「122] 例7设A= 2 4 6 不解特征方程，求A的特征值和特征向量。 369 解解法一 显然A=0,所以A必有零特征值，求出对应与零特征值的特征向量，解方程组 (A-0·I)=0得基础解系为： y 0 由1≤P:≤m,知入=0至少是A的二重特征值，故有入1=入2=0。 设入3是A的另一特征值，由特征值性质知 元1+22+23=r(A) 即 0+0+元3=14 [1 所以入3=14。由(A-14I)x=0,可解得入3对应的特征向量为 2 3 解法二同解法一求出21=入2=0对应的特征向量41,2· 因为A为实对称矩阵，设A的另一特征值为入3，必有入3≠0（由于实对称矩阵的任一 特征值元均满足m2=P:,故元=0必为二重特征值)，因为入3≠入1，入3≠入2故起对应的特 征向量必与a,a2正交。设x=[k,x2,x,则由{ k,a〉=0 ,a2〉=01 -2x1+x2=0 -3x1+x3=0 解得a,=,2,3为基础解系。考察 12 3 14 A03= 2 6 2 28 =14 2 140 3 6 9 3 42 3 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
例 7 设 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 3 6 9 2 4 6 1 2 2 A ，不解特征方程，求 A 的特征值和特征向量。 解 解法一 显然 A = 0 ，所以 A 必有零特征值，求出对应与零特征值的特征向量，解方程组 (A - 0 · I) = 0得基础解系为： ú ú ú û ù ê ê ê ë é- = 0 1 2 a1 ， ú ú ú û ù ê ê ê ë é- = 1 0 3 a 。 由 £ rl £ ml 1 知l = 0 至少是 A 的二重特征值，故有 0 l1 = l2 = 。 设l3 是 A 的另一特征值，由特征值性质知 ( ) l1 + l2 + l3 = tr A 即 0 0 14 + + l3 = 所以 14 l3 = 。由(A -14I)x = 0 ，可解得l3 对应的特征向量为 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 3 2 1 a3 。 解法二 同解法一求出 0 l1 = l2 = 对应的特征向量 1 2 a ,a 。 因为 A 为实对称矩阵，设 A 的另一特征值为l3 ，必有 0 l3 ¹ （由于实对称矩阵的任一 特征值l 均满足ml = rl ，故l = 0 必为二重特征值），因为 3 1 3 2 l ¹ l ,l ¹ l 故起对应的特 征向量必与 1 2 a ,a 正交。设 [ ] T x x x 1 2 3 x = , , ，则由 î í ì = = , 0 , 0 1 x 2 x a a ，即 î í ì - + = - + = 3 0 2 0 1 3 1 2 x x x x 解得 [ ] T 1, 2, 3 a3 = 为基础解系。考察 3 14 3 3 2 1 14 42 28 14 3 2 1 3 6 9 2 4 6 1 2 3 a = a ú ú ú û ù ê ê ê ë é = ú ú ú û ù ê ê ê ë é = ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é A = PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
得特征向量03所对应的特征值为入3=14。 注解法二只适用与实对称矩阵，对于一般矩阵可用解法一。 2)由特征值或特征向量的概念确定矩阵中某些元素 「17 「2117 例8己知向量x= k 是矩阵A= 121 的逆矩阵A1的特征向量，试求常数k 1 1 12 的值。 解若A=江，则Ax=X,故x也是A的特征向量。 由A-I=-(2-1)(2-4)=0,可求得A的特征值为元1=元2=1，元3=4。 由Ax=x,解得=1。所以k=2或=1。 a -1 例9设矩阵A 5 6 其行列式dtA=-1,又A的伴随矩阵A有一 1-c 0 -a 个特征值入，属于入的一个特征值向量为a=【1,-1,求a,b,c和入，的值。 解据题意可得 AA=AI=-L,A'a=-a,即 a -1 也即 2(-a+1+c)=1 (-5-b+3)=1 2(c-1-a)=-1 解之得入，=1，b=-3,a=c。 又由detA=-1和a=c,有 a -1 a 5 -3 3 =a-3=-1 1-a 0 -a 故a=c=2,所以a=2,b=-3,c=2,1,=1 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
得特征向量 a3 所对应的特征值为 14 l3 = 。 注 解法二只适用与实对称矩阵，对于一般矩阵可用解法一。 2) 由特征值或特征向量的概念确定矩阵中某些元素 例 8 已知向量 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 1 1 x k 是矩阵 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 1 1 2 1 2 1 2 1 1 A 的逆矩阵 1 A - 的特征向量，试求常数 k 的值。 解 若 A x x 1 = l - ，则 Ax x l 1 = ，故 x 也是 A 的特征向量。 由 A - lI = -(l -1)(l - 4) = 0 ，可求得 A 的特征值为 1, 4 l1 = l2 = l3 = 。 由 Ax = x ，解得 k=1。所以 k=-2 或 k=1。 例 9 设矩阵 ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - = c a b a c 1 0 5 3 1 A ，其行列式det A = -1，又 A 的伴随矩阵 * A 有一 个特征值l0 ，属于l0 的一个特征值向量为 [ ] T a = -1, -1 1 ，求 a，b，c 和l0 的值。 解 据题意可得 = = - a = -a * * AA A I I, A ，即 ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - = - ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - 1 1 1 1 1 1 1 0 5 3 1 0 c a b a c l 也即 ï î ï í ì - - = - - - + = - + + = ( 1 ) 1 ( 5 3) 1 ( 1 ) 1 0 0 0 c a b a c l l l 解之得 = 1,b = -3, a = c l0 。 又由det A = -1和 a=c，有 3 1 1 0 5 3 3 1 = - = - - - - - a a a a a 故 a=c=2，所以 a=2，b=-3，c=2，l0 =1 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
0017 例10设矩阵A= a1b有3个线形无关的向量，求a与b应满足的条件。 L100 解可求得A-I=-入(2-1)(2+1)，所以A的特征值为入=入，=1,23=-1。由 于不同的特征值对应的向量线形无关，所以若A有3个线形无关的特征向量，则对应 入1=入2=1应有两个线形无关的特征向量，从而(A-)=1,由 -10 -1017 0-1 0a+b 0 0 0 知，当a+b=0时，(A-I)=1,此时A有3个线形无关的特征向量。 3)有关特征向量与特征向量的证明 例11设n阶方阵A的特征值为元1，K2,…,入n,对应的向量分别为01，C2,…,0n,若 f(x)=coxm+Cxm+…+Cn-x+cm,则矩阵多项式 f(A)=CoAm+CAm-1+...+cmA+cmI 的特征值为f(21),f(亿2)，…，f(元n)，,对应的特征向量为a1,a2,…,an。 证由A1=元，可得A以，=a(i=1,2,,n:=1,2,,m),所以 f(A)ai=CoAma +CAm-a +...+cmAa+ca =Co2"a,+C2"a,+…+Cm-1乙，，+Cm0 =(c+C2-+…+cm-1入，+cm)a =f(元)a 故f(2)是f(A)的特征值，&，是对应的特征向量。 例12设n维实向量a-[a1,a2,…,an了，证明la是A=aaT的特征值。 证若a=0,则A=aaT=0,显然A有零特征值，此时a=0,故a是A的特 征值。 若a≠0，则Aa=aa'a=(a'a)a=aa,由定义可知a是A的特征值，对应 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
例 10 设矩阵 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 1 0 0 1 0 0 1 A a b 有 3 个线形无关的向量，求 a 与 b 应满足的条件。 解 可求得 ( 1) ( 1) 2 A - lI = -l l - l + ，所以 A 的特征值为 1, 1 l1 = l2 = l3 = - 。由 于不同的特征值对应的向量线形无关，所以若 A 有 3 个线形无关的特征向量，则对应 1 l1 = l2 = 应有两个线形无关的特征向量，从而 r(A - I) = 1，由 ú ú ú û ù ê ê ê ë é + - ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - = 0 0 0 0 0 1 0 1 ~ 1 0 1 0 1 0 1 A I a b a b 知，当 a+b=0 时， r(A - I) = 1，此时 A 有 3 个线形无关的特征向量。 3) 有关特征向量与特征向量的证明 例 11 设 n 阶方阵 A 的特征值为l k ln , , , 1 2 L ，对应的向量分别为a a an , , , 1 2 L ，若 n m m m f x = c x + c x + + c x + c - - 1 1 0 1 ( ) L ，则矩阵多项式 A A A A I m m 1 m m f = c + c + + c + c - - 0 1 1 ( ) L 的特征值为 ( ), ( ), , ( ) 1 2 n f l f l L f l ，对应的特征向量为a a an , , , 1 2 L 。 证 由 Aai = liai 可得 i k ai = li a k A （i=1，2，…，n；k=1，2，…，m），所以 i i m i m i f a = c a + c a + + c - a + c a - A A A A m m 1 i 0 1 1 ( ) L i m i i m i m i i m i = c l a + c l a + + c - l a + c a - 1 1 0 1 L m i m i m i m i (c l c l c 1l c )a 1 = 0 + 1 + + - + - L i i = f (l )a 故 ( ) i f l 是 f (A) 的特征值，ai 是对应的特征向量。 例 12 设 n 维实向量 [ ] T a a a an , , , = 1 2 L ，证明 2 a 是 A T = aa 的特征值。 证 若a = 0，则 A 0 T = aa = ，显然 A 有零特征值，此时 0 2 a = ，故 2 a 是 A 的特 征值。 若a ¹ 0 ，则 a aa a a a a a a 2 = = ( ) = T T A ，由定义可知 2 a 是 A 的特征值，对应 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
的特征向量为a。 例13设A为n阶矩阵，入1和元2是A的两个不同的特征值，51,52是A分别属于入和入2 的特征向量，证明51+52不是A的特征向量。 证（反证)若5，+52是A的特征向量，则存在数入，使 A(51+52)=1(51+52) 又由己知可得 A51=入151，A52=1252 所以有 1(51+52)=入151+252 即 (2-元1)51+(2-元2)52=0 因为入1≠入3，所以51与52线形无关，故得 九-元1=0且-元2=0 于是入=入1=入2，这与入1≠入2矛盾，故5+52不是A的特征向量。 [I PP …p p 1 p… 例14试证：n阶方阵A= 的最大特征值是 ppp…1 元1=a2[1+(n-1)p],其中0<p<1,a2>0. 证A的特征多项式为 a2-λa2pa2p…a2p A-= a2pa2-1a2p…a2p a2pa2pa2p…a2-1 =(2-a2+a2p)"-[2-a2+(1-n)a2p](-1)” 于是A的特征值为1=a2[1+(n-1)p],2=元3=…=2n=a2(1-p) PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建ww,fineprint.cn
的特征向量为a 。 例 13 设 A 为 n 阶矩阵，l1 和l2 是 A 的两个不同的特征值， 1 2 x ,x 是 A 分别属于l1 和l2 的特征向量，证明 1 2 x + x 不是 A 的特征向量。 证 （反证）若 1 2 x + x 是 A 的特征向量，则存在数l ，使 ( ) ( ) 2 1 2 x + x = l x + x A 1 又由已知可得 1 1 1 2 2 2 Ax = l x , Ax = l x 所以有 1 2 1 1 2 2 l(x + x ) = l x + l x 即 ( ) ( ) 0 l - l1 x1 + l - l2 x 2 = 因为l1 ¹ l2 ，所以 1 x 与 2 x 线形无关，故得 0 l - l1 = 且 0 l - l2 = 于是 l = l1 = l2 ，这与l1 ¹ l2 矛盾，故 1 2 x +x 不是 A 的特征向量。 例 14 试 证 ： n 阶方阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1 1 1 L M M M M L L r r r r r r r r r A 的 最 大 特 征 值 是 [1 ( 1) ] 2 l1 = a + n - r ，其中0 1, 0 2 < r < a > 。 证 A 的特征多项式为 r r r l r l r r l r r r l - - - - = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a a L M M M M L L A I n n ( a a ) [ a (1 n)a ]( 1) 2 2 1 2 2 = - + - + - - - l r l r 于是 A 的特征值为 [1 ( 1) ], (1 ) 2 2 3 2 l1 = a + n - r l = l = L = ln = a - r PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
由于0<p<1,a2>0,故21>入2=…=2n,即入=a[1+(n-1)p]为最大特 征值。 例15设n阶方阵A不可逆，若(A)<n-1,，则A'的特征值为零：若(A)=n-1, 则A有一个n-1重特征值零及一个单特征值A1,+A2+…+Anm(A=(a)m,A,是a,的 代数余子式)。 证若(A)<n-1,则r(A)=0,故A=0,从而A*的特征值为零。 若r(A)=n-1,则(A)=1,故A中所有高于1阶的子式全为零，故由特征多 项式的性质知 A-2I=(-1)”(2”-(A+A2+…+Anm)2"-) =(-1)”2-[2-(A,+A2+…+Am] 所以此时A有一个n-1重特征值零及一个单特征值A,+A2+…+Am。 例16设A为n阶方阵，A≠I,且r(A+3I)+r(A-I)=n。证明-3是A的特征值。 证因为A≠I,所以A-I≠0故r(A-I)>0。由(A+3)+r(A-I)=n,得 (A+3I)<n 所以A+3=0,即3是A的特征值。 例17设A,B均为n阶方阵，证明AB与BA具有相同的特征值。 证证法一设入为AB的任一特征值，对应的特征向量为x,即 ABx=入x 两边左乘B,得 BABx=ABx 若Bx≠0，则入是BA的特征值，而Bx是对应的特征向量。 若Bx=0,则2x=A(Bx)=0,由x≠0知入=0，即AB有零特征值。故AB=0,从 而BA=AB=O,这表明BA也有零特征值。所以AB与BA有相同的特征值。 证法二 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建ww.fineprint.cn
由于0 < 1 , 0 2 r < a > ，故l1 > l2 = L = ln ，即 [1 ( 1) ] 2 l1 = a + n - r 为最大特 征值。 例 15 设 n 阶方阵 A 不可逆，若r(A) < n -1，则 * A 的特征值为零；若r(A) = n -1， 则 * A 有一个 n-1 重特征值零及一个单特征值 A A Ann aij n n Aij ( ( ) , 11 + 22 +L+ A = ´ 是 aij 的 代数余子式）。 证 若 r(A) < n -1，则 ( ) 0 * r A = ，故 0 * A = ，从而 * A 的特征值为零。 若 r(A) = n -1，则 ( ) 1 * r A = ，故 * A 中所有高于 1 阶的子式全为零，故由特征多 项式的性质知 ( 1) ( ( ) ) 1 11 22 - - = - - + + + n nn n n A lI l A A L A l ( 1) [ ( )] 11 22 1 nn n n = - - A + A + + A l - l L 所以此时 * A 有一个 n-1 重特征值零及一个单特征值 A11 + A22 +L+ Ann 。 例 16 设 A 为 n 阶方阵，A ¹ I ，且r(A + 3I) + r(A - I) = n 。证明-3 是 A 的特征值。 证 因为 A ¹ I ，所以 A - I ¹ 0 故 r(A - I) > 0。由 r(A + 3I) + r(A - I) = n ，得 r(A + 3I) < n 所以 A + 3I = 0，即-3 是 A 的特征值。 例 17 设 A，B 均为 n 阶方阵，证明 AB 与 BA 具有相同的特征值。 证 证法一 设l 为 AB 的任一特征值，对应的特征向量为 x，即 ABx = lx 两边左乘 B，得 BABx = lBx 若Bx ¹ 0 ，则l 是 BA 的特征值，而 Bx 是对应的特征向量。 若Bx = 0，则lx = A(Bx) = 0，由 x ¹ 0 知l = 0 ，即 AB 有零特征值。故 AB = 0 ，从 而 BA = AB = 0 ，这表明 BA 也有零特征值。所以 AB 与 BA 有相同的特征值。 证法二 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn