《数学分析》课程教学资源（试题集锦）总练习题提示与解答

总练习题提示与解答 第一章实数集与函数 1.设a,b∈R,证明 (1)max,b)2=5(a+b+l-b) (2)mx{,b}=(a+b-|a-b) 提示讨论a≥b和a<b两种情况 2.设∫和g都是D上的初等函数定义 M(x)=max ff(x), g(x)), m(x)f(x)8(x)hxED 试问M(x)和m(x)是否为初等函数? 解应用第1题结论,可得 M(x)=((x)+g(x)+|(x)-g(x) 若f(x)g(x)是初等函数,则f(x)±g(x)也是初等函数(x)-g(x)可看作初等函数y==Vn2与 =f(x)-g(x)的复合函数,因而也是初等函数,于是M(x)是初等函数同理m(x)也是初等函数 设函数f(x) 求 f(-x),f(x+1)f(x)+1,f(-), f(r)(x2),fff(x) 1+xx2 1+x1-x2 1+xx+11-x21+x2 4.已知/3y=x++,求(0(=++x2 5.利用函数y=[x]求解 (1)某系各班级推选学生代表,每5人推选一名代表,余额满3人可增选1名写出可推选代 表数y与班级学生数x之间的函数关系(假设每班学生数为30-50人); x=30,31,…,50 (2)正数x经四舍五入后得整数y,写出y与x之间的函数关系.(y=[x+05]x>0) 6.已知函数y=f(x)的图像,试作下列各函数的图像 (1)y=-f(x);(2)y=f(-x);(3)y=-f(-x);(4)y=f(x);(5)y=sgnf(x);(6)

总练习题提示与解答 第一章 实数集与函数 1．设 a,bR ，证明： （1）   ( ) 2 1 max a,b = a + b + a − b ； （2）   ( ) 2 1 mix a,b = a + b − a − b . 提示 讨论 a b和a b 两种情况. 2．设 f 和g 都是 D 上的初等函数.定义 M (x) = maxf (x), g(x),m(x)f (x), g(x), xD . 试问 M (x)和m(x) 是否为初等函数？ 解 应用第 1 题结论，可得 ( ( ) ( ) ( ) ( )) 2 1 M(x) = f x + g x + f x − g x . 若 f (x), g(x) 是初等函数，则 f (x)  g(x) 也是初等函数. f (x) − g(x) 可看作初等函数 2 y = u = u 与 u = f (x) − g(x) 的复合函数，因而也是初等函数，于是 M(x) 是初等函数.同理 m(x) 也是初等函数. 3．设函数 x x f x + − = 1 1 ( ) ，求 , ( ), ( ( )) ( ) 1 ), 1 ( ), ( 1), ( ) 1, ( 2 f x f f x x f x f −x f x + f x + f .         + − − + + − + + − − + x x x x x x x x x x x x , 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 2 , 2 , 1 1 2 2 4．已知 ) 1 ( x f = 2 x + 1+ x ，求 f (x) .         + = + x x x f x 2 1 1 ( ) 5．利用函数 y =[x] 求解： （1）某系各班级推选学生代表，每 5 人推选一名代表，余额满 3 人可增选 1 名.写出可推选代 表数 y 与班级学生数 x 之间的函数关系（假设每班学生数为 30~50 人）；         =       + = , 30,31, ,50 5 2 x  x y （2）正数 x 经四舍五入后得整数 y，写出 y 与 x 之间的函数关系.（y=[x+0.5],x>0） 6．已知函数 y = f (x) 的图像，试作下列各函数的图像： （1） y = − f (x) ；（2） y = f (−x) ；（3） y = − f (−x) ；（4） y =| f (x)| ；（5） y = sgn f (x) ；（6）

y=2(x)+/()y=U(x)- 7.已知函数∫和g的图像,试作下列各函数的图像 (1)(x)=max{(x),g(x)};(2)v(x)=mx{(x,g(x)} 提示应用上面第2题解答和第6题(6),(7) 8.设f,g和h为增函数,满足 f(x)≤g(x)≤h(x),x∈R 证明:f(f(x)≤g(g(x)≤h(h(x) 证因为x∈R,f(x)≤g(x),且f为增函数,所以 f(f(x)≤f(g(x) 又因f(y)≤g(y),取y=g(x),即有f(f(x)≤f(g(x);于是证得f(f(x)≤f(g(x)同理 利用g(x)是增函数可证g(g(x)≤h(H(x)这里没有用到h(x)的增函数性质(如果顺序倒过来证 就会用到h(x)的递增性) 9.设∫和g为区间(ab)上的增函数,证明第7题中定义的函数o(x)和v(x)也都是(a1b) 上的增函数 证现证v(x)=mn{(x),g(x)}为增函数设x1,x2∈(a,b),x1<x2,按定义 f(x1)≤f(x2),8(x1)≤g(x2), 于是min{(x1),g(x1)≤f(x1)≤f(x2), min{(x1).(x1)≤8(x)≤g(x12) 这样就证得 min ff(x), &(x) min f(x, ) &(x,) 即min{f(x),g(x)}为增函数同事可证max{(x)g(x)}也为增函数 10.设∫为-aa]上的奇(偶)函数证明:若∫在[O,a上增,则∫在[-a0上增(减) 提示若x1,x2∈[-a0],x1<x2,则x,x2∈[-a0]x<x2,于是f(-x1)>f(-x2) 2.设∫,g为D上的有界函数证明 (1)inf f(x)+8(x))< inf f(x)+sup g(x) (2)sup f(x)+inf g(x)<sulf(x)+g(x) 证法一(1)因为vx∈D,g(x)≤supg(x),于是 f(x)+g(x)sf(x)+sup g(x) 由教材§4,习题7可知 inf ff(x)+g(x))s inff(x)+sup g(x)=inf f(x)+ sup g(x)

 ( ) ( ) 2 1 y = f x + f x ；（7）  ( ) ( ) 2 1 y = f x − f x . 7．已知函数 f 和 g 的图像，试作下列各函数的图像： （1） (x) = maxf (x), g(x) ；（2）  (x) = mixf (x), g(x). 提示 应用上面第 2 题解答和第 6 题（6），（7）. 8．设 f ，g 和 h 为增函数，满足 f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ， x R . 证明： f ( f (x)) ≤ g(g(x)) ≤ h(h(x)). 证 因为 xR ， f (x) ≤ g(x) ，且 f 为增函数，所以 f ( f (x)) ≤ f (g(x)) ； 又因 f ( y) ≤ g(y) ，取 y = g(x) ，即有 f ( f (x)) ≤ f (g(x)) ；于是证得 f ( f (x)) ≤ f (g(x)).同理， 利用 g(x) 是增函数可证 g(g(x)) ≤ h(h(x)).这里没有用到 h(x) 的增函数性质（如果顺序倒过来证， 就会用到 h(x) 的递增性）. 9．设 f 和 g 为区间（a,b）上的增函数，证明第 7 题中定义的函数 (x) 和 (x) 也都是（a,b） 上的增函数. 证 现证 (x) = minf (x), g(x) 为增函数.设 1 2 1 2 x , x (a,b), x  x ，按定义 ( )1 f x ≤ ( ) 2 f x ， ( ) 1 g x ≤ ( ) 2 g x ， 于是 minf (x1 ), g(x1 ) ≤ ( )1 f x ≤ ( ) 2 f x ， minf (x1 ), g(x1 ) ≤ ( ) 1 g x ≤ ( ) 2 g x . 这样就证得 minf (x1 ), g(x1 ) ≤ minf (x2 ), g(x2 )， 即 minf (x), g(x) 为增函数.同事可证 maxf (x), g(x) 也为增函数. 10．设 f 为[-a,a]上的奇（偶）函数.证明：若 f 在[0,a]上增，则 f 在[-a,0]上增（减）. 提示 若 1 2 1 2 x , x [−a,0], x  x ，则 1 2 1 2 x , x [−a,0], x  x ，于是 ( ) ( ) 1 2 f −x  f −x . 12．设 f ， g 为 D 上的有界函数.证明： （1） inf f (x) g(x) x D +  ≤ inf f (x) sup g(x) x D x D   + ； （2） sup f (x) inf g(x) x D x D   + ≤ supf (x) g(x) x D +  . 证法一 （1）因为 xD, g(x) ≤ sup g(x) xD ，于是 f (x) + g(x) ≤ f (x) sup g(x) xD + . 由教材§4，习题 7 可知 inf f (x) g(x) x D +  ≤       +   inf f (x) sup g(x) x D x D = inf f (x) sup g(x) x D x D   +

最后等式是应用了本书§2范例4中的结论 (2)x∈D,f(x)+nfg(x)≤f(x)+g(x) 于是 supf(x)+inf g(x)< sup(f(x)+g(x)) 由此即得 迎/(x)+8(x)≤p(x)+8() 证法二(1)由supg(x)=nf{g(x)},应用教材§4例2中的结论,有 inf f(x)+8(x))+inf(g(x))<inf f(x) inf ff(x)+8(x))<inf f(x)+sup g(x) x∈D 同理可证(2) 13.设f,g为D上非负有界函数证明: (1)nf(x),nfg(x)≤nf{f(x)·g(x) (2)sulf(x)g(x))S sup f(x).sup g(x) 证(1)因为f,g为D上的非负有界函数,于是nff(x)≥0,infg(x)≥0.若nff(x),infg(x) 中有一为零,则不等式显然成立,故不妨设ntff(x)>0,nfg(x)>0.由于f,g的非负性,因此 f(x)·nfg(x)≤f(x)g(x), 由此可得 inf(x)inf g(x))< inf V(x)g(x)) 于是有 mt(xrg(x)≤mx)gx, 最后不等式是应用了m(x)=amf(x)a>0) 若f∫,g的非负性条件不满足,结论(1)可能不成立例如 f(x)= 2(x-1),g(x)=-x,x∈D=[0,, ∫是非负函数,g是非正函数,不难验证 inf f(x)=0, inf g(x) inff(x).(x)=inf x(x-D=-

最后等式是应用了本书§2 范例 4 中的结论. （2） x D ， f (x) inf g(x) xD + ≤ f (x) + g(x)， 于是 supf (x) inf g(x) x D x D   + ≤ supf (x) g(x) x D +  ， 由此即得 sup f (x) inf g(x) x D x D   + ≤ supf (x) g(x) x D +  . 证法二 （1）由 sup g(x) xD =- inf  g(x) x D −  ，应用教材§4 例 2 中的结论，有 inf f (x) g(x) x D +  + inf  g(x) x D −  ≤ inf f (x) xD ， inf f (x) g(x) x D +  ≤ inf f (x) sup g(x) x D x D   + . 同理可证（2）. 13．设 f ， g 为 D 上非负有界函数.证明： （1） inf f (x) inf g(x) xD xD  ≤ inf f (x) g(x) x D   ； （2） supf (x)g(x) xD ≤ sup f (x) sup g(x) xD xD  证（1）因为 f ，g 为 D 上的非负有界函数，于是 inf f (x) xD ≥0，inf g(x) xD ≥0.若 inf f (x) xD ，inf g(x) xD 中有一为零，则不等式显然成立，故不妨设 inf f (x) xD >0，inf g(x) xD >0.由于 f ， g 的非负性，因此 f (x) ·inf g(x) xD ≤ f (x) g(x) ， 由此可得 inf f (x) inf g(x) xD xD  ≤ inf f (x)g(x) xD ， 于是有 inf f (x) inf g(x) xD xD  ≤ inf f (x)g(x) xD ， 最后不等式是应用了  =   af x a x D inf ( ) inf ( )(  0)  f x a x D . 若 f ， g 的非负性条件不满足，结论（1）可能不成立.例如， ( 1) 2 1 f (x) = − x − ， g x x 2 1 ( ) = − ， xD =[0,1]， f 是非负函数， g 是非正函数，不难验证 inf ( ) = 0  f x x D ， 2 1 inf ( ) = −  g x x D ， inf f (x) g(x) x D   = 16 1 ( 1) 4 1 inf = −       −  x x x D

因而(1)中不等式不成立 同理可证(2) 14.将定义在(0,+∞)上的函数∫延拓到R上,使延拓后的函数为(i)奇函数,(i)偶函 数,设 f(x) (2)f(x)= x2,0<x≤1, 解(1)f是定义在(0,+∞)上的,为了把函数f延拓到R上,必须将∫定义域扩充到(-∞0 上去,得到R上的函数F(x)在(0,+∞)上应当与f(x)相合 (i)为了使∫延拓后成为奇函数,而奇函数的图形关于原点对称,所以应当定义 snx+1,x>0, F(x)={0 容易验证,x∈R,F1(-x)=-F1(x),因此F1(x)即为所求的奇函数 (i)F2(x)= x+1,x≥0 sin x. x<0 为所求的偶函数 (=1 0≤x≤1, -x2,-1≤x<0 为所求的奇函数 X F2(x)={1-√1-x2,|xk1 为所求的偶函数 15.设∫为定义在R上以h为周期的函数,a为实数证明:若∫在[a,a+h上有界,则∫在R 上有界 证由条件∫在[a,a+h上有界,故丑M>0,对于vx∈[a,a+h,有|f(x)|≤M Wx∈R,m∈Z,使得x=mh+x1,其中x1∈[a,a+h]因为f以h为周期,所以vx∈R,满足 (x)=|f(mh)+x|=|(x)≤M 即f是R上的有界函数 16.设∫在区间I上有界记 M=sup f(x), m=inf f(x) 证明:

因而（1）中不等式不成立. 同理可证（2）. 14．将定义在（0，+∞）上的函数 f 延拓到 R 上，使延拓后的函数为（i）奇函数，（ii）偶函 数，设 （1） f (x) = sin x +1 ； （2）      − −   = , 1 1 1 , 0 1, ( ) 3 2 x x x x f x 解 （1） f 是定义在（0，+∞）上的，为了把函数 f 延拓到 R 上，必须将 f 定义域扩充到 (−,0] 上去，得到 R 上的函数 F(x) 在（0，+∞）上应当与 f (x) 相合. （i）为了使 f 延拓后成为奇函数，而奇函数的图形关于原点对称，所以应当定义     −  = +  = sin 1, 0. 0, 0, sin 1, 0, ( ) 1 x x x x x F x 容易验证， , ( ) ( ) 1 1 xR F −x = −F x ，因此 ( ) 1 F x 即为所求的奇函数. （ii）    −  +  = 1 sin , 0. sin 1, 0, ( ) 2 x x x x F x 为所求的偶函数. （2）（i）         − − + − −   − −    = , 1 1 1 , 1 0, 1 1 , 0 1, , 1, ( ) 3 2 2 3 1 x x x x x x x x F x 为所求的奇函数. （ii）       − − −   = , 1. 1 1 , | | 1, , 1, ( ) 3 2 3 2 x x x x x x F x 为所求的偶函数. 15．设 f 为定义在 R 上以 h 为周期的函数， a 为实数.证明：若 f 在 [a,a + h] 上有界，则 f 在 R 上有界. 证 由条件 f 在 [a,a + h] 上有界，故 M  0 ，对于 x[a, a + h] ，有 | f (x)| ≤M. xR,mZ ，使得 1 x = mh + x ，其中 [ , ] x1  a a + h .因为 f 以 h 为周期，所以 xR ，满足 f (x) = f (mh) + x1 = f (x1 )  M ， 即 f 是 R 上的有界函数. 16．设 f 在区间 I 上有界.记 M sup f (x) xI = ， m inf f (x) xI = . 证明：

supf(x)-f(x"=M-m 证按确界定义,应当证明 x"∈,f(x)-f(x")≤M (2)VE>0, Ex, x"EI, f(r,)f(r"<M-m-E 先证(1)Wx,x"∈I,f(x)≤M,f(x")≥m,于是有 f(x)-f(x")≤M-m 同理又有 f(x")-f(x)≤M-m, Jf(x)-f(x")≤M-m 再证(2)若M=m,则f(x)在I上恒为常数,结论是显然的不妨设Mm,取正数E<M-m 为 M=sup f(x), m=inf f(x), 所以V>0,3x',x"∈I,使得 <f(x),f(x")<m+ E 于是 M-m-E<f(r)-f(r")s(r)-f(x") 由此可见 f(x)-f(x”) 第二章数列极限 §1数列极限概念 1.求下列数列的极限: (1) lim Vn3+3"(=3);(2)lm(=0) )(=0) 2.证明

f x f x M m x x I  −  = −   sup ( ) ( ) , . 证 按确界定义，应当证明： （1） x  , x I ， f (x ) − f (x ) ≤ M − m ； （2）   0,x  , x I ， f (x ) − f (x ) < M − m −  ； 先证（1） x  , x I ， f (x ) ≤ M ， f (x ) ≥ m ，于是有 f (x ) − f (x ) ≤ M − m ， 同理又有 f (x ) − f (x ) ≤ M − m ， 即 f (x ) − f (x ) ≤ M − m . 再证（2）.若 M = m ，则 f (x) 在 I 上恒为常数，结论是显然的.不妨设 M>m，取正数   M − m .因 为 M sup f (x) xI = ， m inf f (x) xI = ， 所以   0,x  , x I 2  ，使得 ( ) 2 M −  f x   ， 2 ( )  f x   m + ， 于是 M − m −   f (x ) − f (x )  f (x ) − f (x ) . 由此可见 sup ( ) ( ) , f x f x x x I  −    = M − m . 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 1．求下列数列的极限： （1） lim 3 ( 3) 3 + = → n n n n ；（2） lim ( 0) 5 = → n n e n ； （3） lim( + 2 − 2 +1 + )(= 0) → n n n n . 2．证明：