例6讨论函数 y 2,x+y≠0 ∫(x,y)=1x+y 2 x ty= 0 在(0,0)的连续性 解取y=kx Xy 2 lim =lim 0x t y x→>0y 2 2 +k2x21+k y→>0 y=h 其值随k的不同而变化,极限不存在 故函数在(0,0)处不连续 上
例6 讨论函数 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 在(0,0)的连续性． 解 取 y kx 2 2 0 0 lim x y xy y x 2 2 2 2 0 lim x k x kx y kx x 2 1 k k 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质 (1)最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数,在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次 (2)介值定理 士 在有界闭区域D上的多元连续函数,如 果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次 反回
闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次． 在有界闭区域D上的多元连续函数，如 果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次． （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理
(3)一致连续性定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必定 在D上一致连续 多元初等函数:由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 士 切多元初等函数在其定义区域内是连续的 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 反回
（3）一致连续性定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必定 在D上一致连续． 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
一般地,求lim∫(P)时,如果∫(P)是初等函 P→P0 数,且P是f(P)的定义域的内点,则∫(P)在 点P处连续,于是limf(P)=f(B) P→f 例7求m习y+1-1 x→0 y→>0 解原式=im+1-1 m 士 xxy(xy+1+1)x0x+1+1 J→ 2 反回
例７ . 1 1 lim 0 0 xy xy y x 求 解 ( 1 1) 1 1 lim 0 0 xy xy xy y x 原式 1 1 1 lim 0 0 xy y x . 2 1 lim ( ) ( ). ( ) ( ) lim ( ) ( ) 0 0 0 0 0 P f P f P P f P f P f P f P P P P P 点 处连续，于是 数，且 是 的定义域的内点，则 在 一般地，求 时，如果 是初等函
四、小结 多元函数的定义 多元函数极限的概念 (注意趋近方式的任意性) 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质 反回
多元函数极限的概念 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质 （注意趋近方式的任意性） 四、小结 多元函数的定义