释疑解惑 第一章实数集与函数 §1实数 问题1为什么2001与20009999…示同一实数? 答因为 0.00l= =3×0.0003333… =0.0009999 于是20001与20009999…表示同一实数为了实数的无限十进小数表示的唯一性,约定把2001 表示为20009999… 问题2为什么有理数P(p,q为互质的整数,q≠0)可以表示为无限十进循环小数? 答不妨设有理数P∈(0,1),p(q由实数的阿基米德性可知:存在a1和r,使得 q 10p=a1q+r1,0≤a1≤9,0≤F≤q-1 (注:对10p,q,(i)若10p<q,则a1=0,r=10p;(i)若10p=q,则a1=1,r=0;(i)若10p>q 由实数的阿基米德性,存在正整数a1,0<a1≤9,使得(a1+1)q>10p,a1q≤10p,于是r=10pa1q 于是 p al rI 1010 同样成立 10r1=a2q+r2,0≤a2≤9,0≤r2≤q-1, 于是 02g,0≤ P 1010210 重复以上步骤可得 0r;=a,q+ 10rn1=anq+r,0≤an≤9,0≤rn≤q-1
释疑解惑 第一章 实数集与函数 §1 实数 问题 1 为什么 2.001 与 2.000 999 9…表示同一实数？ 答 因为 0.001= 1000 1 =3× 3000 1 =3×0.000 333 3… =0.000 999 9…， 于是 2.0001 与 2.000 999 9…表示同一实数. 为了实数的无限十进小数表示的唯一性，约定把 2.001 表示为 2.000 999 9…. 问题 2 为什么有理数 q p （p，q 为互质的整数，q≠0）可以表示为无限十进循环小数？ 答 不妨设有理数 q p ∈（0，1），p<q. 由实数的阿基米德性可知：存在 1 a 和 1 r ，使得 10p= 1 a q+ 1 r ，0≤ 1 a ≤9，0≤ 1 r ≤q-1， （注：对 10p，q，（i）若 10p<q，则 1 a =0， 1 r =10p；（ii）若 10p=q，则 1 a =1， 1 r =0；（iii）若 10p>q， 由实数的阿基米德性，存在正整数 1 a ，0< 1 a ≤9，使得（ 1 a +1）q>10p， 1 a q≤10p，于是 1 r =10p- 1 a q.） 于是 q a r q p 10 10 1 1 = + ，0≤ q r 10 1 < 10 1 同样成立 10 1 r = 2 a q+ 2 r ，0≤ 2 a ≤9，0≤ 2 r ≤q-1， 于是 q a r q r 2 2 2 1 2 10 10 10 = + ，0≤ q r 2 2 10 < 2 10 1 ， q a a r q p 2 2 2 1 2 10 10 10 = + + 重复以上步骤可得 10 1 1 p = a q + r 10 1 2 2 r = a q + r ………… （1.1） n n n r = a q + r 10 −1 ，0≤ n a ≤9，0≤ n r ≤q-1
于是有 p aa an+,0≤h< 10q10 这样 P=0 a,a,…a 因为上述各式中的余数rn为{0,1,2,…,q-1}中某数,于是等式组(1.1)从某个n开始重复 即是无限十进循环小数 §2数集·确界原理 问题1非空有界数集S的上确界是否是S中的最大数?下确界是否是S中的最小数?在什么 情况下,非空有界数集的上确保是最大数,下确界是最小数? 答如果一个数集S的最大(小)数存在,则它就是S的上(下)确界,有限数集必有最大(小) 数,故有限数集必有上(下)确界.而无限集S的上(下)确界就不一定是S的最大(小)数.例如 数集 可证 sup S=1, inf S=-1 先证supS=1,注意到n=2k,且n充分大时,(-1) )ym,(+nr1-1 ≤1 (i)V∈>0,当 同理可证infS=1.但是supS,infS关不是S的最大、最小数 若非空有界数集S的上确界supS∈S,则supS是最大数;若S的下确界infS∈S,则infS是最 小数.故对于有界无限数蒋来说,其上(下)确界可以看作最大(小)数的推厂 问题2怎样给出无下界数集和无界数集的正面了陈述? 答无下界集:设数集ScR,若VL,丑x∈S,使得x<L,则称S是无下界集 无界集:设数集ScR,若ⅤM>0,丑x∈S,使得|x>M,则称S是无界集 例如,S=+nrhm=12…}是无下界集这是因为vL,3 比较有界集与无界集的定义,把有界集定义中“彐M>0”换成“VM>0”;“Vx∈S”换成“彐x∈S
于是有 q a a a r q p n n n n 10 10 10 10 2 1 2 = + ++ + ，0≤ q r n n 10 < n 10 1 ， 这样 q p =0. a1a2 an . 因为上述各式中的余数 n r 为{0，1，2，…，q-1}中某数，于是等式组（1.1）从某个 n 开始重复， 即 q p 是无限十进循环小数. §2 数集·确界原理 问题 1 非空有界数集 S 的上确界是否是 S 中的最大数？下确界是否是 S 中的最小数？在什么 情况下，非空有界数集的上确保是最大数，下确界是最小数？ 答 如果一个数集 S 的最大（小）数存在，则它就是 S 的上（下）确界，有限数集必有最大（小） 数，故有限数集必有上（下）确界. 而无限集 S 的上（下）确界就不一定是 S 的最大（小）数. 例如 数集 ( ) = = − − 1,2 1 1 1 n n S n ， 可证 sup S=1, inf S=-1. 先证 sup S=1，注意到 n=2k，且 n 充分大时，（-1） （i） n， ( ) − − n n 1 1 1 ≤1； （ii） >0，当 同理可证 inf S=-1.但是 sup S，inf S 关不是 S 的最大、最小数. 若非空有界数集 S 的上确界 sup S S，则 sup S 是最大数；若 S 的下确界 inf S S，则 inf S 是最 小数. 故对于有界无限数蒋来说，其上（下）确界可以看作最大（小）数的推广. 问题 2 怎样给出无下界数集和无界数集的正面了陈述？ 答 无下界集：设数集 S R，若 L ，x S ，使得 x<L，则称 S 是无下界集. 无界集：设数集 S R，若 M >0，x S ，使得|x|>M，则称 S 是无界集. 例如，S= ( ) 1,2, 1 − = − n n n 是无下界集. 这是因为 L ，n = 比较有界集与无界集的定义，把有界集定义中“ M >0”换成“ M >0”；“ xS ”换成“ x S ”；
不等式“冈≤M”换成“kx>M”,即可得无界集的正面陈述无上界集的含义是任何M都不是数集 的上界.把数学形式的陈述与其直观意义结合在一起理解,有利于掌握否定形式的陈述 问题3怎样给出数不是数集S的上确界的正面陈述? 答若不是数集S的上确界,则或者不是S的上界,或者是S的上界,但不是最小上界 于是数∠不是数集S的上确界的正面陈述为: (i)3x∈S,使得x0);或者 (i)3a0<5,Vx∈S,x≤a §3函数概念 问题1设狄利克雷函数 1,x为有理数, 0,x为无理数, g(x)=-,Nx>1,试问复合函数fg和gf是否存在? 答设有两函数 y=f(u),u∈D,u=g(x),x∈E, 记E*={xg(x)∈D}∩E,若E*≠0,则f与g可以复合成函数 y=f(g(x),x∈E* 1,u为有理数 (1)对f(u) D=R,g(x)=-,k>1,E={x|>1},有E*={xg(x)∈D∩E=E 0,u为无理数 于是f与g可以复合成f”g,其定义域为E (2)对g(u=一,D={uu>1} x为有理数, f(x)= 0,x为无理数 xf(x)∈D;∩E=0 于是g与f不能复合为g°f 问题2等式 arcsin(sinx)=x,x∈R是否正确?若不正确,它与f((x)=x,x∈D(其中f-1 是f的反函数)是否有矛盾? 答x∈R,等式 arcsin(sinx)=是错误的这是因为 arcsin y是反正弦函数的主值,-z iny≤, arcsin(sinx)的值应当取在[ 丌丌 23/k
不等式“|x|≤M”换成“|x|>M”，即可得无界集的正面陈述. 无上界集的含义是任何 M 都不是数集 的上界. 把数学形式的陈述与其直观意义结合在一起理解，有利于掌握否定形式的陈述. 问题 3 怎样给出数 不是数集 S 的上确界的正面陈述？ 答 若 不是数集 S 的上确界，则或者 不是 S 的上界，或者 是 S 的上界，但不是最小上界. 于是数 不是数集 S 的上确界的正面陈述为： （i） x0 S ，使得 0 x > ；或者 （ii） 0 < ，xS ，x≤ 0 . §3 函数概念 问题 1 设狄利克雷函数 1， x 为有理数， f(x)= 0， x 为无理数， g(x)= x 1 ，|x|>1，试问复合函数 fºg 和 gºf 是否存在？ 答 设有两函数 y=f（u），u D，u=g（x），x E， 记 E*={x|g(x) D}∩E，若 E*≠Ø，则 f 与 g 可以复合成函数 y=f(g(x)),x E*. 1，u 为有理数， （1）对 f（u）= D=R，g(x)= x 1 ，|x|>1，E={x||x|>1}，有 E*={x|g(x) D}∩E=E ≠Ø， 0， u 为无理数， 于是 f 与 g 可以复合成 fºg，其定义域为 E. （2）对 g(u)= u 1 ，D={u||u|>1}， 1， x 为有理数， f(x)= E=R 0， x 为无理数， E*={x|f(x) D}∩E=Ø， 于是 g 与 f 不能复合为 gºf. 问题 2 等式 arcsin(sinx)=x， x R 是否正确？若不正确，它与 f (f (x)) = x −1 ，x D（其中 −1 f 是 f 的反函数）是否有矛盾？ 答 x R ，等式 arcsin（sin x）=x 是错误的. 这是因为 arcsin y 是反正弦函数的主值， 2 − ≤ arcsiny≤ 2 ，arcsin(sinx)的值应当取在[ 2 − ， 2 ]上. 当
于是 这与f((x)=x,x∈D并不矛盾这是因为定义反函数f时,vy∈f(D),规定D中有且 仅有一个x使得f(x)=y;但现在是vy∈[-,1,有无限多个x∈R,使得sinx=y.如果把x的取值限 制在-x,x ]上,则等式 arcsin(sinx)=x,x∈[ 兀1是正确的。 §4具有某些特性的函数 问题1怎样给出数集D上无上(下)界函数和无界函数的正面陈述? 答在D上无上界函数f(x)的定义如下: M,丑x∈D,使得∫(x0)》M 在D上无下界函数fx)的定义如下: L,Bx0∈D,使得f(x)<L 在D上无界函数f(x)的定义如下: VM>0,3x0∈D,使得f(x0)>M 问题2由§2,习题7可知:若A,B皆为有界数集,则有 sup(A+B)=sup A+ sup B 而本节教材例2中,若f,g为D上的有界函数,则 sup{f(x)+g(x)}≤sup∫(x)+supg(x) (4,2) 而且可能成立严格不等式.上面二式(41)与(42)是否有矛盾?为什么? 答(4.1)与(4.2)并不矛盾,这是因为 {f(x)+g(x)x∈D}c{f(x)x∈D}+{g(x)x∈D},(4.3) 而且在包含关系(43)中左、右两边的集合可能不相等例如,f(x)=x,g(x)=x,D=[0,1,易见 {f(x)+g(x)∈D}={0}, f(x)x∈[0,1}+{g(x)x∈[O,1}=[-1,1], 于是 f(x)+g(xx∈D}E{f(xx∈D}+g(x)xED 出现不等的原因在于数集{f(x)x∈D}+{g(刈x∈D}中x是独立地取自D中.若把(43)式中左、右 两边的数集看作相同而应用(41),将导致错误的结论 问题3试问周期函数的定义域是是否必定是(-∞,+∞)? 答否例如x)=√simx,其周期o=2
于是 这与 f (f (x))= x −1 ，x D 并不矛盾. 这是因为定义反函数 −1 f 时， y f (D) ，规定 D 中有且 仅有一个 x 使得 f(x) = y；但现在是 y[−1,1] ，有无限多个 x R，使得 sinx = y. 如果把 x 的取值限 制在[ 2 − ， 2 ]上，则等式 arcsin(sinx) = x，x [ 2 − ， 2 ]是正确的。 §4 具有某些特性的函数 问题 1 怎样给出数集 D 上无上（下）界函数和无界函数的正面陈述？ 答 在 D 上无上界函数 f(x)的定义如下： M ， x0 D ，使得 ( ) 0 f x >M； 在 D 上无下界函数 f(x)的定义如下： L ， x0 D ，使得 ( ) 0 f x <L； 在 D 上无界函数 f(x)的定义如下： M >0， x0 D ，使得 ( ) 0 f x >M. 问题 2 由§2，习题 7 可知：若 A，B 皆为有界数集，则有 sup（A+B）=sup A + sup B. (4,1) 而本节教材例 2 中，若 f，g 为 D 上的有界函数，则 sup{ f (x) g(x)} x D + ≤ sup f (x) xD + sup g(x) xD (4,2) 而且可能成立严格不等式. 上面二式（4.1）与（4.2）是否有矛盾？为什么？ 答 （4.1）与（4.2）并不矛盾，这是因为 {f(x)+g(x)|x D} {f(x)| x D }+{g(x)| x D }, (4.3) 而且在包含关系（4.3）中左、右两边的集合可能不相等. 例如，f(x)=x，g(x)=-x，D=[0，1]，易见 {f(x)+g(x)|x D}={0}， {f(x)| x [0,1] }+{g(x)| x [0,1] }= [-1,1]， 于是 {f(x)+g(x)|x D} {f(x)| x D }+{g(x)| x D }. 出现不等的原因在于数集{f(x)| x D }+{g(x)| x D }中 x 是独立地取自 D 中. 若把（4.3）式中左、右 两边的数集看作相同而应用(4.1)，将导致错误的结论. 问题 3 试问周期函数的定义域是是否必定是（-∞，+∞）？ 答 否.例如 f(x)= sin x ，其周期σ=2
由此可见周期函数的定义域不一定为(-∞,+∞) 问题4试问周期函数是否必定有基本周期(最小正周期 答否.例如,常数函数,狄利克雷函数都是周期函数任何正实数都是常数函数的周期,任何 正的有理数都是狄利克雷函数的周期,但是这两个函数都无最小正周期(见本节习题第10题) 问题5一般定义在区间I上的函数f不一定是单调的.试问是否必定有在一个子区间I*cI, 使得f在I*上是单调的? 答否.例如狄利克雷函数不存在单调子区间(参见范例3) 问题6怎样给出函数f在区间I上不是严格单调的正面陈述? 答 f在I上不是严格单调◇→f在I上不是严格递减,也不是严格递增; f在I上不是严格递减分彐a12a2∈l,a1<a2,f(a1)≤f(a2) f在I上不是严格递增分彐a3,a4∈l,a3<a4,f(a1)≥f(a4) 第二章数列极限 §1数列极限概念 问题1如何用适当放大an-a的方法,按εN定义验证数列极限? 答在用E-N方法验证 lim a=a时,常用的一种方法是:VE>0,把a-a适当放大后化为 an-al|≤…≤G(n)<ε, 而由G(n)<E比较容易求得N1,当n>N1时G(n)<,即有an-aKe.注意: (1)G(n)仍应是无穷小数列(放大要适当); (2)由G(n)<e容易求得N (3)为了放大过程的方便,有时需要预先假定n>N0,最后取 N=max No, N, 如本节教材第24页中,在例3验证lmn =3时,取N=3,G( 9 E又得N1 (也可取N1=-),最后得到N=max{3,-}.在例4验证lmq”=0(q<1)时 G(n)=-,这里h= 9~1,由q°0K<E易解出N=一·又在例5验证ma=1(1)时, 取G(n)= 由a"-1≤<ε易解出N= 这些例题都是这样处理的
由此可见周期函数的定义域不一定为（-∞，+∞）. 问题 4 试问周期函数是否必定有基本周期（最小正周期）？ 答 否. 例如，常数函数，狄利克雷函数都是周期函数. 任何正实数都是常数函数的周期，任何 正的有理数都是狄利克雷函数的周期，但是这两个函数都无最小正周期（见本节习题第 10 题）. 问题 5 一般定义在区间 I 上的函数 f 不一定是单调的. 试问是否必定有在一个子区间 I* I， 使得 f 在 I*上是单调的？ 答 否. 例如狄利克雷函数不存在单调子区间（参见范例 3）. 问题 6 怎样给出函数 f 在区间 I 上不是严格单调的正面陈述？ 答 f 在 I 上不是严格单调 f 在 I 上不是严格递减，也不是严格递增； f 在 I 上不是严格递减 1 2 1 a , a I, a < 2 a ， ( ) a1 f ≤ ( ) a2 f ； f 在 I 上不是严格递增 3 4 3 a , a I, a < 4 a ， ( ) a3 f ≥ ( ) a4 f . 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 问题 1 如何用适当放大| an − a |的方法，按ε-N 定义验证数列极限？ 答 在用ε-N 方法验证 an a n = → lim 时，常用的一种方法是： >0，把| an − a |适当放大后化为 | an − a |≤…≤G（n）<ε， 而由 G（n）<ε比较容易求得 N1 ，当 n> N1 时 G（n）<ε，即有| an − a |<ε. 注意： （1）G（n）仍应是无穷小数列（放大要适当）； （2）由 G（n）<ε容易求得 N1 ； （3）为了放大过程的方便，有时需要预先假定 n> N0 ，最后取 N=max| N0 , N1 |. 例如本节教材第 24 页中，在例 3 验证 3 3 3 lim 2 2 = → n − n n 时，取 N0 =3，G（n）= n 9 ，由 3 3 3 2 2 − n − n < n 9 < ε又得 N1 = 9 （也可取 N1 = 9 ），最后得到 N=max{3, 9 }. 在例 4 验证 n n q → lim =0（|q|<1）时，取 G(n)= nh 1 ，这里 h= 1 | | 1 − q ，由| n q -0|< nh 1 <ε易解出 N= h 1 . 又在例 5 验证 lim =1 → n n a （a>1）时， 取 G（n）= n a −1 ，由 n a 1 -1≤ n a −1 <ε易解出 N= a −1 . 这些例题都是这样处理的