第十章定积分的应用 §1平面图形的面积与立体的体积 例1求由曲线y=一与y=(x-3)2所围平面图形的面积(图10-10中的A),并求此图 形绕x轴旋转的旋转体体积。] 分析求双曲线xy=4与抛物线y=(x-3)2的交点 x(x-3)2=x3-6x2 (x-1)2(x-4)=0→x2=1x3=4 由此知道二曲线在x=1处相切,在x=4处相交 解根据以上分析所得结果,按平面图形的面积公式与旋转体的体积公式,可分别求 得: A (x-3)2d =81n2-3; 丌 例2如图10-1所示,由点M(2a0)向椭圆+2=1作两条切线MP和MQ(P,Q 为切点)。试求椭圆与切线所围阴影区域的面积A,并求该区域绕y轴旋转所得旋转体的体 积V 解本题的关键是求切线MP和MQ的方程,通常有两种解法 [解法一]求切线的斜率。设MP的方程为y=k(x-2a),当它与椭圆相切时,方程组 对x只有唯一解。为此消去y,得到关于x的二次方程: (b2+a2k2)x2-4a3k2x+4a4k2-a2b2=0 使其判别式为零,即
第十章 定积分的应用 §1 平面图形的面积与立体的体积 例 1 求由曲线 x y 4 = 与 2 y = (x − 3) 所围平面图形的面积（图 10-10 中的 A），并求此图 形绕 x 轴旋转的旋转体体积。] 分析 求双曲线 xy = 4 与抛物线 2 y = (x − 3) 的交点： ( 3) 6 9 4, 2 3 2 x x − = x − x + x = 即 ( 1) ( 4) 0 1, 4. 1,2 3 2 x − x − = x = x = 由此知道二曲线在 x =1 处相切，在 x = 4 处相交。 解 根据以上分析所得结果，按平面图形的面积公式与旋转体的体积公式，可分别求 得： 81 2 3; ( 3) 3 1 41 ( 3) 4 4 1 3 4 1 2 = − = − − = − − n nx x x dx x A . 5 27 ( 3) 5 1 5 16 ( 3) 4 4 1 5 4 1 4 2 = = − − − − − = x x dx x V 例 2 如图 10-11 所示，由点 M(2a,0) 向椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 作两条切线 MP 和 MQ（P，Q 为切点）。试求椭圆与切线所围阴影区域的面积 A，并求该区域绕 y 轴旋转所得旋转体的体 积 V。 解 本题的关键是求切线 MP 和 MQ 的方程，通常有两种解法。 [解法一] 求切线的斜率。设 MP 的方程为 y = k(x − 2a) ，当它与椭圆相切时，方程组 = − + = ( 2 ) 1, 2 2 2 2 y k x a b y a x 对 x 只有唯一解。为此消去 y，得到关于 x 的二次方程： ( ) 4 4 0. 2 2 2 2 3 2 4 2 2 2 b + a k x − a k x + a k − a b = 使其判别式为零，即
2)(4ak2-a2b2) 由此解出h2b2 k=±一.这就是MP和MQ的斜率 [解法二]求切点坐标。为此对椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2两边分别对x求导数(把y 看作x的复合函数),得 并由此解出y,这是椭圆上任一点(xy)处的切线斜率。于是,过点(xy)的切 线方程为 b x(X-x)+ayr-y)=0 使它通过定点M(2a,0),即以X=2a,Y=0代入,得到 并有 这求得切点Ab(=45b 由于MP的方程为x=20-30y,借助对称性,可分别计算A和V如下: A=2 =22 (b2-y2)p √3m2b 说明根据图形特征,上面在计算A与Ⅴ时选择以y作为积分变量,这是很合理的。 例3如图10-12所示,为阿基米德螺线r=a(a>0.0≥0),图中S0,S1,S2,…分别表
16 4( )(4 ) 0, 6 4 2 2 2 4 2 2 2 a k − b + a k a k − a b = 由此解出 . 3 , 3 2 2 2 a b k a b k = = 这就是 MP 和 MQ 的斜率。 [解法二] 求切点坐标。为此对椭圆方程 2 2 2 2 2 2 b x + a y = a b 两边分别对 x 求导数（把 y 看作 x 的复合函数），得 2 2 0, 2 2 b x + a yy = 并由此解出 a y b x y 2 2 = − ，这是椭圆上任一点（x,y）处的切线斜率。于是，过点（x,y）的切 线方程为 ( ) ( ) 0. 2 2 b x X − x + a y Y − y = 使它通过定点 M(2a,0) ，即以 X = 2a,Y = 0 代入，得到 (2 ) 0, 2 2 2 b x a − x − a y = 并有 2 . 2 2 2 2 2 2 2 ab x = b x + a y = a b 这就求得切点 . 2 3 , 2 , 2 3 , 2 − b a b Q a P 由于 MP 的方程为 y b a x a 3 = 2 − ，借助对称性，可分别计算 A 和 V 如下： b y dy b a y b a A a b = − − − 2 3 0 3 2 2 2 2 b b y y b y b b a y b a a y 2 3 0 2 2 2 2 arcsin 2 2 3 2 2 = − − − + ; 3 3 ab − b y d y b a y b a V a b − − = − 2 3 0 2 2 2 2 2 ( ) 3 2 2 3 . 4 3 4 2 3 2 2 3 0 2 2 2 y d y a b b y b a b = = − + 说明 根据图形特征，上面在计算 A 与 V 时选择以 y 作为积分变量，这是很合理的。 例 3 如图 10-12 所示，为阿基米德螺线 r = a(a 0, 0) ，图中 S0 , S1 , S2 , 分别表
示螺线每相邻两卷之间的面积。证明S1,S2,…成等差数列。 证根据极坐标形式下的面积计算公式,先求出 A g (a0) de a2r(3k2+3k+1) 注意到 S0=A0,S1=A1-A0,S2=A2-A 故得 S,=A-A a2n3(3k2+3k+1)-(3k2-3k+1 =8a2丌3kk=12 由此可见S1,S2…成等差数列,公差为8a2r3 注意不要把A4误认为S4因为A4表示矢径从=2至=2kx+2x所扫过的面 积,它不仅扫过了S4,同时还扫过了S0,S1,…,S1 例4试求由参数方程 表示的曲线所围成图形的面积。 分析由 x=1(2-1),y=t2(2-D) 看出x(0)=x(2)=0,y(0)=y(2)=0.说明参数由t=0递增至t=2时,曲线上的动点从坐标原 点出发又回到坐标原点(该曲线的图像示于图10-13)。 解根据以上分析和前面在图10-6中给出的计算公式,便可求得该曲线所围成平面图 形的面积: 4=(2r2-r')21-1)dd
示螺线每相邻两卷之间的面积。证明 S1 , S2 , 成等差数列。 证 根据极坐标形式下的面积计算公式，先求出： + = (2 2) 2 2 ( ) 2 1 k k Ak a d (3 3 1), 3 4 2 3 2 = a k + k + k = 0,1,2, . 注意到 , , , , S0 = A0 S1 = A1 − A0 S2 = A2 − A1 故得 Sk = Ak − Ak −1 [(3 3 1) (3 3 1)] 3 4 2 3 2 2 = a k + k + − k − k + = 8a 2 3 k, k =1,2, 由此可见 S1 , S2 , 成等差数列，公差为 8 . 2 3 a 注意 不要把 Ak 误认为 . k S 因为 Ak 表示矢径从 = 2k 至 = 2k + 2 所扫过的面 积，它不仅扫过了 k S ，同时还扫过了 , , , . S0 S1 Sk −1 例 4 试求由参数方程 2 2 3 x = 2t − t , y = 2t − t 表示的曲线所围成图形的面积。 分析 由 (2 ), (2 ) 2 x = t − t y = t − t 看出 x(0) = x(2) = 0, y(0) = y(2) = 0. 说明参数由 t = 0 递增至 t = 2 时，曲线上的动点从坐标原 点出发又回到坐标原点（该曲线的图像示于图 10-13）。 解 根据以上分析和前面在图 10-6 中给出的计算公式，便可求得该曲线所围成平面图 形的面积： = − − 2 0 2 3 2 A (2t t )(2t t ) dt = − − 2 0 2 3 2 (2t t )(1 t)dt = − + 2 0 4 3 2 2 (t 3t 2t )dt . 15 8 15 4 = 2 − =
说明与前面问题3中所指出的结论相对照,这里的 yt)r'(t)di 为一负值,表示t在[0,2这一变化过程中,曲线上的动点(x(t),y(t))是按逆时针方向 例5求由双曲抛物面x=x2-y2、平面x=1与二=0所围立体的体积。 分析该立体如图10-14(a)所示。由于它不是一个旋转体,因此只能通过先求出截 面面积函数,而后再求定积分的方法来计算立体体积。从我们对双曲抛物面的认识可以知道, 垂直于z轴的截面形状是一族双曲线弓形(示于图10-14(b)),垂直于ⅹ轴的截面形状是 族抛物弓形(示于图10-14(c)。若能求得截面面积函九A(z)或A(x),便有 V=4(=)d=4(x) 解下面人出两种解法,以便于进行比较。 [解法一]在计算A(z)时,应把z看作在⑩,1上的任一固定实数。此时,水平截线 是一族双曲线x2-y2=2(每个z的值对应一条双曲线),或写作 于是所求双曲线弓形的面积为 √x 2-=1n(x+ 由此便有 =[M=-m+0)k+2mh 现分别计算右边三个积分如下 -In(1+ 2) dr(t t)dt= lIned= im2|:21n2
说明 与前面问题 3 中所指出的结论相对照，这里的 = − 2 0 15 8 y(t)x (t)dt 为一负值，表示 t 在[0,2]这一变化过程中，曲线上的动点（x（t），y（t））是按逆时针方向 运动的。 例 5 求由双曲抛物面 2 2 z = x − y 、平面 x =1 与 z = 0 所围立体的体积。 分析 该立体如图 10-14（a）所示。由于它不是一个旋转体，因此只能通过先求出截 面面积函数，而后再求定积分的方法来计算立体体积。从我们对双曲抛物面的认识可以知道， 垂直于 z 轴的截面形状是一族双曲线弓形（示于图 10-14（b）），垂直于 x 轴的截面形状是一 族抛物弓形（示于图 10-14（c））。若能求得截面面积函九 A（z）或 A（x），便有 = = 1 0 1 0 V A(z)dz A(x)dx. 解 下面人出两种解法，以便于进行比较。 [解法一] 在计算 A（z）时，应把 z 看作在[0,1]上的任一固定实数。此时，水平截线 是一族双曲线 x − y = z 2 2 （每个 z 的值对应一条双曲线），或写作 , [ ,1]. 2 y = x − z x z 于是所求双曲线弓形的面积为 A z x zdx z = − 1 2 ( ) 2 1 2 2 1 ( ) = = − − + − = x x z x x z z n x x z = 1− z − z1n(1+ 1− z + z1n z), 由此便有 = − − + − + 1 0 1 0 1 0 1 . 2 1 V 1 zdz z1n(1 1 z)dz z nzdz 现分别计算右边三个积分如下： ; 3 2 (1 ) | 3 2 1 0 1 2 3 1 0 − = − = zdz z − + − + − = + − + 1 0 1 0 2 1 0 2 4 1 1 1 1 (1 1 )| 2 1 1 (1 1 ) d z z z z z n z d z z n z = − + − = 1 0 2 2 ( 1 ) 1 (1 ) 2 1 dt t z t t ; 24 5 (1 ) 2 1 1 0 2 3 = − − + = t t t dt1 0 2 2 1 0 | 2 1 4 1 1 2 1 = − z z nzdz z nz 1 2 2 0 | 2 1 4 1 lim u u z z nz = − → +
lm u In- 所以V= 2511 3248 [解法二]类似地,在计算A(x)时应把ⅹ看作在[O.,1上取定的任一实数。此时,垂 直于x轴的截线是一族抛物线z=x2-y2(每个x的值对应一条抛物线)。因此所求抛物线 弓形的面积为 A(x)=2[(x2-y2地=2x 由此便有 说明比较解法一与解法二,显然后者要简单得多。由此可见,在利用截面面积求体 积的问题中,选择合适的截面是十分重要的。请读者再考察一下,本题若取垂直于y轴的截 面,则截面的形状是怎样的?计算A(y)以及计算Ⅴ的过程是否简便? §2平面曲线的弧长与旋转曲面的面积 例1如图1019所示,悬链线y=1(+e”)在x∈0以]上的段弧长和曲边梯形 面积分别记为s(u)和A(u);该曲边梯形绕x轴旋转所得旋转体的体积和侧面积分别记为V(u) 和S(u);该旋转体在x=u处的端面积记为F(u)。试证: (1)s(u)=A(),S(u)=2(a),v>0 (2)hmS() 0F(u) 证(1)由于 y 因此有 ydx= lydx= A(u) S(u)=27LyV1+y dx=2rLy'dx=2v(u) (2)又因 Su0re+e°)h
= − − + → + 2 2 1 1 4 1 lim 2 2 0 u u nz u 8 1 = − 所以 . 3 1 8 1 24 5 3 2 V = − − = [解法二] 类似地，在计算 A（x）时应把 x 看作在[0,1]上取定的任一实数。此时，垂 直于 x 轴的截线是一族抛物线 2 2 z = x − y （每个 x 的值对应一条抛物线）。因此所求抛物线 弓形的面积为 . 4 3 ( ) 2 ( ) 3 0 2 2 A x x y dy x x = − = 由此便有 . 3 1 3 4 1 0 3 V = x dx = 说明 比较解法一与解法二，显然后者要简单得多。由此可见，在利用截面面积求体 积的问题中，选择合适的截面是十分重要的。请读者再考察一下，本题若取垂直于 y 轴的截 面，则截面的形状是怎样的？计算 A（y）以及计算 V 的过程是否简便？ §2 平面曲线的弧长与旋转曲面的面积 例 1 如图 101-19 所示，悬链线 ( ) 2 1 x x y e e − = + 在 x[0,u] 上的一段弧长和曲边梯形 面积分别记为 s(u)和 A(u)；该曲边梯形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积和侧面积分别记为 V(u) 和 S(u)；该旋转体在 x=u 处的端面积记为 F(u)。试证： （1） s(u) = A(u), S(u) = 2V(u),u 0; （2） 1. ( ) ( ) lim = →+ F u S u u 证 （1）由于 ( ) , 2 1 ( ) 4 1 1 1 2 2 y e e e e y x x x x + = + − = + = − − 因此有 = + = = u u s u y dx ydx A u 0 0 2 ( ) 1 ( ); ( ) 2 1 2 2 ( ). 0 2 0 2 S u y y d x y d x V u u u = + = = （2）又因 S u e e dx x x u 2 0 ( ) 4 1 ( ) 2 − = +