《数学分析》课程教学资源（试题集锦）第二章数列极限

第二章数列极限 §1数列极限概念 例1设x 解利用级数一般项拆项的办法,有 k(k+1(k+2 2红(k(k+1)(k+1)k+2) 1·22·32.33·4 n(n+1)(n+1)(n+2) 2(1.2(n+1(n+2) 于是有 lim x= 例2按E-N定义证明 5n2+n-25 5n2+n-2 证 3n2-2 3n+4 3(3n2-2 取N=m1+14,当nN时, n2+n-25∠6

第二章 数列极限 §1 数列极限概念 例 1 设 = + + = n k n k k k x 1 ( 1)( 2) 1 ，求 n n x → lim . 解 利用级数一般项拆项的办法，有 = + + = n k n k k k x 1 ( 1)( 2) 1 =         + + − + = n k 1 k k (k 1)(k 2) 1 ( 1) 1 2 1         + + − + + +  −  +  −  = ( 1)( 2) 1 ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 1 n n n n          + + −  = ( 1)( 2) 1 1 2 1 2 1 n n . 于是有 4 1 lim = → n n x . 例 2 按  − N 定义证明 3 5 3 2 5 2 lim 2 2 = − + − → n n n n . 证 3 5 3 2 5 2 2 2 − − + − n n n 3(3 2) 3 4 2 − + = n n ≤ 2 3 2 4 n n  （n>4） 3n 2 = ， 取       +      = 1,4 3 2 max  N ，当 n>N 时， 3 5 3 2 5 2 2 2 − − + − n n n < 

注扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法这里先限定n>4,扩大之后的分式 n)=仍是无穷小数列 例3证明lm=0(a>0,c>1) 分析设k=[a]+1,有 其中C=a>1,而对应用二项式展开适当放大后可以证明它趋向于零 证设k=[a]+1,则有 令C=1+h(h>0),应用二项式展开有 n n(n-1) (n-1)h 取N 1,当nN时就能保证 2 (n-1)h 例4按定义验证 im==0(c>0) 分析当0<c≤1时,一≤亠<-,结论显然成立不妨设c>1,注意到 nI n! n cnc·c…cc n!1.2..mm+1n-1n

注 扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定 n>4，扩大之后的分式 n G n 3 2 ( ) = 仍是无穷小数列. 例 3 证明 lim = 0(  0, 1) → c c n n a n  . 分析 设 k =[] +1 ，有 n a c n ≤ ( ) k n k n k n k a n c n c n       =         = ， 其中 c = a 1 k ，而对 n a n 应用二项式展开适当放大后可以证明它趋向于零. 证 设 k =[] +1 ，则有 n a c n ≤ ( ) k n k n k c n c n         = . 令 c =1+ h(h  0) k ，应用二项式展开有 ( ) k n k n k h n c n         + =         (1 ) ≤ k h n n n             − 2 2! ( 1) = k n h         − 2 ( 1) 2 . 取         +  = 1 2 1 2 k h N  ，当 n>N 时就能保证           −  k n a c n h n 2 ( 1) 2 . 即 lim = 0 → n k n c n . 例 4 按定义验证 0( 0) ! lim =  → c n c n n . 分析 当 0<c≤1 时， n n n c n 1 ! 1 !   ，结论显然成立.不妨设 c>1，注意到 n c n c m c m c c c n c n  + −    = ! 1 2 1 1   

当m充分大时 证设c>1,取k=c]+1,则k-1≤c<k,故当n>k时 C·c·C n!1.2…(k-1)k 其中M (k1为固定的常数因为一是无穷小数列,所以vE>03N1>0,当n>N时, n M 于是当n>N=max{N1,k)时,有 M 此即lm==0(c>0)得证 例5证明 lim sin n不存在 证要证∨A∈R, lim sin n≠A,即彐60>0,VN>0,3m>N,使得|nn-4≥6 不妨设A≥0,(同理可证A④0的情形)、取6=√2,AN>0,在开区间 ,2Nr+7 中必存在正整数n,且n'>N,使得 Isin n-Al> Isin 5T §2收敛数列的性质 例1求极限 lim a>1) 解设S=1+2+…+n,等式两边乘可得

当 m 充分大时， 1 1  m + c . 证 设 c>1，取 k =[c] +1 ，则 k −1 c  k ，故当 n>k 时， n c k c k c c c n c n      −  = ! 1 2 ( 1) ≤ n M n c k c k 1 ( 1)! 0 1  =  − − ， 其中 ( 1)! 0 − = k c M k 为固定的常数.因为 n 1 是无穷小数列，所以   0,N1  0 ，当 n  N1 时， 0 1 n M   ， 于是当 n  N = maxN1 , k 时，有    n M n c n 0 ! . 此即 0( 0) ! lim =  → c n c n n 得证. 例 5 证明 n n lim sin → 不存在. 证 要证 AR， n n lim sin → ≠A，即  0  0,N  0,n   N ，使得 0 sin n  − A   . 不妨设 A ≥ 0 ，（ 同 理 可 证 A<0 的 情 形 ） . 取 , 0 2 2  0 = AN  ，在开区间       + + 4 7 ,2 4 5 2    N N 中必存在正整数 n  ，且 n   N ，使得 0 2 2 4 5 sin sin   n  − A  − A  = §2 收敛数列的性质 例 1 求极限 ( 1) 1 2 lim 2        + + + → a a n a a n n  . 解 设 n n a n a a S = + ++ 2 1 2 ，等式两边乘 a 1 可得

两式相减后得到 因为m1=0.mn=0,于是由极限四则运算可得 lim s=lm 例2求极限 解由不等式 n 当n→∞时,lim =Lim 1(利用2°(8),由迫敛性可 on+I n"+1 n"+1 例3设数列{an}证明:若存在正整数N与实数k(0<k<1),当n≥N 0<a,<k 则 lm a=0 证由所设条件,Vn∈N有

2 3 1 1 1 2 + = + + + n n a n a a S a  ， 两式相减后得到 2 1 1 1 2 1 1 +  = + + + −      − n n n a n a a a S a  1 1 1 1 1 1 + − −       − = n n a n a a a . 因为 0,lim 0 1 lim 1 = = + → → n n n n a n a ，于是由极限四则运算可得 2 1 lim 1 1 1 1 1 1 1 1 lim lim + → → → − −       −       − = n n n n n n a n a a a a S = 2 (a −1) a . 例 2 求极限         + + + + + n→ + n n n n n 1 1 1 1 1 1 lim  . 解 由不等式 n n n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 +  + + + + + +  +  . 当 n→ 时， 1 1 1 1 lim 1 1,lim 1 lim = + = + = → + → → n n n n n n n n n n n n （利用 2º（8）），由迫敛性可 得 1 1 1 1 1 1 1 lim =         + + + + + n→ + n n n n n  . 例 3 设数列 an .证明：若存在正整数 N0 与实数 k（0<k<1），当 n≥ N0 n n 0  a +1  ka ， 则 lim = 0 → n n a . 证 由所设条件， n N+ 有

0<anN<kan+Nn<…<ka 因为当0<k<1时,link"=0,于是由迫敛性有 这样就证得 lim a =0 例4证明:当a>0,a≠1,k≥1时,成立 分析若a>1,有 0 而lmn=1,设法证明 lim log,n=0即可 证先证当a>1,k≥1时等式成立由不等式 和迫敛性,只要证明 按定义,需证VE>0,3N>0,当nN时,满足 wns 1<Vn<a 这是因为lm=1,对a2>1,N>0,当m>N时,必有1<n<a 又当0<a<1时,由于 log。n=-log;n, 而>1,于是 注与内容提要2°中的公式合在一起,当a0,a≠1k≥1c>1时,以下数列 都是无穷小数列,有时记作 lgn<<n<<c"<n<n"(n→∞)

0 0 1 0 0 N n  an+N  kan+N −  k a . 因为当 0<k<1 时， lim = 0 → n n k ，于是由迫敛性有 lim 0 0 + = → n N n a . 这样就证得 lim = 0 → n n a . 例 4 证明：当 a>0，a≠1，k≥1 时，成立 0 log lim = → k a n n n . 分析 若 a>1，有 n a a k a n n n n n log log log 0   = ， 而 lim =1 → n n n ，设法证明 lim log = 0 → n a n n 即可. 证 先证当 a>1，k≥1 时等式成立.由不等式 n n n n a k a log log 0   和迫敛性，只要证明 0 log lim = → n a n n . 按定义，需证   0,N  0 ，当 n>N 时，满足    n 0 log a n ， 即  n a n 1  . 这是因为 lim =1 → n n n ，对 a 1,N  0  ，当 n>N 时，必有  n a n 1  . 又当 0<a<1 时，由于 n n a a 1 log = − log ， 而 1 1  a ，于是 0 log lim log lim 1 = − = → → k a n k a n n n n n . 注 与内容提要 2º中的公式合在一起，当 a>0,a≠1,k≥1,c>1 时，以下数列 n n n k k a n n n c c n n n ! , ! , , log 都是无穷小数列，有时记作 log n  n  c  n! n (n →) k n n a