§2n维向量空间 定义2所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组 a (1) a1称为向量(1)的分量 用小写希腊字母a,B,y…来代表向量 定义3如果n维向量 a=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn) 的对应分量都相等,即 a1=b(i=1,2,…,n) 就称这两个向量是相等的,记作a=B n维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的 定义4向量 r=(a+b, a2+b2, .,a,+b) 称为向量 a=(a12a2…,an),B=(b1,b2,…bn) 的和,记为 y=a+B 由定义立即推出 交换律: a+B=B+a 结合律: a+(B+y)=(a+B)+y (3) 定义5分量全为零的向量 (0,0,…,0) 称为零向量,记为0向量(-a1-a2…-an)称为向量a=(a1,a2…an)的负向量, 记为 显然对于所有的a,都有 C+0=a (4) (-a)=0 (5) (2)-(5)是向量加法的四条基本运算规律
§2 n 维向量空间 定义 2 所谓数域 P 上一个 n 维向量就是由数域 P 中 n 个数组成的有序数组 ( , , , ) a1 a2 an (1) i a 称为向量(1)的分量. 用小写希腊字母 , , , 来代表向量. 定义 3 如果 n 维向量 ( , , , ) , ( , , , ) = a1 a2 an = b1 b2 bn 的对应分量都相等，即 a b (i 1,2, ,n) i = i = . 就称这两个向量是相等的，记作 = . n 维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的. 定义 4 向量 ( , , , ) = a1 + b1 a2 + b2 an + bn 称为向量 ( , , , ) , ( , , , ) = a1 a2 an = b1 b2 bn 的和，记为 = + 由定义立即推出： 交换律： + = + . (2) 结合律： + ( + ) = ( + ) + . (3) 定义 5 分量全为零的向量 (0,0, ,0) 称为零向量，记为 0;向量 ( , , , ) −a1 −a2 −an 称为向量 ( , , , ) = a1 a2 an 的负向量， 记为 − . 显然对于所有的 ，都有 + 0 = . (4) + (−) = 0 . (5) (2)—(5)是向量加法的四条基本运算规律
定义6a-B=a+(-B) 定义7设k为数域P中的数,向量 称为向量a=(a1,a2…,an)与数k的数量乘积,记为ka 由定义立即推出: k(a+B)=ka+k (k+/)a= ka +1 k(la)=(kd)a C (6)(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则由(6)(9)或由定义不难推出: 0a=0 k0=0 (12) 如果k≠0,a≠0,那么 ka≠0 定义8以数域P中的数作为分量的n维向量的全体,同时考虑到定义在它们 上面的加法和数量乘法,称为数域P上的n维向量空间 在n=3时,3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间 以上已把数域P上全体n维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数 结构,即数域P上n维向量空间 向量通常是写成一行 (a1,a2 有时也可以写成一列: 为了区别,前者称为行向量,后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同
定义 6 − = + (− ) 定义 7 设 k 为数域 P 中的数，向量 ( , , , ) 1 2 n ka ka ka 称为向量 ( , , , ) = a1 a2 an 与数 k 的数量乘积，记为 k 由定义立即推出： k( + ) = k + k , (6) (k + l) = k + l , (7) k(l) = (kl) , (8) 1 = . (9) (6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出： 0 = 0 , (10) (−1) = − , (11) k0 = 0 . (12) 如果 k 0 , 0 ，那么 k 0 . (13) 定义 8 以数域 P 中的数作为分量的 n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们 上面的加法和数量乘法，称为数域 P 上的 n 维向量空间. 在 n = 3 时，3 维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间. 以上已把数域 P 上全体 n 维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数 结构，即数域 P 上 n 维向量空间. 向量通常是写成一行： ( , , , ) = a1 a2 an . 有时也可以写成一列： = n a a a 2 1 . 为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同
§3线性相关性 般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外,都含有无穷多个向量,这 些向量之间有怎样的关系,对于弄清向量空间的结构至关重要。 线性相关与线性无关 两个向量之间最简单的关系是成比例所谓向量a与B成比例就是说有一数 k使 定义9向量a称为向量组β,B2…,B的一个线性组合,如果有数域P中 的数k1,k2…,k,使 a=k1B1+k2B2+…+k,B, 其中k1,k2…,k,叫做这个线性组合的系数 例如,任一个n维向量a=(a1,a2…,an)都是向量组 E1=(1,0,…,0), =(0,0…,1) 的一个线性组合 向量1,E2…,En称为n维单位向量 零向量是任意向量组的线性组合 当向量a是向量组B1,B2…,B,的一个线性组合时,也说a可以经向量组 B1,B2,…,B线性表出 定义10如果向量组a1,a2…a,中每一个向量a(=1,2…1)都可以经向 量组B1,B2,…,B,线性表出,那么向量组a1,a2,…a,就称为可以经向量组 B1,B2,…,B,线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出,它们就称为等价 由定义有,每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时,如果向量组 a1,ax2…a1可以经向量组B1,B2…,B,线性表出,向量组B1,B2…B,可以经向量
§3 线性相关性 一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向量，这 些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要。 一、线性相关与线性无关 两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量 与 成比例就是说有一数 k 使 = k . 定义 9 向量 称为向量组 s , , , 1 2 的一个线性组合，如果有数域 P 中 的数 s k , k , , k 1 2 ，使 s s = k11 + k2 2 ++ k , 其中 s k , k , , k 1 2 叫做这个线性组合的系数. 例如，任一个 n 维向量 ( , , , ) = a1 a2 an 都是向量组 = = = (0,0, ,1) (0,1, ,0), (1,0, ,0), 2 1 n （1） 的一个线性组合. 向量 n , , , 1 2 称为 n 维单位向量. 零向量是任意向量组的线性组合. 当向量 是向量组 s , , , 1 2 的一个线性组合时，也说 可以经向量组 s , , , 1 2 线性表出. 定义 10 如果向量组 t , , , 1 2 中每一个向量 (i 1,2, ,t) i = 都可以经向 量组 s , , , 1 2 线性表出，那 么向量组 t , , , 1 2 就称为可以经向量组 s , , , 1 2 线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价. 由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组 t , , , 1 2 可以经向量组 s , , , 1 2 线性表出，向量组 s , , , 1 2 可以经向量
组y1,y2,…y,线性表出,那么向量组a1,a2…a1可以经向量组线性表出 向量组之间等价具有以下性质 1)反身性:每一个向量组都与它自身等价 2)对称性:如果向量组a1a2…a,与B1,月2…,月等价,那么向量组 β1,B2…B,与a1,a2…,a,等价 3)传递性:如果向量组a1,a2…,a,与B1,B2…B1等价,B1,月2…,B,与 71,y23…y等价,那么向量组a1,a2…a,与y1,y2…y,等价 定义11如果向量组ax1,a2…,a,(s≥2)中有一个向量是可以由其余的向量 的线性表出,那么向量组a1a2…a,线性相关 从定义可以看出,任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组 a1a2线性相关就表示a1=ka2或者a2=ka1(这两个式子不一定能同时成立) 在P为实数域,并且是三维时,就表示向量a1与a2共线三个向量a12a2,a3线性 相关的几何意义就是它们共面 定义11′向量组a1a2,…a,(s≥1)称为线性相关的,如果有数域P中不全 为零的数k1,k2,…k,使 k,a,+k2a 这两个定义在s≥2的时候是一致的 定义12一向量组a1a2…a,(s≥1)不线性相关,即没有不全为零的数 k1,k2…k,使 k1a1+k2a2+…+k,a,=0 就称为线性无关;或者说,一向量组a12a2…a,称为线性无关,如果由 ka1+k2a2+…+k,a4=0 可以推出 k1=k2=…=k,=0
组 p , , , 1 2 线性表出，那么向量组 t , , , 1 2 可以经向量组线性表出. 向量组之间等价具有以下性质： 1）反身性：每一个向量组都与它自身等价. 2）对称性：如果向量组 s , , , 1 2 与 t , , , 1 2 等价，那么向量组 t , , , 1 2 与 s , , , 1 2 等价. 3）传递性：如果向量组 s , , , 1 2 与 t , , , 1 2 等价， t , , , 1 2 与 p , , , 1 2 等价，那么向量组 s , , , 1 2 与 p , , , 1 2 等价. 定义 11 如果向量组 s , , , 1 2 (s 2) 中有一个向量是可以由其余的向量 的线性表出，那么向量组 s , , , 1 2 线性相关. 从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组 1 2 , 线性相关就表示 1 2 = k 或者 2 1 = k (这两个式子不一定能同时成立). 在 P 为实数域，并且是三维时，就表示向量 1 与 2 共线.三个向量 1 2 3 , , 线性 相关的几何意义就是它们共面. 定义 11′向量组 s , , , 1 2 (s 1) 称为线性相关的，如果有数域 P 中不全 为零的数 s k , k , , k 1 2 ，使 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 这两个定义在 s 2 的时候是一致的. 定义 12 一向量组 s , , , 1 2 (s 1) 不线性相关，即没有不全为零的数 s k , k , , k 1 2 ，使 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 就称为线性无关；或者说，一向量组 s , , , 1 2 称为线性无关，如果由 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 可以推出 k1 = k2 == ks = 0
由定义有,如果一向量组的一部分线性相关,那么这个向量组就线性相关 换句话说,如果一向量组线性无关,那么它的任何一个非空的部分组也线性无关. 特别地,由于两个成比例的向量是线性相关的,所以,线性无关的向量组中一定 不能包含两个成比例的向量 定义11′包含了由一个向量组构成的向量组的情形.单独一个零向量线性 相关,单独一个非零向量线性无关 不难看出,由m维单位向量s,E2…En组成的向量组是线性无关的 具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组 的问题.要判断一个向量组 a1=(an,aa2…,an)i=1,2,…,s 是否线性相关,根据定义11,就是看方程 x1+x2a2+…+x,a,=0 有无非零解.(3)式按分量写出来就是 a1x1+a21x2+…+an1x 2x1 a2X+…+a,x a,x,+a2,x2+.+asnx,=0 因之,向量组a,a2…,a,线性无关的充要条件是齐次线性方程组(4)只有零解 例1判断P3的向量 a1=(-2,3),a2=(2,10),a3=(1,-7,9) 是否线性相关。 例2在向量空间P[x里,对于任意非负整数n 线性无关 例3若向量组a1,a2,ax3线性无关,则向量组2a1+a2,a2+5a3,4a3+3a1也线 性无关 从而,如果向量组(2)线性无关,那么在每一个向量上添一个分量所得到的
由定义有，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关. 换句话说，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关. 特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定 不能包含两个成比例的向量. 定义 11′包含了由一个向量组构成的向量组的情形. 单独一个零向量线性 相关，单独一个非零向量线性无关. 不难看出，由 n 维单位向量 n , , , 1 2 组成的向量组是线性无关的. 具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组 的问题.要判断一个向量组 a a a i s i i i in ( , , , ) 1,2 , , = 1 2 = (2) 是否线性相关，根据定义 11，就是看方程 x11 + x2 2 ++ xs s = 0 (3) 有无非零解.(3)式按分量写出来就是 + + + = + + + = + + + = 0. 0 , 0 , 1 1 2 2 12 1 22 2 2 11 1 21 2 1 n n sn s s s s s a x a x a x a x a x a x a x a x a x (4) 因之，向量组 s , , , 1 2 线性无关的充要条件是齐次线性方程组(4)只有零解. 例 1 判断 3 P 的向量 (1, 2,3), (2,1,0), (1, 7,9) 1 = − 2 = 3 = − 是否线性相关。 例 2 在向量空间 P[x] 里，对于任意非负整数 n n 1, x, x , , x 2 线性无关. 例 3 若向量组 1 2 3 , , 线性无关，则向量组 1 2 2 3 4 3 3 1 2 + , + 5 , + 也线 性无关. 从而，如果向量组(2)线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的