电场可以在空间的无源区域存在。如果两个不同分布的源在空间某点 上产生的点场相等，则在该点上放置的点电荷，就受到两个相等的力。 8、高斯定理(Gauss's theorem) 现在，具体分析一下电荷分布产生的电场E()的一般性质。所谓 电场其实是带电体周围的一个特殊空间，特殊性表现在：当我们在这 个空间放入一个点电荷时，该电荷会受到作用力。 Gauss'theorem主要是讨论电场强度E(x)的面积分，在点电荷场 中，设s表示包围着点电荷q的一个闭合面，为s上的定向面元， 以外法线方向为正。 S dg q (1)如果电荷q在闭合曲面s内 对于空间任一封闭曲面S作电场E的面积分，可得
-是6 gr cosads 到 ，r2 、92 4π0 9 60 (2)如果点电荷q在S曲面外，把S面分成两部分，照明部分S2和 阴影部分S,则 -品变+品 00 dcos0 4π。 而 cos0.ds:=-d r cose ds=d 有 -品m网-0 由此得到结论： q在S面内 0 q在S面外 根据叠加原理，在点电荷系场中，则存在如下形式：
E=水医+店++尼+…+E)6 设q1,92,qk在S内，9k+1,9k+2,9n在S外，则有 fE5-=2g,=g 这里q仅仅是封闭曲面S内的总电荷。 需要说明的是，当封闭曲面S内的总电荷q=0时，E·尽=0，这 并不能解释成S面上各点的场强为零，所以说，龙是由封闭曲面S内、 外所有电荷产生的场强的矢量和。 对于连续分布的电荷体系来说，则有 nds (2.16) 9、静电场的散度(divergence of electrostatic field) 根据式(2.l6)和Gauss's Theorem,有 .ds=V.Ed: (2.17) (2.18) V.=1p) (2.19) 60 也可以通过对电场强度的定义式(Coulomb'sLaw)求微分得到。讨 论内容在后面。 l0、静电场的旋度（rotation of electrostatic field) Gauss'theorem只确定了电力线的发散和会聚，对电力线可能存 在的其他形式却不能提供任何信息。所以，仅仅有Gauss's theorem还 不足以决定空间的性质，还必须讨论空间的线积分
E) =-V ∫p(d (2.18) 4π6 =-Vp() 由于 V×7p()=0 (2.19) V×E(x)=0 (2.20) 总上有 V.E)=1p) (2.21) V×E(x)=0 还可以通过直接对电场强度E进行求旋度，推导出电场强度的旋度为 零，说明静电场是无旋场。同时，通过闭合曲线积分也可以得到同样 的证明。 总结讨论： a.静电场是有源无旋场，电力线不闭合，从正电荷出发到负电荷终 止，有头有尾： b.静电场的场强表示为标量函数的负梯度，即()=-Vp。因此，它 是保守场，电荷在场中沿闭合曲线运动一周电场力做功为零： c.因为E)=-Vp,VE=1p,故有v'p=-1p,这是静电场中电势 满足的Poisson方程，而p=,】Pdr是Poisson方程的特解。 4π。r 讨论内容： 静电场的散度：
(1)空间任意一点()的散度仅仅决定该点的电荷密度，而V·()描述 场源的性质（判断有没有源） (2)Gauss's theorem是由Coulomb'slaw导出的，它是一个有限范围， 而Gauss's theorem是一个宏观无限小（△x→0）的，这种推广是合乎情 理的。 (2) Gauss'theorem反映了电荷激发电场通量的基本规律， 作业题： 课后第4题； 课后第7题第1问