2.微分性质 若[)]=F(s),则C[f'(]=sF(s)0) 正：1rf。0 F(s) =e。0de=0)+y。0ed 推论：[fm()]=s"F(s)sn-0)s-2f(0.)口口口fm-(0 特别，当0)=f(0)=口口口=fm-1(0)=0时 则有C[f'(t)]=sF(s),口口口，C[fm(t)]=s"F(s) 该性质可将f()的微分方程化为F(s)的代数方程， 是分析线性电路（系统）的得力工具。 11
2. 微分性质 若 ℒ [ f(t)]=F(s)，则 ℒ [ f '(t)] = sF(s)-f(0- ) 证：ℒ [ f '(t)] =∫ 0- ∞df(t) dt e -st dt =∫ 0- ∞ e -st df(t) = e -st f(t) 0- ∞ - ∫ 0- ∞ f(t) de-st =-f(0- )+ s ∫ 0- ∞ f(t) e -st dt F(s) 推论：ℒ [ f (n) (t)]=s nF(s)-s n-1 f(0- )-s n-2 f '(0- )- -f (n-1)(0- ) 特别，当 f(0- ) = f '(0- ) = =f (n-1)(0- )= 0 时 则有 ℒ [ f '(t)] = sF(s)， ，ℒ [f (n) (t)] = s nF(s) 该性质可将f (t)的微分方程化为F(s)的代数方程， 是分析线性电路(系统)的得力工具。 11
P347例14-3用微分性质求cos(wt)和d(t)的象函数。 解： dsin(Wt) dt =w cos(Wt) de(=d() dt 利用微分性质和己知结果： C[sin(Wt)] W s2+W2 C[e(t)]=1/s, cew=c女gm]-4wsmo)] cos(w) S cdo1=ce0|=sG-0=1 12
P347 例14-3 用微分性质求cos(wt)和d(t)的象函数。 解： dt dsin(wt)=w cos(wt) 利用微分性质和已知结果： =d(t) dt de(t) ℒ [sin(wt)] ℒ [e(t)]= 1/s， = s 2+w2 w ℒ [cos(wt)]=ℒ w 1 dt dsin(wt) = w 1 s s 2+w2 w - sin(0- ) ℒ [cos(wt)] = s 2+w2 s ℒ [d(t)] =ℒ dt de(t) =s ( s 1 - 0)= 1 12
3.积分性质 则有g(t)=f(t),且g0)=0 若C[]=F(s) 由微分性质 则a=ro C[g'(t)]=sC[g(t)]-g(0) =sL [g(t)] 证：设g0小f0d Cg]=Cg④] 推论：设[t)]=F(s) 则重复应用积分性质可得重积分的象函数 c年rfw]女 13
3. 积分性质 若 ℒ [ f(t)]=F(s) 则ℒ∫ 0- t f (t) dt = s 1 F(s) 证：设 g(t) =∫ 0- t f (t) dt 则有g'(t)=f (t)，且g(0)=0 由微分性质 ℒ [g'(t) ] = sℒ [g(t)]-g(0) = sℒ [g(t)] ℒ [g(t) ] = s 1 ℒ [g'(t) ] 推论：设 ℒ [ f(t)]=F(s) 则重复应用积分性质可得n重积分的象函数 ℒ ∫ 0- t dt ∫ 0- t dt ···∫ t 0- f (t) dt = s n 1 F(s) 13
P348例14-4，求t)=t的象函数。 解：=手e(x)dx 利用积分性质c=C[e(xC[r]= sn+ 4.延迟性质 若C[]=F(s),又K0时)=0。 则对任一实数t有：[t-to)】=esF(s) 5.卷积性质 若f(t)、(t)在长0时为0，则f(t)和5()的卷积定义为 f(④*5年f(-xx)dx 取拉氏变换有 Cf(t*(]=F(s)F2(s) 14
解：f(t)= t =∫ 0- t e(x) dx ℒ [t] = s 1 P348 例14-4，求 f(t)= t 的象函数。 利用积分性质 = s 2 1 ℒ [t n ] = s n+1 n! ℒ [e(x)] 4. 延迟性质 若 ℒ [f(t)]=F(s)，又t<0时 f(t)=0。 则 对任一实数t 0有：ℒ [f(t-t 0 )]= e-st0 F(s) 5. 卷积性质 若f 1 (t)、f 2 (t)在t<0时为0，则f 1 (t)和f 2 (t)的卷积定义为 [f 1 (t)*f 2 (t)= ℒ [f 1 (t)*f 2 (t)]=F1 (s)F2 (s) ∫ 0 t f 1 (t-x)f 2 (x)dx 取拉氏变换有 14
P349例14-5求矩形脉冲的象函数。 解：t)=A[e(t)-e(t-t)] C[e1=↓ C [e(t-t)]=1 )=4-4evt =4(1-ext) *5.位移性质：C[ert)]=(s-a) *6.初值定理：0)=[s(sl,口m *7.终值定理：o)=[SF(s)小s▣0 常用的拉氏变换表见教材P350之表14-1。 15
P349例14-5 求矩形脉冲的象函数。 解：f(t) = A [e(t)-e(t-t)] *5.位移性质： ℒ [e at f(t)]=F(s-a) *6.初值定理： f(0)=[s F(s)]s ∞ *7.终值定理：f(∞)=[s F(s)]s 0 常用的拉氏变换表见教材P350之表14-1。 o t f (t ) A t ℒ [e(t)] = s 1 ℒ [e(t-t)] = s 1 e -st ℒ [f(t)] = s A - s A e -st = s A (1-e -st ) 15