§14-3拉氏反变换的部分分式展开 ·用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由 象函数求原函数的方法有 利用公式利弱 c+j∞ F(s)est dt C-joo 公式涉及到以s为变量的复变函数的积分，比较 复杂。工程上一般不采用这种方法。 口若象函数是，或稍加变换后是表14-1中所具 有的形式，可直接查表得原函数。 口把F(s)分解为简单项的组合，称部分分式展开法。 F(s)=F(S)+F(S)+口口口t)=f(t)+(t)+口口□ 16
§14-3 拉氏反变换的部分分式展开 ' 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由 象函数求原函数的方法有 利用公式 f(t) = 2pj 1 ∫ c-j∞ c+j∞ F(s) e st dt 若象函数是，或稍加变换后是表14-1中所具 有 公式涉及到以s为变量的复变函数的积分，比较 复杂。工程上一般不采用这种方法。 把F(s)分解为简单项的组合，称部分分式展开法。 的形式，可直接查表得原函数。 F(s)=F1 (s)+F2 (s)+ f(t)=f 1 (t)+f 2 (t)+ 16
例：求F(S)= 十3的原函数。 解：F)=1 3 3s2+3)2 查表：C[sin(wm=W s2+W2 所以：0=sim3t 17
例：求 F(s) = s 2 + 3 1 的原函数。 解：F(s) = 查表： 3 1 s 2 +( 3 ) 2 3 ℒ [sin(wt)] = s 2+w2 w 所以： f(t) = 3 1 sin 3 t 17
1.部分分式展开法 在线性电路中，电压和电流的象函数一般形式为 F(s)= N(s) =a0sm+a1sm-1+.+bm D(s) b0n+b1sm-1+.+bm 式中m、n为正整数，且在电路分析中有n≥m。 部分分式展开法就是把上式分解为若干个如表14-1 所示的简单函数之和，然后逐个求得反变换。 当n>m时，F(s)为真分式； 当n=m时，用多项式除法将其化为：F(s)=A No(s) D(s) 部分分式为真分式时，需对分母多项式作因式分解， 求出D(s)=O的根。分三种情况讨论。 18
1. 部分分式展开法 F(s) = D(s) N(s) = a0 s m + a1 s m-1 + ··· +bm b0 s n + b1 s n-1+ ··· +bn 在线性电路中，电压和电流的象函数一般形式为 式中m、n为正整数，且在电路分析中有n≥m。 部分分式展开法就是把上式分解为若干个如表14-1 所示的简单函数之和，然后逐个求得反变换。 当n > m时， F(s)为真分式； 当n = m时，用多项式除法将其化为：F(s) =A + D(s) N0 (s) 部分分式为真分式时，需对分母多项式作因式分解， 求出D(s)=0的根。分三种情况讨论。 18
情况1D(s)=0只有单根 F(S)= K1+K++ s-p1 S-p2 -Pn P1、p2、.、pn为D(s)=0的n个不同单根，它们可以 实数，也可以是（共轭）复数。 K、K2、.、K为待定系数。确定方法如下： 方法1：按K,=lims-p,)F(s)来确定，i=1,2,3,.,n sapi 方法2：用求极限方法确定K的值。 按K,=lim :(s-p)W(s) lim(s-P)N()+N(s)_Np) sOpi D(s) spi D'(S) D'(P) i=1,2,3,.,n 19
情况1 D(s)=0只有单根 K1、K2、··· 、Kn为待定系数。确定方法如下： F(s) = s- p1 K1 + s- p2 K2 + ··· + s- pn Kn p1、p2、. 、pn为D(s)=0的n个不同单根，它们可以 实数，也可以是(共轭)复数。 方法1：按 Ki =lim s pi (s- pi )F(s) 来确定， i =1,2,3, ···, n 方法2：用求极限方法确定 Ki的值。 按 Ki =lim s pi (s- pi )N(s) D(s) =lim s pi (s- pi )N'(s)+N(s) D'(s) = D'(pi ) N(pi ) i =1,2,3, ···, n 19
P352例14-6求Fs)= 2s+1 的原函数。 s3+7s2+10s 解：s3+7s2+10s=0的根分别为：p1=0,p2=-2,p3=-5 用K,=lim(s-p,)F(s)确定系数。 sOpi K=lim sF(s)=lims。 2s+1 =0.1 S▣0 s▣0s3+7s2+103 K2=lim(s+2)F(slim (s+2) 2s+1 =0.5 S口-2 S0-2 3(s+2)(s+5 K3=lim(s+5)F(slim(s+5) 2s+1 ，=-0.6 S口-5 S口-5 (s+2)(s+5) Fs)=01+0.5+-0.6 s+23+5 t)=0.1+0.5e2t-0.6e5 20
P352 例14-6 求 F(s) = 的原函数。 s 3 +7s 2 +10s 2s +1 解：s 3+7s 2 +10s=0的根分别为：p1=0, p2=-2, p3=-5 用Ki =lim (s-pi )F(s) 确定系数。 s pi K1=lim sF(s) s 0 s 0 s 3 +7s 2 +10s 2s+1 =lim s =0.1 K2=lim(s+2)F(s) s -2 s -2 =lim (s+2) 2s+1 s(s+2)(s+5)=0.5 K3=lim(s+5)F(s) s -5 s -5 =lim (s+5) 2s+1 s(s+2)(s+5)=-0.6 f(t) = 0.1+0.5e-2t -0.6e-5t F(s) = s 0.1 + s+2 0.5 + s+5 -0.6 20