『连续时间系统滤波与平滑算法]Prof.Yuan-Li CaiSpring2023
pink 『连续时间系统滤波与平滑算法』 Prof. Yuan-Li Cai Spring 2023
0.Outline2线性系统卡尔曼滤波算法非线性系统滤波算法/283/37连续时间系统平滑算法
0. Outline 1 线性系统卡尔曼滤波算法 / 2 2 非线性系统滤波算法 / 28 3 连续时间系统平滑算法 / 37
连续时间系统滤波与平滑算法线性系统卡尔曼滤波算法1.线性系统卡尔曼滤波算法1.1从离散时间系统到连续时间系统考虑连续时间动态系统X(t) = F(t)X(t) +G(t)W(t)(1)(2)Y(t) = H(t)X(t) +V(t)2/45Prof. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University
1 线性系统卡尔曼滤波算法 『连续时间系统滤波与平滑算法』 1. 线性系统卡尔曼滤波算法 1.1 从离散时间系统到连续时间系统 考虑连续时间动态系统 X˙ (t) = F(t)X(t) + G(t)W(t) (1) Y (t) = H(t)X(t) + V (t) (2) Prof. Yuan-Li Cai 2/45 Xi’an Jiaotong University
连续时间系统滤波与平滑算法线性系统卡尔曼滤波算法其中，W(t)～(0,Q(t))与V(t)～(O,R(t))是互不相关的白噪声过程，它们与初始状态X(0)～(Xo,Po)不相关。另外，设Q(t)≥0,R(t)>0,它们分别是系统过程噪声和量测噪声的功率谱密度矩阵。由线性系统理论可知(3)X(t) = Φ(t,to)X(to) +Φ(t, T)G()W()dT其中(t,to) = F(t)Φ(t,to),Φ(to,to) = I(4)称为系统转移矩阵。3/45Prof. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University
1 线性系统卡尔曼滤波算法 『连续时间系统滤波与平滑算法』 其中，W(t) ∼ (0, Q(t)) 与 V (t) ∼ (0, R(t)) 是互不相关的白噪声过程，它 们与初始状态 X(0) ∼ (X¯ 0, P0) 不相关。另外，设 Q(t) ≥ 0, R(t) > 0，它 们分别是系统过程噪声和量测噪声的功率谱密度矩阵。 由线性系统理论可知 X(t) = Φ(t, t0)X(t0) + Z t t0 Φ(t, τ )G(τ )W(τ )dτ (3) 其中 Φ(˙ t, t0) = F(t)Φ(t, t0), Φ(t0, t0) = I (4) 称为系统转移矩阵。 Prof. Yuan-Li Cai 3/45 Xi’an Jiaotong University
【连续时间系统滤波与平滑算法]线性系统卡尔曼滤波算法由此可以将（1)、（2）离散化为(5)X(k +1) =Φ(k + 1, k)X(k) +T(k)WD(k)(6)Y(k +1)= H(k+1)X(k +1) + Vp(k+1)式中，X(k）=X(tk)：ts=k△t，△t为采样时间间隔。下面研究△t很小时，（1)、(2）与(5)、（6）之间的关系。首先，由（4不难发现(7)Φ(t+△t,t) ~ I +F(t)△t如果t=k△t，近似地（忽略△t二阶以上小量）(8)Φ( + 1, k) ~ I +F(k)△t4/45Prof. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University
1 线性系统卡尔曼滤波算法 『连续时间系统滤波与平滑算法』 由此可以将 (1)、(2) 离散化为 X(k + 1) = Φ(k + 1, k)X(k) + Γ(k)WD(k) (5) Y (k + 1) = H(k + 1)X(k + 1) + VD(k + 1) (6) 式中，X(k) = X(tk)，tk = k∆t，∆t 为采样时间间隔。 下面研究 ∆t 很小时，(1)、(2) 与 (5)、(6) 之间的关系。首先，由 (4) 不难发现 Φ(t + ∆t, t) ≈ I + F(t)∆t (7) 如果 t = k∆t，近似地（忽略 ∆t 二阶以上小量） Φ(k + 1, k) ≈ I + F(k)∆t (8) Prof. Yuan-Li Cai 4/45 Xi’an Jiaotong University