线性最优平滑算法2最优固定区间平滑2.2反向滤波器下面，我们建立反向滤波器。在反向滤波器中，起始时刻是N，终了时刻是t。最终的输出是+1。下面为简单方便，忽略了上标"B。类似于（13），我们可以将状态反向传播方程表达为(21)Ck=dk.k+1Tk+1+dkk+1IkWk量测方程为(22)yk=Hkak+Uk10/49Prof. Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity
2 最优固定区间平滑 线性最优平滑算法 2.2 反向滤波器 下面，我们建立反向滤波器。在反向滤波器中，起始时刻是 N, 终了时 刻是 t。最终的输出是 xˆ B t|t+1。下面为简单方便，忽略了上标“B”。 类似于 (13)，我们可以将状态反向传播方程表达为 xk = Φk,k+1xk+1 + Φk,k+1Γkwk (21) 量测方程为 yk = Hkxk + vk (22) Prof. Yuan-Li Cai 10/49 Xi’an Jiaotong University
线性最优平滑算法2最优固定区间平滑从时刻N-1开始滤波，时刻k的反向滤波误差协方差矩阵为(23)P = P+1 + HT R"Hk反向一步预测的误差协方差矩阵为(24)PA/k+1=0k,+1[Pk+1]k+1+IkQkTT]T,+1定义（反向滤波及预测信息矩阵）Skk= PJl(25)Silk+1 = Pal+1(26)11/49Prof. Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity
2 最优固定区间平滑 线性最优平滑算法 从时刻 N − 1 开始滤波，时刻 k 的反向滤波误差协方差矩阵为 P −1 k|k = P −1 k|k+1 + H T k R −1 k Hk (23) 反向一步预测的误差协方差矩阵为 Pk|k+1 = Φk,k+1[Pk+1|k+1 + ΓkQkΓ T k ]ΦT k,k+1 (24) 定义 (反向滤波及预测信息矩阵) Sk|k = P −1 k|k (25) Sk|k+1 = P −1 k|k+1 (26) Prof. Yuan-Li Cai 11/49 Xi’an Jiaotong University
线性最优平滑算法2最优固定区间平滑那么，（23）、（24）可以表达为(27)Sk=S+1+HTR-H(28)Sk/k+1=T+1.[P+1]+1+xQkT]-10k+1,k由矩阵求逆引理(A11-A12A22A21)-1=Ail+AA12(A22-A21AlA12)-1A21Al(29)(28）可化为Sk/k+1=ΦT+1,[Sk+1k+1-Sh+1]k+1F,[rT Sk+1]k+1Ik++Q-1-1TS++1/+1)+1,12/49Prof. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University
2 最优固定区间平滑 线性最优平滑算法 那么，(23)、(24) 可以表达为 Sk|k = Sk|k+1 + H T k R −1 k Hk (27) Sk|k+1 = ΦT k+1,k[Pk+1|k+1 + ΓkQkΓ T k ] −1Φk+1,k (28) 由矩阵求逆引理 (A11 − A12A −1 22 A21) −1 = A −1 11 + A −1 11 A12(A22 − A21A −1 11 A12) −1A21A −1 11 (29) (28) 可化为 Sk|k+1 = ΦT k+1,k{Sk+1|k+1 − Sk+1|k+1Γk[ΓT k Sk+1|k+1Γk+ + Q −1 k ] −1Γ T k Sk+1|k+1}Φk+1,k Prof. Yuan-Li Cai 12/49 Xi’an Jiaotong University
线性最优平滑算法2最优固定区间平滑定义增益矩阵Kk= Sk+1|+1Fx[rTSk+1]+1F,+Q="]-1(30)那么反向一步预测信息矩阵可以写为(31)Sk|K+1=T+1,[I -K,FT]Sk+1]+1Φk+1,等价地S|+1=T+1,[I -KT]Sk+1]+1[I -K]k+1,++T+1,KQ-KT+1k(32)考虑到反向滤波公式(33)PCk=Pak+Ck+1+HTR-yk13/49Prof. Yuan-Li CaiXian JiaotongUniversity
2 最优固定区间平滑 线性最优平滑算法 定义增益矩阵 Kk = Sk+1|k+1Γk[ΓT k Sk+1|k+1Γk + Q −1 k ] −1 (30) 那么反向一步预测信息矩阵可以写为 Sk|k+1 = ΦT k+1,k[I − KkΓ T k ]Sk+1|k+1Φk+1,k (31) 等价地 Sk|k+1 = ΦT k+1,k[I − KkΓ T k ]Sk+1|k+1[I − KkΓ T k ] TΦk+1,k+ + ΦT k+1,kKkQ −1 k KT k Φk+1,k (32) 考虑到反向滤波公式 P −1 k|k xˆk|k = P −1 k|k+1xˆk|k+1 + H T k R −1 k yk (33) Prof. Yuan-Li Cai 13/49 Xi’an Jiaotong University
线性最优平滑算法2最优固定区间平滑记(34)==S2k+1 = P+1+1= Sklk+1个+1(35)那么(36)=++系统反向一步预测公式为(37)+1=k,+1+++114/49Prof. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University
2 最优固定区间平滑 线性最优平滑算法 记 zˆk|k = P −1 k|k xˆk|k = Sk|kxˆk|k (34) zˆk|k+1 = P −1 k|k+1xˆk|k+1 = Sk|k+1xˆk|k+1 (35) 那么 zˆk|k = ˆzk|k+1 + H T k R −1 k yk (36) 系统反向一步预测公式为 xˆk|k+1 = Φk,k+1xˆk+1|k+1 (37) Prof. Yuan-Li Cai 14/49 Xi’an Jiaotong University