第九章定积分 §1定积分概念与牛顿-布莱尼茨公式 例1证明:若f∈ab],且」f(x)x>0,则存在a,月{ab],使 f(x)>0,x∈, 证采用反证法,倘若在任何[a,]c[a,6上都使f(x)≤0,则导致任一积分和 ∑∫()Ax≤0,于是当|→0时极限亦为非正,即 牌∑GAx=(k0, 这与已知条件相矛盾 例2通过对积分和求极限来验证: 0-a≠1 in a 解首先,本题的解法与牛顿-莱布尼茨公式无关,按题意,需假设(1.6)式左边的定积分 存在,然后根据前面问题2的(5),可以通过对联某一特殊积分和求极限而得到该定积分的 为简单起见,取T为等分分割: B (n-1)B- Ax= ,i=1,2,…,n, 并取E=0+1B-a),1=12,…,n,则有 aB-a)B-a a'dx=lm∑a a" lim 2. B-a n
第九章 定积分 §1 定积分概念与牛顿-布莱尼茨公式 例 1 证明：若 f a,b ，且 f (x)dx 0 b a ，则存在 , a,b ，使 f (x) 0, x, 证 采用反证法，倘若在任何 , a,b 上都使 f (x) 0 ，则导致任一积分和 ( ) = n i i i f x 1 0 ，于是当 T →0 时极限亦为非正，即 ( ) ( ) = → = n i b i i a T f x f x dx 1 0 lim 0 ， 这与已知条件相矛盾。 □ 例 2 通过对积分和求极限来验证： a a a a dx x ln − = ， 0 a 1 （1.6） 解 首先,本题的解法与牛顿-莱布尼茨公式无关,按题意,需假设(1.6)式左边的定积分 存在，然后根据前面问题 2 的（5），可以通过对联某一特殊积分和求极限而得到该定积分的 值。 为简单起见，取 T 为等分分割： ( )( ) − − + − = + , 1 , , , n n n T ， ,i 1,2, , n; n xi T = − = = 并取 ( ) n i i − = + ，i =1,2, ,n ，则有 ( ) = − − + → = n i n n i n x a dx a 1 lim = − → − = n i i n n n a a 1 lim ( ) n a a a a n n n − − − = − − − → 1 1 lim ( ) n n n a n a a a − − → − − − = − 1 1 lim
(a-a).1.lim 1→1-a a)lim a In a 例3设f∈{ab],g与∫仅在有限个点处取值不同,试由可积定义证明g∈] 且有 「g(xkhx=f(xkhx 证不失一般性,设g与f只在一点处取值不同,而且为g(b)≠f(b) 记f(x)kx=J,因f∈b,故E>0,彐61>0,当<61时,对一切5H有 g() 于是又有 fl Ax lg(5)-f(),r 由于当1≤1≤n-1时,g()-f(5,)=0,而当=n时无论5n=b或5n≠b 都有 g(n)-f(n)≤g(6)-f6), 因此只要 r<δ=mn16 就能保证 g()
( ) t t a t a a − = − → 1 1 lim ( ) a a a a t t ln 1 lim − = − → a a a ln − = 例 3 设 f a,b，g 与 f 仅在有限个点处取值不同，试由可积定义证明 g a,b， 且有 g(x)dx f (x)dx b a b a = 证 不失一般性，设 g 与 f 只在一点处取值不同，而且为 g(b) f (b) 记 f (x)dx J b a = ，因 f a,b ，故 0 ， 1 0 ，当 T 1 时，对一切 n i 1 有 ( ) 1 2 = − n i i i g x J ； 于是又有 ( ) ( ) ( ) = = = − − n i n i i i i i n i i i g x J g x f x 1 1 1 ( ) = + − n i i i f x J 1 ( ) ( ) = − + N I g i f i T 1 2 由于当 1 i n −1 时， g( i ) − f ( i ) = 0 ，而当 i = n 时无论 n = b 或 n b ， 都有 g( ) f ( ) g(b) f (b) n − n − ， 因此只要 ( ) ( ) − = g b f b T 2 min , 1 ， 就能保证 ( ) − + = =1 2 2 n i i i g x J
这即为g∈ab],且 「g(x)dx=J=f(xkh 本例说明:一个可积函数,当它的有限个函数值发生改变时,既不会影响它的可积性 也不会影响它的定积分之值,这个重要性性质在以后常会用到 例4通过化为定积分后求极限 n(n+1)-(2n-1) 解这类问题的解题思想,是要把所求极限化为某个函数f(x)在某一区间[a,b]上的积 分和的极限,然后利用牛顿-莱布尼茨公式计算J=6f(xkx的值 由于(1.7)式中的根式不是一个和式,而是一个连乘积,因此可望通过求对数后化为 累加形式,为此记 I=In J 不难看出,1是函数f(x)=h(+x)在区间[0,1上对应于n等分分割,并取 的一个积分和 同于f(x)=h(1+x)在[0,1上连续,且存在原函数 故由定理9.1知道∫(x)∈[0,且有 I,=John(1+x) +x)n(+x)-=2h
这即为 g a,b ，且 g(x)dx J f (x)dx b a b a = = □ 本例说明：一个可积函数，当它的有限个函数值发生改变时，既不会影响它的可积性， 也不会影响它的定积分之值，这个重要性性质在以后常会用到 例 4 通过化为定积分后求极限： n(n ) ( n ) J n n n + − = → 1 2 1 1 lim （1.7） 解 这类问题的解题思想，是要把所求极限化为某个函数 f (x) 在某一区间 a,b 上的积 分和的极限，然后利用牛顿-莱布尼茨公式计算 J f (x)dx b a = 的值。 由于（1.7）式中的根式不是一个和式，而是一个连乘积，因此可望通过求对数后化为 累加形式，为此记 ( ) ( ) n n n n n n J 1 2 1 1 = + − n n n n − + = + 1 1 1 1 1 , − = = = + 1 0 ln 1 1 ln n i n n n i n I J 不难看出，In 是函数 f (x) = ln(1+ x) 在区间[0，1]上对应于 n 等分分割，并取 − = n i n i n i i , 1 ，i =1,2, ,n 的一个积分和 同于 f (x) = ln(1+ x) 在[0，1]上连续，且存在原函数 F(x) = (1+ x)ln(1+ x) −1， 故由定理 9.1 知道 f (x)0,1 ，且有 I I ( x)dx n n = = + → lim ln 1 1 0 (1 )ln(1 ) 1 2ln 2 1 1 = + x + x − 0 = −
于是就可求得 J=lim =ea 注上面L也可看作x在[1,2]上的一个积分和,或者是h(x-1)在[2,3]上的一个 积分和,……亦即 =h(+xx=2hxtx=… 例5试求由曲线y=x+以及直线x=2和x轴所围曲边梯形(图9-1)的面积S 解由于 x(-x)x∈D x(x-1)x∈(1,2] 因此依据定积分的几何意义,可求得 S=JoxI-xMx+x(x-l)d 66 例6设f(x)在[0,1上可积,且为凸函数,试证: bf(x)dx≥ (1.8) 证凸函数的特征是:V4(0<<1),恒有 (x)+(-4)/(x)≥f(x+(0-x)x)
于是就可求得 n n I n n J J e → = = → lim lim e e e I e 4 4 ln = = = 注 上面 In 也可看作 ln x 在[1，2]上的一个积分和，或者是 ln(x −1) 在[2，3]上的一个 积分和，……亦即 I = 1 0 ln(1+ x)dx = 1 2 ln xdx= 例 5 试求由曲线 y = x1+ x 以及直线 x=2 和 x 轴所围曲边梯形（图 9-1）的面积 S。 解 由于 ( ) ( ) − − − = 1 , (1,2], 1 , 0,1 , 1 x x x x x x x x 因此依据定积分的几何意义，可求得 S x(1 x)dx x(x 1)dx 2 1 1 = 0 − + − 2 1 3 2 1 0 2 3 2 3 3 2 + − = − x x x x 1 6 5 6 1 = + = □ 例 6 设 f (x) 在[0，1]上可积，且为凸函数，试证： ( ) 2 1 1 0 f x dx f （1.8） 证凸函数的特征是： (0 1) ，恒有 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ' '' ' '' f x + 1− f x f x + 1− x ；
特别当λ=-时,满足 l[()+/()x+x (1.9) 要想证明不等式(1.8),可以先把左边的定积分表示成某一积分和的极限,以便能用 (1.9)把积分和中各项与f相联系,为方便起见,我们将[o,1等分为2n个小区间, 并取为第I个小区间的中点(i=1,2,…,2n),则有 f(xkx=im∑f(,) 由于 因此由(1.9)得到 ∑∫(:)=[(5)+/(n)+…+[/(n)+/(n 于是就证得 2 即不等式(1.8)成立。 把本例中的区间[0,1改为一般的[a,b]时,在同样的条件下,类似地可证得 ∫/(x)x≥ atb 请读者自行写出推导过程
特别当 2 1 = 时，满足 ( ) ( ) + + 2 2 1 ' '' ' '' x x f x f x f （1.9） 要想证明不等式(1.8)，可以先把左边的定积分表示成某一积分和的极限，以便能用 （1.9）把积分和中各项与 2 1 f 相联系，为方便起见，我们将[0，1]等分为 2n 个小区间， 并取 i 为第 I 个小区间的中点（i=1,2,…,2n）,则有 ( ) ( ) = → = n i i n n f x dx f 2 1 1 0 2 1 lim 由于 ( ) 2 1 2 1 i + 2n−i+1 = ， i =1,2, ,n, 因此由（1.9）得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + + + + + n i i n n n f f f f f 2 1 1 2 1 + + + + + 2 2 2 1 2n n n 1 f f = 2 1 2nf 于是就证得 ( ) = → n i i n f n f 2 1 2 1 2 1 lim 即不等式（1.8）成立。 □ 注 把本例中的区间[0，1]改为一般的[a,b]时，在同样的条件下，类似地可证得 ( ) (b a) a b f x dx f b a − + 2 请读者自行写出推导过程