1.定义 口一个定义在[0，+o]区间的函数)，它的拉普拉 斯变换式F(s)定义为： Fer 式中s=S+jW为复数，被称为复频率； F(s称为t)的象函数，t)称为F(s)的原函数。 口由F(s)到t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为： 0=c-s2d c+j∞ F(s)est dt C-100 式中c为正的有限常数。 6
1. 定义 一个定义在 [0, +∞] 区间的函数 f(t)，它的拉普拉 斯变换式 F(s) 定义为： F(s)=ℒ [f(t)]=∫ 0- ∞ f(t)e-stdt 式中s=s+jw为复数，被称为复频率； F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为： f(t)=ℒ -1 [F(s)]= 2pj 1 ∫ c-j∞ c+j∞ F(s) e st dt 式中c为正的有限常数。 6
·注意 (1)定义中拉氏变换的积分从=0.开始，即： Fs=c=0ewd于neware 它计及t=0至0+，)包含的冲激和电路动态变量 的初始值，从而为电路的计算带来方便。 (2)象函数F(s)一般用大写字母表示，如I(s)、U(s), 原函数t)用小写字母表示，如i(),(t)。 F象函数F(s)存在的条件：Re[s=s>c。 在电气领域中所用到的都是有实际意义的（电压或 电流)信号，它们的函数表达式)都存在拉氏变换。 所以应用时不再计较F(s)的存在条件。 7
F 象函数F(s) 存在的条件： Re[s]=s > c。 (1)定义中拉氏变换的积分从 t=0- 开始，即： ' 注意 在电气领域中所用到的都是有实际意义的(电压或 电流)信号，它们的函数表达式f(t)都存在拉氏变换。 所以应用时不再计较F(s)的存在条件。 F(s)=ℒ [f(t)]=∫ 0- ∞ f(t)e-stdt =∫ 0- 0 +f(t)e-stdt +∫ 0+ ∞ f(t)e-stdt 它计及 t=0-至 0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量 的初始值，从而为电路的计算带来方便。 (2)象函数 F(s) 一般用大写字母表示，如I(s)、U(s)， 原函数f(t) 用小写字母表示，如i(t)，u(t)。 7
2.典型函数的拉氏变换P345例14-1 (1)单位阶跃函数t)=e(t) rs吓e0 e"dr=专e 00 l-S 10 [e(t)]= (2)单位冲激函数d(t) of。de0edrfad0cedi=ee c[d(t)]=l (3)指数函数t)=ear(a为实数) wf。edrf&ad业=aeta6 c[e叫=a 8
2. 典型函数的拉氏变换 P345例14-1 (1)单位阶跃函数 f(t) = e(t) F(s) =∫ 0- ∞ e(t) e -st dt ℒ [e(t)]= s 1 =∫ 0- ∞ e -st dt = - s 1 e -st 0- ∞ (2)单位冲激函数d(t) F(s) =∫ 0- ∞ d(t) e -st dt =∫ 0- 0 + d(t) e -st dt = e-s(0) ℒ [d(t)]=1 (3)指数函数 f(t) = eat (a为实数) F(s) =∫ 0- ∞ e at e -st dt =∫ 0- ∞ e -(s-a)t dt = -(s-a) 1 e -(s-a)t 0- ∞ ℒ [e at ]= s-a 1 8
§14-2拉普拉斯变换的基本性质 1.线性性质 设：C[f(]=F(s),￡[f(]=F2(s) A1、A,是两个任意实常数。 则：C[A1f(t0)+A2f5(]=A1F(s)+A2F2S) 证：左手。A,f0+4,训ed =年。0ed山+0ed=布 A F (s) A2F2(s) 9
§14-2 拉普拉斯变换的基本性质 1. 线性性质 设：ℒ [ f 1 (t)]=F1 (s)，ℒ [ f 2 (t)]=F2 (s) A1、A2 是两个任意实常数。 则：ℒ [A1 f 1 (t)+A2 f 2 (t)] =A1F1 (s)+A2F2 (s) 证： 左 =∫ 0- ∞ [A1 f 1 (t) +A2 f 2 (t)] e -st dt = A1 ∫ 0- ∞ f 1 (t) e -st dt + A ∫2 0- ∞ f 2 (t) e -st dt = 右 A1F1 (s) A2F2 (s) 9
P346例14-2若f(t)=sin(wt),f(t)=K(1-e-a) 的定义域为[0，∞]，求其象函数解： [(][sin(Wi 欧拉公式 c[分ewew] 性性C[ew啊-人[em 引用[a]=a W C[sin(W)]w2 [(]=[K(1-e-a)] 线性性國。 CK]-C [Kea] 引用阶跃函数和指数函数的结论 =.K= Ka Ka ,-s+a C[K(1-ea)]= s(s+a) s(s+a) 10
P346 例14-2 若 f 1 (t)=sin(wt)， f 2 (t)=K(1-e -at ) 的定义域为[0，∞]，求其象函数。 ℒ [ f 1 (t)] =ℒ [sin(wt)] 2j 1 (e jwt -e -jwt ) 欧拉公式 ℒ 线性性质 2j 1 ℒ [e jwt ] -ℒ [e -jwt ] 引用 ℒ [e at ] = s-a 1 = 2j 1 s-jw 1 - s+jw 1 = s 2+w2 w ℒ [ f 2 (t)] = ℒ [K(1-e -at )] 引用阶跃函数和指数函数的结论 = s K - s+a K = s(s+a) Ka ℒ [K(1-e -at )]= 线性性质ℒ [K]-ℒ [Ke -at ] 解： s(s+a) Ka ℒ [sin(wt)] = s 2+w2 w 10