存在定理 定理1当函数f(x)在区间a,b上连续时, 称f(x)在区间a,b上可积 定理2设函数∫(x)在区间a,b上有界 且只有有限个间断点,则f(x)在 区间[a,b上可积
定理 1 当函数 f (x)在区间[a,b]上连续时， 定理 2 设函数 f (x)在区间[a,b]上有界， 称 f (x)在区间[a,b]上可积. 且只有有限个间断点，则 f (x)在 三、存在定理 区间[a,b]上可积
四、定积分的几何意义 f(x)>0,Jf(x)k=A曲边梯形的面积 f(x)<0,mf(x)dx=-A曲边梯形的面积 的负值 ∠A f(xdx=A-A2+ A3-A4
f (x) 0, = b a f (x)dx A 曲边梯形的面积 f (x) 0, = − b a f (x)dx A 曲边梯形的面积 的负值 A1 A2 A3 A4 1 2 3 4 f (x)dx A A A A b a = − + − 四、定积分的几何意义
几何意义: 它是介于x轴、函数∫(x)的图形及两条 直线x=a,x=b之间的各部分面积的代数和 在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面 积取负号
几何意义： 积取负号． 在 轴上方的面积取正号；在 轴下方的面 直线 之间的各部分面积的代数和． 它是介于 轴、函数 的图形及两条 x x x a x b x f x = , = ( ) + + − −
例1利用定义计算定积分x2d 解将{0,1l等分,分点为x;=-,( 小区间[x1,x;的长度△x;=-,(=1,2,…,n 取5;=x,(i=1,2,…,n) ∑f(5x1=∑的△x1=∑x△r
例1 利用定义计算定积分 . 1 0 2 x dx 解 将[0,1]n等分，分点为 n i xi = ，(i = 1,2,,n) 小区间[ , ] xi−1 xi 的长度 n xi 1 = ，(i = 1,2,,n) 取 i = xi，(i = 1,2, ,n) i i n i f x = ( ) 1 i i n i = x = 2 1 , 1 2 i n i = xi x =
∑ ∑ ln(n+1)(2n+1) ai(, n n i= 6 1+-‖2+ 九→0→n→ x2=im22△ 元→>0 lim-1+-‖2+ 6 n)3
n n i n i 1 2 1 = = = = n i i n 1 2 3 1 6 1 ( 1)(2 1) 3 + + = n n n n , 1 2 1 1 6 1 + = + n n → 0 n → x dx 1 0 2 i i n i = x = → 2 1 0 lim + = + n→ n n 1 2 1 1 6 1 lim . 3 1 =