最小方差控制原理提纲12线性时不变随机系统分析217有理谱分解定理329离散时间随机系统的级数表示433最优预测542最小方差控制653广义最小方差控制CAIYUANLI1
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 1 提 纲 1 线性时不变随机系统分析.2 2 有理谱分解定理.17 3 离散时间随机系统的级数表示.29 4 最优预测.33 5 最小方差控制.42 6 广义最小方差控制.53
最小方差控制原理线性时不变随机系统分析1.1平稳随机信号功率谱密度1.1.1 离散时间信号设(y(k))是一平稳随机序列，其自相关函数为R(k一i)= Ry(n), n=k-i, 即(1.1)Ry(k, i) = Ey(k)y(i) = R,(k - i) = Ry(n)OCAIYUANLI
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 2 1 线性时不变随机系统分析 平稳随机信号功率谱密度 离散时间信号 设{𝑦(𝑘)}是一平稳随机序列，其自相关函数为𝑅𝑦 (𝑘 − 𝑖) = 𝑅𝑦 (𝑛)，𝑛 = 𝑘 − 𝑖, 即 𝑅𝑦 (𝑘, 𝑖) = 𝐸𝑦(𝑘)𝑦(𝑖) = 𝑅𝑦 (𝑘 − 𝑖) = 𝑅𝑦 (𝑛) (1.1)
最小方差控制原理那么e-jnw Ry(n)(1.2)S(w) =n=8定义为该平稳随机序列的功率谱密度，简称为谱密度。（有的资料给出的定义差一个比例常数三。如果R(k－i）=RSki，那么S(w）=R，则称平稳不相关随机序列(y(k))为白噪声序列。【例】设平稳随机序列(y(k,kET的自相关函数为3CAIYUANLI
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 3 那么 𝑆𝑦 (𝜔) = ∑ 𝑒 −𝑗𝑛𝜔𝑅𝑦 (𝑛) ∞ 𝑛=−∞ (1.2) 定义为该平稳随机序列的功率谱密度，简称为谱密度。（有 的资料给出的定义差一个比例常数 1 2𝜋 。） 如果𝑅𝑦 (𝑘 − 𝑖) = 𝑅𝛿𝑘𝑖，那么𝑆𝑦 (𝜔) = 𝑅，则称平稳不相 关随机序列{𝑦(𝑘)}为白噪声序列。 【例】设平稳随机序列{𝑦(𝑘), 𝑘 ∈ 𝑇}的自相关函数为
最小方差控制原理r(n) =β2e-αlnl,α > 0试求功率谱密度S,(の)【解】根据定义（注意差异：_2元++0017ZZβ2e-α|nl-jnar(n)e-jnwSy(w2元2元n=-8n=-00@CAIYUANLI
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 4 𝑟𝑦 (𝑛) = 𝛽 2𝑒 −𝛼|𝑛| , 𝛼 > 0 试求功率谱密度𝑆𝑦 (𝜔)。 【解】根据定义（注意差异： 1 2𝜋 ） 𝑆𝑦 (𝜔) = 1 2𝜋 ∑ 𝑟𝑦 (𝑛)𝑒 −𝑗𝑛𝜔 +∞ 𝑛=−∞ = 1 2𝜋 ∑ 𝛽 2𝑒 −𝛼|𝑛|−𝑗𝑛𝜔 +∞ 𝑛=−∞
最小方差控制原理+00-1β22Ze(α-jw)n +1 +W7el2元n=in=-0β2e-(α-ja)e(-α-ja)1+1-e-(α-ja) +1-e(α-ja)2元β21+e-2α2π1- 2e-α cos +e-2αCAIYUANLI5
最小方差控制原理 © CAI YUANLI 5 = 𝛽 2 2𝜋 [ ∑ 𝑒 (𝛼−𝑗𝜔)𝑛 −1 𝑛=−∞ + 1 + ∑𝑒 (−𝛼−𝑗𝜔)𝑛 +∞ 𝑛=1 ] = 𝛽 2 2𝜋 [1 + 𝑒 −(𝛼−𝑗𝜔) 1 − 𝑒 −(𝛼−𝑗𝜔) + 𝑒 (−𝛼−𝑗𝜔) 1 − 𝑒 (𝛼−𝑗𝜔) ] = 𝛽 2 2𝜋 1 + 𝑒 −2𝛼 1 − 2𝑒 −𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝜔 + 𝑒 −2𝛼