旋转曲面的方程 在空间坐标系中,设旋转曲面的母线为: F1(x2y,z)=0 F2(x2y,z)=0 旋转直线为: L x-xo y-yo (2) Y 其中P0xy020)为轴L上一定点,X,Y,Z为旋转轴 L的方向数。 设M1(x1y121)为母线C上的任意点,则M的纬圆总 可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中 ,P0M1为半径的球面的交线
二、旋转曲面的方程 在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为： (1) ( , , ) 0 ( , , ) 0 : 2 1 = = F x y z F x y z C 旋转直线为： : (2) 0 0 0 Z z z Y y y X x x L − = − = − 其中P0 (x0 ,y0 ,z0 )为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴 L的方向数。 设M1 (x1 ,y1 ,z1 )为母线C上的任意点，则M1的纬圆总 可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中 心，|P0M1 |为半径的球面的交线
所以过M的纬圆的方程为: X(x-x)+Y(y-y)+Z(z-50)=0 (x-x0)2+(y-y)2+(z-=0)2=(x1-x0)2+(y-y)2+(=1-=0)2 当点M1跑遍整个母线C时,就得到所有的纬圆, 这些纬圆就生成旋转曲面。 又由于M在母线上,所以又有: F1(x12y12=1)=0 (4) F2(x12y121)=0 从(3)(4)的四个等式中消去参数x1,y1,z1,得到 个三元方程: F(x,ys 2=0 这就是以C为母线,L为旋转轴的旋转曲面的方程
所以过M1的纬圆的方程为： − + − + − = − + − + − − + − + − = 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (3) x x y y z z x x y y z z X x x Y y y Z z z 当点M1跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆， 这些纬圆就生成旋转曲面。 又由于M1在母线上，所以又有： (4) ( , , ) 0 ( , , ) 0 : 2 1 1 1 1 1 1 1 = = F x y z F x y z C 从（3）（4）的四个等式中消去参数x1 ,y1 ,z1 ,得到一 个三元方程： F(x,y,z)=0 这就是以C为母线，L为旋转轴的旋转曲面的方程
例1、求直线 0 绕直线=y=z旋转所得旋转曲面的方程 解:设M1(x1y1,z1)是母线上的任意点,因为旋转轴 通过原点,所以过M的纬圆方程是: (x-x1)+(y-y)+(z-z1)=0 x ty t2 =x +y1 +z 又由于M1在母线上,所以又有: 0 即x1=2y1,z1=1,消去x1y1,z1得所求旋转曲面的方程: 2(x2+y2+22)-5(Xy+y2+zX)+5(X+y+z)-7=0
例1、求直线 0 1 2 1 − = = x y z 绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。 解：设M1 (x1 ,y1 ,z1 )是母线上的任意点，因为旋转轴 通过原点，所以过M1的纬圆方程是： + + = + + − + − + − = 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 x y z x y z x x y y z z 又由于M1在母线上，所以又有： 0 1 2 1 1 1 1 − = = x y z 即 x1=2y1 ,z1=1,消去x1 ,y1 ,z1得所求旋转曲面的方程： 2(x2+y2+z2 )-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0