《数学分析》课程教学资源（试题集锦）测试题

测试题 第一章实数集与函数 1.证明:n≥1时,有不等式 √m 然后利用它证明:当m≥2时,有 2.设S是非空数集,试给出数ξ是S的下界,但不是S的下确界的正面陈述 3.验证函数f(x)=xsmx,x∈R,即无上界又无下界 4.设f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,试问f(g(x),g(f(x)是奇 函数还是偶函数? 5.证明: arctan+ arccot x=sgx(x≠0) 6.试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称 bx+c;(2)y=√a+x+√b-x 7.设A,B为R中的非空数集,且满足下述条件 (1)对任何a∈A,b∈B有a<b (2)对任何E>0,存在x∈Ay∈B,使得Y-x<E 证明:supA=infB 1.设n为正整数 (1)利用二项式展开定理证明: 4)订(,其中订是乘记号 若n>1,证明 2<1 k! 2.设E={2<7为有理数}求s甲E,mE 3.设A,B为位于原点右方的非空数集 AB=Lx

测试题 第一章 实数集与函数 （A） 1．证明： n ≥1 时，有不等式 2( 1) 1 2( +1 − )   n − n − n n n . 然后利用它证明：当 m ≥2 时，有 2 ) 1 2( 2) 1 m n m m n −   = . 2．设 S 是非空数集，试给出数 是S的下界 ，但不是 S 的下确界的正面陈述. 3．验证函数 f (x) = xsin x, xR ，即无上界又无下界. 4．设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， g(x) 是定义在 R 上的偶函数，试问 f (g(x)), g( f (x)) 是奇 函数还是偶函数？ 5．证明： sgn ( 0) 2 arctanx + arccot x = x x   . 6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称： （1） y = ax + bx + c 2 ；（2） y = a + x + b − x . 7．设 A，B 为 R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何 aA,bB 有 a  b ； （2）对任何   0 ，存在 x A, yB ，使得 Y − x   . 证明： sup A = inf B. （B） 1．设 n 为正整数. （1）利用二项式展开定理证明： = − =              = + −      + n k k r n n r n 1 k 1 0 1 ! 1 1 1 1  ，其中  1 0 − = k r 是连乘记号. （2）若 n 1 ，证明：  =   +        + n k n n 1 k 3 ! 1 1 1 2 1 2．设 E rr 7,r为有理数 2 =  ，求 sup E ，inf E 3．设 A，B 为位于原点右方的非空数集， AB = xy x A, yB

证明:nfAB= inf A- inf B 4.设函数f(x)定义于(0,+∞)内,试把f(x)延拓成R上的奇函数,f(x)分别如下: (1)f(x)=e' (2)f(x)=hx 5.试给出函数y=(x),x∈D不是单调函数的正面陈述。 6.证明:当xy<1时,有不等式 arctan + arctan=arctan- 7.设A,B是非空数集,记S=A∪B,证明: (2)inf S=min inf A, inf B) 第二章数列极限 1.按定义验证下列极限 lim 5n2+n-4 设b 求lmb 2 3.若lm(a+a2+…+an)=S,证明 4.设a.由下式定义 a,= (n>1a1>1) 证明iman=1 5.试问下述论断是否正确,并说明理由: (1)lim-+-+……+ lim-+lim-+……+lim n)n→nnn (2)若 lim a=a,则ntf{an}≤ assunta}

证明： inf AB = inf Ainf B 4．设函数 f (x) 定义于 (0,+) 内，试把 f (x) 延拓成 R 上的奇函数， f (x) 分别如下： （1） ( ) x f x = e ； （2） f (x) = ln x 5．试给出函数 y = f (x)， xD 不是单调函数的正面陈述。 6．证明：当 xy 1 时，有不等式 xy x y x y − + + = 1 arctan arctan arctan 7．设 A，B 是非空数集，记 S = A  B ，证明： （1） sup S = maxsup A,sup B ； （2） inf S = mininf A,inf B 第二章 数列极限 （A） 1．按定义验证下列极限： 2 5 2 3 5 4 lim 2 2 = − + − → n n n n 2．设 n n bn + + + = 1 2  2 1 ，求 n n b → lim 3．若 (a a an ) S n + + + = → lim 1 2  ，证明 ( 2 ) 0 1 lim 1 + 2 + + = → n n a a na n  4．设 n a 由下式定义 ( 1, 1) 3 3 1 1 n  a1  a a a n n n + + + = 证明 lim =1 → n n a 5．试问下述论断是否正确，并说明理由： （1） n n n n n n n n n n n 1 lim 1 lim 1 lim 1 1 1 lim → → → →  = + + +      + + +    = 0 + 0 ++ 0 = 0 （2）若 an a n = → lim ，则 inf an  a  supan 

6.设lma=A,求证: im{an+Cla1+…+Ca+…+C"a)=A 7.设数列{xn}满足0≤xn+xn,则 lim - n= inf 1.求limx.,其中 (2) √/+ y=(n=23…),求极限m 3.设man=a,mb=b,a<b,试证存在发散数列{cn},满足an≤cn≤b 4.设正数数列{xn},满足m-=0,则{xn}必能取到下确界。 5.设limn imbn=b,试证 6, +a,b b1 6.若lman=a,σn=1+λ2+…+λn,1>0,(=12,…n),m-=0 1a1+A2a2+…+ +入2+…+λ 7.证明:若有界数列满足2xn≤xn1+xn1,则 (, -xm-)=0 第三章函数极限

6．设 an A n = → lim ，求证： (a C a C a C an ) A n k n k n n n n + + + + + = → 0 1 1   2 1 lim 7．设数列 xn  满足 m n 0  x + x ，则       = → n x n xn n n lim inf （B） 1．求 n n x → lim ，其中 （1）        +       +      xn = + n 2 4 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1  ； （2） = + + + = n i n i x 1 3 3 3 1 2 1  2．设 0  x 1， 2 1 x y = ，…， ( 2,3,) 2 2 2 1 = + = − n x y y n n ，求极限 n n y → lim 3．设 an a n = → lim ， bn b n = → lim ， a  b ，试证存在发散数列 cn  ，满足 n n bn a  c  4．设正数数列 xn  ，满足 0 1 lim = → n n x ，则 xn  必能取到下确界。 5．设 an a n = → lim ， bn b n = → lim ，试证 ab n a bn a bn anb n = + − + + → 1 2 1 1 lim  6．若 an a n = → lim ， n = 1 + 2 ++ n ，i  0 ，(i =1,2,  , n)， 0 1 lim = → n n  证明 a a a a n n n n = + + + + + + →         1 2 1 1 2 2 lim 7．证明：若有界数列满足 2 n  n−1 + n+1 x x x ，则 lim( − −1 )= 0 → n n n x x 第三章 函数极限 （A）

1.试按定义验证 2.写出函数极限lmf(x)=+∞的定义,并按此验证:当a>1时, 3、求极限 4、求极限: I-cos x x03/1 COSx 5、举例说明下面关于lmf(x)=A的定义是不正确的:对于任意d>0,存在E>0,使得当 <x-a<0时,便有(x)-4<E 6、证明:f(x)=-sn-在U°(0)内无界,但x→0时不是无穷大量 7、设对任意正整数n,A是[01]中某些数的有限集,且当m≠n时A∩An≠O,定义函数 x∈A(n=1,2,…) f(x)=n Xg∪A 证明对所有[中的a,linf(x)=0 1、按定义验证: 2、写出函数极限imf(x)=-∞的定义,并验证 3、求极限 x+B1)…(x+Bn) 4、求极限: lim train x

1．试按定义验证： 1 2 1 1 lim 2 2 0 = − − − → x x x x 2．写出函数极限 ( ) = + →− f x x lim 的定义，并按此验证：当 a 1 时， = + − →− x x lim a 3、求极限 . 1 1 1 1 1 1 lim 0           + + − − + → + x x x x x x x 4、求极限： . 1 cos 1 cos lim 3 3 2 0 x x x − − → 5、举例说明下面关于 f x A x a = → lim ( ) 的定义是不正确的：对于任意   0 ，存在   0 ，使得当 0  x − a  时，便有 f (x) − A . 6、证明： x x f x 1 sin 1 ( ) = 在 (0)  U 内无界，但 x → 0 时不是无穷大量。 7、设对任意正整数 n A n , 是 [0,1] 中某些数的有限集，且当 m  n 时 A n  A m  ○，定义函数        = =  0, . , ( 1,2, ), 1 ( ) 1 k k n x A x A n n f x  证明对所有 [0,1] 中的 ,lim ( ) = 0. → a f x x a （B） 1、按定义验证： . 2 1 2 1 1 lim 2 2 = − − − → x x x x 2、写出函数极限 + = − → lim ( ) 0 f x x x 的定义，并验证 lim ln . 0 + = − → x x 3、求极限： lim  ( ) ( ) . 1 x x x n n x + + − →+    4、求极限： . 1 sin cos lim 2 0 x x x x x + − →

5、证明 (1)lm lim f(x) (2)lm lim f(x) 6、设f(1)为t→l0时的无穷大量,P(x)与Q(x)是多项式 P(x)=anx+anx+…+ax+a,an≠0, O(x)=bx+b b,bn≠0, 则当t→t0时 a, ff() n>m P((t)+Q(f(1)~{(an+b)f(t)",n=m bm(f(o) n<m 7、设f(x)~x(x→0),a>0. (1)证明等式a=S2-1a (2)若x=∑ a,试证 lim x=a 第四章函九的连续性 1.讨论函数y=-的间断点及其类型 2.设(1)函数f(x)在点x连续,但函数g(x)在点x不连续;(2)函数f(x),g(x)都在点x 不连续,分别讨论∫(x)+g(x)或∫(x)·g(x)在点x是否必定不连续? 3.求极限: (a>0,b>0) 4.求极限: log, (x+h)+ log (x-h)-2 log, x (x>0) 设△ABC为平面上一个三角形,作平行于y轴的直线与三解形相交,证明其中必有一条直

5、证明： （1） lim ( ); 1 lim 0 f x x f x→ x→−  =      − （2） lim ( ). 1 lim 0 f x x f x→ x→  =      6、设 f (t) 为 0 t → t 时的无穷大量， P(x) 与 Q(x) 是多项式： ( ) , 0, ( ) , 0, 1 0 1 1 1 0 1 1 = + + + +  = + + + +  − − − − m m m m m n n n n n Q x b x b x b x b b P x a x a x a x a a   则当 0 t → t 时，        + + = ( ( )) , . ( )( ( )) , , ( ( ) , , ( ( )) ( ( )) ~ b f t n m a b f t n m a f t n m P f t Q f t m m n n n n n   7、设 f (x) ~ x(x →0),a  0. （1）证明等式 = − = n i a n i a 1 2 ; 2 1 （2）若 =       − = n i n a n i x f 1 2 2 1 ，试证 lim x a. n n = → 第四章 函九的连续性 1．讨论函数 x x y sin = 的间断点及其类型. 2．设（1）函数 f (x) 在点 0 x 连续，但函数 g(x) 在点 0 x 不连续；（2）函数 f (x) ，g(x) 都在点 0 x 不连续，分别讨论 f (x) + g(x) 或 f (x) · g(x) 在点 0 x 是否必定不连续？ 3．求极限： ( 0, 0) 1 lim           − + → a b a a b n n n . 4．求极限： ( 0) log ( ) log ( ) 2log lim 2 0  + + − − → x h x h x h x a a a h . 5．设ΔABC 为平面上一个三角形，作平行于 y 轴的直线与三解形相交，证明其中必有一条直