + ≥ 2 2sin 2 1 2 1 x x x x − − + x2 − x1 + (x2 − x1 ) = 0 ， 其中应用了不等式 sin x x ,(x 0) . 12．设定义在 [a,+) 上的函数 f 在任何闭区间[a,b]上有界，定义 [a,+) 上的函数：