例:计算Ret 1.L取为由0→>1+-直线 2L取为由0→1→1+-折线 解:1直线方程y=x的参数方程为 y=1则有:zx+y=(:)和dz(+ut 0≤t<1 1+i Re()d=(1+t=(1+)t
例：计算 Re L zdz ∫ 01 . 2. 0 1 1 i L i → + →→+ 1.L取为由 的直线 取为由 的折线 解：1.直线方程 y=x 的参数方程为 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤ ≤ = = 0 t 1 y t x t 则有：z=x+iy=(1+i)t 和 dz=(1+i)dt 1 1 0 0 1 Re( ) (1 ) (1 ) 2 L i z dz t i dt i tdt + = + =+ = ∫∫ ∫
由0-→的直线方程x=,y=0,0≤t≤1,则 z=t dz=dt Read= tdt= tdt 由1→)1+的直线方程x=1,y=10≤t≤1,则 =1+it. dz=idt 「 Re edz=ir= Re edz= reeds= Read=+ reed==i+ L1+L2 结论:对于函数Re(2,积分』R(与路径有关
1 1 1 0 0 1 , 0,0 1, , 1 Re 2 L L x ty t z t dz dt zdz tdt tdt → = = ≤≤ = = === ∫ ∫∫ 由 的直线方程 则 2 12 1 2 1 0 1 1, ,0 1, 1 , Re 1 Re Re Re Re 2 L L LL L L i x yt t z it dz idt zdz idt i zdz zdz zdz zdz i + →+ = = ≤≤ =+ = = = = = + =+ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ 由1 的直线方程 则 结论：对于函数 Re(z), 积分 ∫L Re(z)dz 与路径有关
2+4i 例:计算= 1沿抛物线y=x2 2沿连接点1+倒到2+4的直线段 3沿1+1到2+然后再到2+4折线 解:1.抛物线参数方程为 x=1,y=t2其中1≤t≤2 则z=x+iy=t+it dz=d(t+it)=(1+i2t)dt ∫=2=-(+m)(+12)d=1(2-)-41+21+21(2-)
例：计算 2 4 2 1 i i z dz + + ∫ 1.沿抛物线 2 y x = 2.沿连接点1 24 + + i i 到 的直线段 3.沿 到 然后再到 的折线 1 2 24 ++ + ii i 解:1．抛物线参数方程为 2 2 , ( ) (1 2 ) x ty t dz d t it i t dt = = ≤≤ = + =+ 2 其中1 t 2 则 z=x+iy=t+it 24 2 2 2 2 22 2 4 4 3 2 4 11 1 1 ( ) (1 2 ) [( ) 4 ] [2 2 ( )] i i z dz t it i t dt t t t dt i t t t t dt + + = + + = −− + + − ∫∫ ∫ ∫
1+倒2+4-直线方程为:y=3x-2 参数方程为:x=1和y=3t-2 1≤≤2则2=x+y=t+(31-2 d=t+(3-2)]=(1+3)lt 2+4i 86 ∫:=+1(3-2】(1+31)m 1+i
２． 24 2 2 2 1 1 1 24 3 2 3 2 1 2 (3 2) [ (3 2)] (1 3 ) 86 [ (3 2)] (1 3 ) 6 3 ii i i yx xty t t z x iy t i t dz d t i t i dt z dz t i t i dt i + + + + =− = =− ≤≤ = + =+ − = + − =+ = + − + =− − ∫ ∫ 到 的直线方程为： 参数方程为： 和 则
3.沿折线 (1)从1+i到2+线段的方程xt;y=1;1≤t≤2则 c=t+i dz=dt ∫=-(+h=(2-1+1M=+3 (2)从2+到4+2线段的方程x2;y=t,1st≤4则 x+iv dz=idt z=(2+0)iot=4ndt+1(4-)ah=30-9 4"3+列 )+(-30-9) 结论:对于函数f(2)=2沿着不同的路径积分相同
３．沿折线 (1)从 1+i 到 2+i 线段的方程 x=t ; y=1 ; 1t2 ≤ ≤ 则 22 2 2 2 22 11 1 1 , 4 ( ) ( 1) 2 3 3 ii z t i dz dt z dz t i dt t dt i tdt i + + =+ = = + = − + =+ ∫∫ ∫ ∫ (2)从 2+i 到 4+2i 线段的方程 x=2; y=t; 1 4 ≤ ≤t 则 z x iy dz idt =+ = ; 24 4 4 4 22 2 11 11 (2 ) 4 (4 ) 30 9 i i z dz it idt i tidt i t dt i + + = + = + − =− − ∫∫ ∫ ∫ 1 2 4 86 ( 3 ) ( 30 9 ) 6 3 3 LLL = + = + + − − =− − iii ∫∫∫ 结论：对于函数 f (z) = z 2 沿着不同的路径积分相同