说明: (1)定义中P→P0的方式是任意的; (2)二元函数的极限也叫二重极限limf(x,y); x→x 士 (3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似 反回
说明： （1）定义中P P0 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 lim ( , ); 0 0 f x y y y x x （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例2求证m(x2+y)sn+y0 证(x2+y)mn,2,2-0 2 x2+y·Sin ≤x2+ x t y VE>0,彐8=√E, 当0<√(x-0)2+(y-0)2<δ时, (x2+y2)sin2-0<8原结论成立 x t y 反回
例2 求证 证 0 1 lim( )sin 2 2 2 2 0 0 x y x y y x 0 1 ( )sin 2 2 2 2 x y x y 2 2 2 2 1 sin x y x y 2 2 x y 0, , 当 0 (x 0) 2 ( y 0) 2 时， 0 1 ( )sin 2 2 2 2 x y x y 原结论成立．
例3求极限im xx t y 2 解lim sin(x'y 2 x0 x ty →0 lim sin(r'y).xy 2 29 x→>0xy →>0 r ty sin(x'y) u=x y 其中im2 lim sinu x→>0xy 0 u0 u x y ≤x >0,∴lim sin(r y 0. x +y 2 0r+ →0 反回
例3 求极限 . sin( ) lim 2 2 2 0 0 x y x y y x 解 2 2 2 0 0 sin( ) lim x y x y y x , sin( ) lim 2 2 2 2 2 0 0 x y x y x y x y y x 其中 x y x y y x 2 2 0 0 sin( ) lim u u u sin lim 0 1, 2 2 2 x y x y x 2 1 0, x0 0. sin( ) lim 2 2 2 0 0 x y x y y x u x y 2
3 例4证明 limy,不存在 0y+ →0 证取y=kx3, 3 3 x y k x0x6+y2x30,x5+k2x61+k2 y=kr 其值随的不同而变化, 故极限不存在 反回
例4 证明 不存在． 证 6 2 3 0 0 lim x y x y y x 取 , 3 y kx 6 2 3 0 0 lim x y x y y x 6 2 6 3 3 0 3 lim x k x x kx y kx x , 1 2 k k 其值随k的不同而变化， 故极限不存在．
3 J 观察z= J 图形,Iim 2不存在 r t y ox ty 播放
观察 6 2 不存在. 3 0 0 lim x y x y y x , 6 2 3 图形 x y x y z 播放