8 1.2 复数的三角表示(Therepresentationofcomplexnumber复数的模和辐角二三四五复数的三角不等式复数的表示方法用复数的三角表示作乘除法复数的乘方与开方
§1.2 复数的三角表示 (The representation of complex number) 一、复数的模和辐角 二、复数的三角不等式 三、复数的表示方法 四、用复数的三角表示作乘除法 五、复数的乘方与开方
一、复数的模和辐角如图复数z=x+i点P(x，)OP=(x,),因此可用向量OP表示z=x+iy.向量的长度称为复数的模，Jz平面记作：P(x,y)yIz=/x~+yHx0x
一、复数的模和辐角 o x y z平面 P(x,y) z = r x y . ( ) { , } OP z x iy z x iy P x y OP x y = + = + = 因此可用向量 表示 如图复数 点 ， ， 向量的长度称为复数的模， 记作： | | . 2 2 z = x + y
向量与正实轴之间的夹角称为复数z的辐角（Argument），记作：θ=Argz.由于任意非零复数有无限多个辐角，-元<arg 条元用Argz 表表示符合件的一个角，称为复数主辐角。于是k=0,±1,±2,.....Argz = argz +2kπ注意：z=0 时，辐角不确定
向量与正实轴之间的夹角称为复数 的辐角(Argument)，记作： 由于任意非零复数有无限多个辐角， 用 表示符合 条 件的一个角，称为复数主辐角。于是 = Argz. − arg z Argz Argz = arg z + 2k k = 0,1, 2, 注意： z = 0 时，辐角不确定。 z
下面给出arg z与arctan二之间的关系xV当x>0,y≥0;arctanx元当x=0, y>0;2arctan+π,当x<0,y≥0;元其中_xy<arctanarg z =22xyZ*0-元,当x<0,y<0;arctan -x元当x=0,y<0;2y当x>0,y<0,arctan :x
下面给出 与 之间的关系 x y arg z arctan 2 arctan 2 − x y 其 中 − = − + = = arctan , 0, 0; , 0, 0; 2 arctan , 0, 0; arctan , 0, 0; , 0, 0; 2 arctan , 0, 0; arg 0 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y z z 当 当 当 当 当 当
例3 求 Arg(2-2i) 及 Arg(-3+4i)解 Arg(2-2i) = arg(2-2i) + 2kπ-2+2k元= arctan-2元+2k元(k =0, ±1, ±2,.44+2k元+元Arg(-3 + 4i) = arg(-3 + 4i) + 2kπ = arctan-34(k =0, ±1, ±2,...)= (2k + 1)元 - arctan -3
2 k 22 arctan + − = 2 ( 0, 1, 2, ) 4 = − + k k = Arg( − 3 + 4 i ) = arg( − 3 + 4 i ) + 2 k + + − = 2 k 34 arctan( 0, 1, 2, ) 34 = (2 k +1) − arctan k = 例3 求 Arg( ) 2 2 − i 及 Arg( ) − +3 4i 解 Arg( 2 − 2 i ) = arg( 2 − 2 i ) + 2 k