对二次型 fx,x,,x)=2ax+2∑a,x) i=l Isi<jsn 从左边先找出一个系数不为零的平方项x,把所有包含x。的项集中在一起，配成完全平方 的形式；接着寻找下一个系数不为零的平方项x,同样把所有包含x的项集中到一起，配 成完全平方的形式。依次类推，直到二次型的每一项都成为完全平方的形式。 注若二次型，但以，≠0(i≠)，则可先做满秩变换 x=》+y xi=yi-yj xk=x(k≠i,j,k=1,2,…,n) 化为二次型为含平方项的二次型，再按上述方法配方。 (2)正交变换法 对二次型∫=x「Ax,由于A是对称阵，故按实对称阵正交对角化的方法总可找到正交 阵Q,使 Q'AQ=Λ=diag（元1，元2，…，入n) 所以由正交变换=Qy,可得 f=xAx=yAy=y+2y3+…+元ny 注用正交变换得到的标准形平方项前的系数必为A的特征值，但若用其他满秩变换化 为标准型，则平方项前系数A的特征值无关。 5.1.12正定二次形和正定矩阵的概念 对于任意n维非零向量x,若恒有f=xTAx>0,则称f为正定二次型，f的矩阵A称 为正定矩阵，记作A>0。 注1正定矩阵必是对称阵 注2若对任意X∈R",有∫=xAx≥0，且存在x。≠0，使∫=x。Ax=0,则称f 或A为半正定，记作A≥0，类似地可以定义f或A为负定或半负定。 5.3.13正定矩阵的判别方法 设A为n阶实对称阵。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
对二次型 i j i j n i ij n i n ii f x x x å x å x x = £ < £ = + 1 2 1 ( 1 , 2 ,L, ) a 2 a 从左边先找出一个系数不为零的平方项 2 q x ，把所有包含 q x 的项集中在一起，配成完全平方 的形式；接着寻找下一个系数不为零的平方项 2 k x ，同样把所有包含 k x 的项集中到一起，配 成完全平方的形式。依次类推，直到二次型的每一项都成为完全平方的形式。 注 若二次型，但 0(i j) aij ¹ ¹ ，则可先做满秩变换 x x (k i, j, k 1,2, , n) x y y x y y k k j i j i i j = ¹ = L = - = + 化为二次型为含平方项的二次型，再按上述方法配方。 (2) 正交变换法 对二次型 x Ax T f = ，由于 A 是对称阵，故按实对称阵正交对角化的方法总可找到正交 阵 Q，使 Q AQ = L T =diag（ , , , ) l1 l2 L ln 所以由正交变换 x=Qy，可得 2 2 2 2 2 1 n n f = = L = l y + l y +L+ l y 1 T T x Ax y y 注 用正交变换得到的标准形平方项前的系数必为 A 的特征值，但若用其他满秩变换化 为标准型，则平方项前系数 A 的特征值无关。 5.1.12 正定二次形和正定矩阵的概念 对于任意 n 维非零向量 x，若恒有 x Ax 0 T f = > ，则称 f 为正定二次型，f 的矩阵 A 称 为正定矩阵，记作 A>0。 注 1 正定矩阵必是对称阵 注 2 若对任意 n xÎ R ，有 x Ax 0 T f = ³ ，且存在x 0 0 ¹ ，使 0 = x0 Ax = T f ，则称 f 或 A 为半正定，记作 A³ 0，类似地可以定义 f 或 A 为负定或半负定。 5.3.13 正定矩阵的判别方法 设 A 为 n 阶实对称阵。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(I)若A的正惯性指数等于n,则A正定。 (2)若A的特征值全是正的，则A正定。 (3)若A的各阶前主子式均大于零，则A正定。 (4)若A合同于单位阵，即A=CTC(C为可逆阵)，则A正定。 (⑤)用正定的定义，即x≠0，X∈R",f=x'Ax>0,则A正定。 注1上述各条均为实对称阵A正定的充要条件，最常用的方法是(2)，(3)，（⑤）。 注2n阶矩阵A=(a,)的k阶前主子式也成为顺序主子式，即为行列式 an a12…a1k a21 a22 D.det Ak= k=(1,2,…n) : d 共有n个。 注3对负定矩阵来说，类似于方法(3)的结论应为： 若(-1)D>0(k=1,2,…,n),则A负定。 5.1.14正定矩阵的有关结论 (1)A正定，则a>0,(i=1,2,…,nm) 注这是正定的一个必要条件，常用来判定A不是正定的，但不能用来判断A正定。 (2)A正定，则AT,A1,A,Am(m为正整数)均为正定矩阵。 (3)A,B为n阶的正定矩阵，则A+B也是正定矩阵。 5.2典型例题分析 1)特征值于特征向量的计算 122 例1求A仁212 的全部特征值和对应的特征向量。 221 1-2 2 2 2 解A-I=21-元2 =(5-)11- 2 21-入 121-入 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
(1) 若 A 的正惯性指数等于 n，则 A 正定。 (2) 若 A 的特征值全是正的，则 A 正定。 (3) 若 A 的各阶前主子式均大于零，则 A 正定。 (4) 若 A 合同于单位阵，即 A C C T = （C 为可逆阵），则 A 正定。 (5) 用正定的定义，即 x 0 x R x Ax 0 n T " ¹ , Î , f = > ，则 A 正定。 注 1 上述各条均为实对称阵 A 正定的充要条件，最常用的方法是(2)，(3)，(5)。 注 2 n 阶矩阵 A= ( ) aij 的 k 阶前主子式也成为顺序主子式，即为行列式 k k kk k k a a a a a a a a a L M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 Dk = det Ak = k = (1,2,L.n) 共有 n 个。 注 3 对负定矩阵来说，类似于方法(3)的结论应为： 若( 1) 0(k 1,2, , n) - k Dk > = L ，则 A 负定。 5.1.14 正定矩阵的有关结论 (1) A 正定，则 a 0,(i 1,2, , n) ii > = L 注 这是正定的一个必要条件，常用来判定 A 不是正定的，但不能用来判断 A 正定。 (2) A 正定，则 T 1 m A , A ,A , A - * （m 为正整数）均为正定矩阵。 (3) A，B 为 n 阶的正定矩阵，则 A+B 也是正定矩阵。 5.2 典型例题分析 1）特征值于特征向量的计算 例 1 求 A= 2 2 1 2 1 2 1 2 2 的全部特征值和对应的特征向量。 解 l l l l l l l - = - - - - - - = 1 2 1 1 1 2 1 2 2 (5 ) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A I PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
12 2 =(5-)0-1-λ0=(5-)1+)2 0 0-1-2 所以A的全部特征值为入=5，入23=-1。 当元=5 -42 2 2 2 -42 2 一4 11-2 A-2I= 2 -4 2 2 -4 2 0 -6 1 -1 2 -4 -42 2 0 6 -6 0 0 0 所以(A-入I)x=0就可写成 x1+x2-2x3=0 x2-x3=0 令x2=1的基础解系n,=,1,,n,就是矩阵A对应于入=5的特征向量，全部特征向量 为k(k1≠0)。 当入23=-1时 222111 A=2,I=222~000 222000 所以，(A-入Dx=0可写成 x1+x2+x3=0 取x2=1,x=0,得n=1,1,0, 取x2=0,x3=1,得n=【1,0,]。 门2，门，均为A的二重特征值2.3=-1的特征向量，全部特征向量为k,2+k,3,其中 k2,k不全为零。 10 例2设0是矩阵A=020的特征值，求 1 0 a (1)a:(2)A的另一特征值。 解解法一()由于A为所有特征值之积，故由已知可得A=0。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww.fineprint.cn
2 (5 )(1 ) 0 0 1 0 1 0 1 2 2 (5 ) l l l l l = - + - - = - - - 所以 A 的全部特征值为l1 = 5,l2,3 = -1。 当 5 l1 = 0 0 0 0 1 1 1 1 2 ~ 0 6 6 0 6 6 2 2 4 ~ 4 2 2 2 4 2 2 2 4 ~ 2 2 4 2 4 2 4 2 2 - - - - - - - - - - - A - l1 I = 所以(A - I)x = 0 l1 就可写成 î í ì - = + - = 0 2 0 2 3 1 2 3 x x x x x 令 1 x2 = 的基础解系 [ ] T = 1,1,1 h1 ，h1 就是矩阵 A 对应于 5 l1 = 的特征向量，全部特征向量 为 ( 0) k1h1 k1 ¹ 。 当l2,3 = -1时 0 0 0 0 0 0 1 1 1 ~ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A = l2 I = 所以，(A - I)x = 0 l2 可写成 0 x1 + x2 + x3 = 取 1, 0 x2 = x3 = ，得 [ ] T h = -1, 1, 0 ， 取 0, 1 x2 = x3 = ，得 [ ] T h = -1, 0, 1 。 2 3 h ,h 均为 A 的二重特征值l2,3 = -1的特征向量，全部特征向量为 2h2 3h3 k + k ，其中 2 3 k , k 不全为零。 例 2 设 0 是矩阵 A= 1 0 a 0 2 0 1 0 1 的特征值，求 (1) a；(2) A 的另一特征值。 解 解法一 (1) 由于 A 为所有特征值之积，故由已知可得 A =0。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
101 又A=020=2(a-1),所以=1， 10a 1-201 (2)A-I= 02-10 =-1(2-元)2 1 0a-λ 所以另一特征值为2。 解法二(1)A的特征多项式 1-0 1 A-I= 0 2-元0=(1-元)2-元)a-)-(2-)(* 1 0a- 因为入=0是A的特征值，所以将入=0代入(*)有2a-2=0,即=1。 (2)将1代入(*)，得特征方程为 2(2-元)(2-2)=0 从而入=2为A的另一特征值。 例3设A满足A2-3A+2I=0,试求2A-1+3I的特征值。 解因为A为抽象矩阵，所以由定义求解，设入为A的特征值，对应的特征向量x≠0 则，Ax=x,从而由 (A2-3A+2x=A2x-3A+2x=(22-3+2)x=0 可得元，=1方，=2。又2A1+31的特征值为名+3所以2A+3引的特征值为5或4. 例4设A为n阶实矩阵，AAT=A<0,试求(A)广的一个特征值。 解由于(A)=(A)~,，故可先算A的特征值，而这又只需算出A的特征值及A。 因为AAT=I,所以A=1,既A=±1，又A<0,所以A=-1。而A+=A AT+1=AA+=-A+,故A+=0即，元=-1是A的一个特征值。 于是可得A'的一个特征值合，即为1。所以(4)即(A)广的一个特征值为1。 例5设向量a=a1,a2,…,an了，B=[B,B2,…,Bn],满足aB=0, 且a,b≠0，记n阶方阵A=aB,求： PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w.fineprint.cn
又 2( 1) 1 0 0 2 0 1 0 1 = = a - a A ，所以 a=1， (2) 2 (2 ) 1 0 0 2 0 1 0 1 l l l l l l = - - - - - - = a A I 所以另一特征值为 2。 解法二 (1) A 的特征多项式 (1 )(2 )( ) (2 ) 1 0 0 2 0 1 0 1 l l l l l l l l = - - - - - - - - - = a a A I (*) 因为l = 0 是 A 的特征值，所以将l = 0 代入(*)有 2a-2=0，即 a=1。 (2) 将 a=1 代入(*)，得特征方程为 l(2 - l)(l - 2) = 0 从而l = 2 为 A 的另一特征值。 例 3 设 A 满足 A A 2I 0 2 - 3 + = ，试求 A I 1 2 + 3 - 的特征值。 解 因为 A 为抽象矩阵，所以由定义求解，设l 为 A 的特征值，对应的特征向量x ¹ 0 则， Ax = lx ，从而由 A A 2I x A x 3A 2x x 0 2 2 2 ( - 3 + ) = - + = (l - 3l + 2) = 可得 1, 2 l1 = l2 = 。又 A I 1 2 + 3 - 的特征值为 3 2 + l 所以 A I 1 2 + 3 - 的特征值为 5 或 4。 例 4 设 A 为 n 阶实矩阵， AA = I, A < 0 T ，试求 * ( ) 1 A - 的一个特征值。 解 由于 * * 1 ( ) ( ) - - A = A 1 ，故可先算 * A 的特征值，而这又只需算出 A 的特征值及 A 。 因为AA I, T = 所以 1 2 A = ，既A = ±1，又 A < 0 ，所以 A = -1。而 A + I = A A I A A I A I T + = + = - + ，故 A + I = 0即，l = -1是 A 的一个特征值。 于是可得 * A 的一个特征值 l A ，即为 1。所以 * 1 ( ) - A 即 * ( ) 1 A - 的一个特征值为 1。 例 5 设向量 [ ] T a a a an , , , = 1 2 L ， [ ] T b b b bn , , , = 1 2 L ，满足a b = 0 T ， 且 0 a1 b1 ¹ ，记 n 阶方阵 A=a b T ，求： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(1)A2:(2)矩阵A的特征值与特征向量。 解(1)由A=aTB及'B=0,有 A2=(aB)(aB)=a(B'a)B"=a(a"B)B=0 (2)设入是A的任一特征值，对应入的特征向量为X,即Ax=x,于是 A2x=λAx=12x 因为A2=0,所以2x=0,由x≠0得入=0，即A的特征值全为零。又 ab1ab2… ab 「b1b2… b ab ab2 …a2bn 0 0. 0 A= anb1anb2…anbn 00…0 故方程组A=0的基础解系为 于是A的属于特征值入=0的全部特征向量为 k1a1+k22+…+kn-0m- 其中k,k2,…,kn是不全为零的常数。 例6已知A是n阶方阵，元1,2，…，入n是它的n个特征值，a1,a2,…,n是其对应的n 个线形无关的特征向量，求A一入I的全部特征值和一组线形无关的特征向量。 解由已知可得A=入，(i=1,2,…,n),将其变形可得到 Aa:=元，a,=(21+元-元1)a:=入1，+(2-元1)a 从而 Aa,-,a,=(2-入1)a 即 (A-2I)a,=(2,-入1)a 这就说明入，-入1(i=1,2,…,n)。一组线形无关的特征向量为a1,a2,…,an。 PDF文件使用"pdfFactory Pro"试用版本创建ww.fineprint.cn
(1) 2 A ；(2) 矩阵 A 的特征值与特征向量。 解 (1) 由 A=a b T 及a b = 0 T ，有 A 0 2 = = = = T T T T T T (ab )(a b ) a(b a)b a(a b)b (2) 设l 是 A 的任一特征值，对应l 的特征向量为 x，即 Ax = lx ，于是 A x Ax x 2 2 = l = l 因为 = 0 2 A ，所以 x = 0 2 l ，由 x ¹ 0 得l = 0 ，即 A 的特征值全为零。又 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 0 0 0 0 0 0 ~ 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 L M M M L L L M M M L L n n n n n n n b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b A 故方程组 Ax=0 的基础解系为 T n n T T b b b b b b ú û ù ê ë é = - ú û ù ê ë é = - ú û ù ê ë é = - - , 1, 0, , 0 , , 0, 1, , 0 , , , 0, , 0, 1 1 1 1 3 2 1 2 a1 L a L L a L 于是 A 的属于特征值l = 0 的全部特征向量为 1 + 2 2 + + n-1 n-1 k a1 k a L k a 其中 1 2 1 , , , n- k k L k 是不全为零的常数。 例 6 已知 A 是 n 阶方阵，l l ln , , , 1 2 L 是它的 n 个特征值，a a an , , , 1 2 L 是其对应的 n 个线形无关的特征向量，求 A I - l1 的全部特征值和一组线形无关的特征向量。 解 由已知可得 (i 1,2, , n) Aai = liai = L ，将其变形可得到 ai liai l li l ai l ai li l ai ( ) ( ) A = = 1 + - 1 = 1 + - 1 从而 ai liai li l ai ( ) A - = - 1 即 l ai li l ai ( ) ( ) - 1 = - 1 A I 这就说明 ( 1,2, , ) 1 i n li - l = L 。一组线形无关的特征向量为a a an , , , 1 2 L 。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn