电流和磁场 教学目的：掌握Ampere'sLaw、电流和磁场间的关系，并能通过矢 量分析中的公式，推导出Maxwell's equations关于静磁场的后两式。 重点难点：Ampere'sLaw、电流和磁场间关系。 教学内容： 本节主要讨论磁场的基本规律，因为磁场是与电流相互作用的， 而Ampere'slaw在静磁学中的地位同Coulomb'slaw在静电学中的地 位相当，所以，这节中的电流元相当于上节中的点电荷，在讨论磁场 规律之前，先讨论电流分布的基本规律（上节课讲授的电荷守恒）。 1、安培定律(Ampere'slaw) 最先是由Ampere建立了电流与电流之间的相互作用力的关系， 若真空中有两个稳定的电流元dc,和，dr,那么电流元d红，受到电流 元j,dr,的作用力d2为 。=4id,xG,d,x) (2.22) 4π n2 同理，可知电流元，dr,受到电流元j,dc,的作用力d派，为 =4id,×Gid×) (2.23) 4π 2 在线电流分布的情况下，有jdx→1d,于是得到 ad。=色4d×(,dx) 4元 (2.24) dF,-M dl,x(Ld) 4元 上面是Apere'sLaw的数学表达式
将Ampere'sLaw与Coulomb'sLaw比较，可看到： a)电流元之间的相互作用力也服从平方反比率： b)电流元之间的相互作用力的方向不具有有心性质： c)电流元之间的相互作用力不满足Newton的作用力和反作用力 (Newton's Third Law). (这个矛盾之所以出现，是因为我们考虑了两个孤立的电流元之间的 作用力，而孤立电流元是不存在的。真实的电流总是构成闭合回路， 通有电流的闭合回路之间的相互作用力满足Newton's Third Law。如 果通过电流元积分也可以对闭合回路间的相互作用力表达出。) (2.25) 4π 2、磁场(magnetic field) 类似于两个点电荷之间作用力通过静电场进行的情形，两个电流 元之间的作用力则是通过所谓的磁场进行的。因此，也可由Ampere's law引入磁场的概念。实验指出，一个电流元jdx在磁场中所受到的 力可以写为 dF()=j,()dx,×B(x) (2.26) 将上式与Ampere'sLaw相比较，即得： B()=台j,()dr×是 (2.27) 4π 但是，根据叠加原理，矢量函数()的一般形式为 闲=绘ar×9 (2.28) 对于线电流有：
B(闭)= Hod I'dl'x (2.29) 4π1 这就是Biot-Savart'sLaw。 如果有一个电荷q以速度运动，则它所产生的磁感应强度为 )-9x5-4ixE 4π (2.30) 。3xE 1 3、磁场的散度(divergence of magnetic field) 己知电流分布()在空间一点()处所激发的磁感应强度为 B)=坠xFdE 4π r3 =-jj()xv上dr (2.31) 4π -凸v上×jdr 4πr 式中产=元-'，V是对场点x微分，与源点x'无关，运用公式 V×(o)=Vpxf+oV×i (2.32) 这里，o相当于上式中的，方相当于)，因此 B()= x-xr (2.33) 其中，由于V对x'的函数无关，所以 V×j()=0 (3.34) 从而得到 )=色vxjr (3.35) 4π￥ 又因为积分是对'函数而言的，所以V可以提到积分号外，故
B()=Vxdr (3.36) 4π 且得： B(x)=V×A() (2.37) 所以有： V·B()=0 (2.38) 由此可见，稳恒电流所激发的磁感应强度是一个无源矢量场，也就是 磁感应强度（磁力线）是闭合的。 4、磁场的旋度(rotor of magnetic field) 根据磁感应强度为B()=V×A(),对()求旋度，有： V×B()=V××A)] (2.39) =V(V.A)-V2A 先看第一项VA=? v=会2r-会小r (2.40) 运用公式 V-(of)=Vo-J+oV.J (2.41) (2.40)式可表示为 a-+ (2.42) 会wr 其中)=0，又因为v=-v,所以
.ic会-vjdr (2.43) -会r-女ir 对于稳恒电流有 7'.j()=0 (2.44) 根据上式和Gauss's Theorem(2.43)式可化为 v.i0)=-坠jv.jdr 4π (2.45) 4π 由于电流应全部包含在积分区域内，因而在边界面上电流密度的 法向分量应为零，即得到 V·A()=0 (2.46) 再看第二项VA=? p国-会：@r (2.47) [()v:dr' 因为 v21=-4π6)=-4π6(- (2.48) 所以 V24元)=j('[-4πd元-)Hx' 4π =-Ho ()8(-)dr' (2.49) =-4j() 最后得到