T COSa -T COSa,=0 T, sin a2-Tsin a,=(pdx )u 小振动:a→0.a,→>0.cosa;→> 1. cosa,→1 Sm1→> tan a1= OX Sn,2→tana,=l xx+△ T,-T1=0 2x x+dx urx=(pdx ut
T2 cos2 −T1 cos1 = 0 T T dx ut t sin sin ( ) 2 2 − 1 1 = 小振动： 0, 0,cos 1,cos 1. 1 → 2 → 1 → 2 → x ux x x u = sin 1 → tan1 = 2 2 sin tan x x x u → = + T2 −T1 = 0 T ux x dx Tux x dx ut t ( ) 2 + − 1 =
xx+ Tu x=(pdx )u T x x+dx xx dx Turr-pu=0 波动方程。u1-a2lx=0 2 TIp a at a 1 a 0 x= at ax ax at a at a波速
T ux x dx Tux x dx utt ( ) 2 + − 1 = t t x x d x x x u dx u u T = + − Tuxx − utt = 0 / 2 a = T 0 2 波动方程。 utt − a uxx = 波速 x at = t 1 x x t a t = = 0 1 2 2 t t − ut t = a u a a
D受迫振动 在上式推导过程中,出现的力是弦内的张力,外力 为零。在受到与弦垂直方向的周期力的作用时,弦运 动为受迫振动 设单位长度上弦受力F(x1),则dx受力 为f(x,1)=F(x,)/p xx+dx Tu,x+F(x, tdx=(edx )u 最后得受迫振动方程 u -au=f(x, t)
D.受迫振动 在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力 为零。在受到与弦垂直方向的周期力的作用时，弦运 动为受迫振动。 设单位长度上弦受力 ，则 dx 受力 为 。 F(x,t) f (x,t) = F(x,t)/ x x dx x x dx dx ut t T u Tu F(x,t) ( ) 2 + − 1 + = 最后得受迫振动方程 ( , ) 2 u a u f x t t t − xx =
2均匀杆的纵振动 A杆的弹性力学基本力学方程:胡克定律r=3tL Y:杨氏模量,单位面积上的应力。 dL 杆中选L=dx长一段 F时刻t,x一端位移u,x+dx 端位移u+du。 L 杆的伸长cL=(+c)-l au f=ys= ysu dx
2.均匀杆的纵振动 A.杆的弹性力学基本力学方程：胡克定律 L dL f = YS Y：杨氏模量，单位面积上的应力。 L S dL f 杆中选 L=dx 长一段 时刻t，x 一端位移 u，x+dx 一 端位移 u+du。 dL = (u + du) −u = du YSux dx du f = YS = 杆的伸长
B运动方程 dl=(u+)-u=du f=ys YSu x xtd 更长的dx,两端的 相对伸长和应力将 不同,杆受力 f=flxds-fl2=YSu,+ -,=YSux 牛顿定律: f=p(sax)u a2u=0 a2=Y/p为波速
L S dL f B.运动方程 x x + dx x u u + dx dL = (u + du) −u = du YSux dx du f = YS = 更长的dx，两端的 相对伸长和应力将 不同，杆受力 f f f YSu YSu YSu dx = x+dx − x = x+dx − x = xx 牛顿定律： Sdx utt f = ( ) 即 0 2 utt − a uxx = / 2 a = Y 为波速