2 例2利用定义计算定积分 解在1,2中插入分点q,q2,,q 典型小区间为q,q(],(i=1,2,…,n 小区间的长度Ax1=q-q=9(q-1), 取 i-1 n ∑(5Ax=∑Ax;=∑1q(q-1)
例2 利用定义计算定积分 . 2 1 1 dx x 解 在[1,2]中插入分点 2 1 , , , n− q q q , 典型小区间为[ , ] i 1 i q q − ,(i = 1,2, ,n) 小区间的长度 ( 1) 1 1 = − = − − − x q q q q i i i i , 取 −1 = i i q ,(i = 1,2, ,n) i i n i f x = ( ) 1 i n i i = x =1 1 ( 1) 1 1 1 1 = − − = − q q q i n i i
∑(q-1)=n(q-1)取q"=2即q=2 ∑f(5)x;=n(2-1), lim x(2-1)=li 2x-1 In 2 x→》+∞1 ∴limn(2"n-1)=ln2, n→0 2 dx =lim2=lim n(2M-1)=In2 九→>0 n→0
= = − n i q 1 ( 1) = n(q −1) 取 = 2 n q 即 n q 1 = 2 (2 1), 1 = − n n lim (2 1) 1 − →+ x x x x x x 1 2 1 lim 1 − = →+ = ln2, lim (2 1) 1 − → n n n = ln2, dx x 2 1 1 i n i i = x = → 1 0 1 lim lim (2 1) 1 = − → n n n = ln2. i i n i f x = ( ) 1
例3设函数∫(x)在区间[0,1上连续,且取正值 In f(x)dx 试证 n mn 证明利用对数的性质得 n→0 n→0
例 3 设函数 f ( x)在区间[0,1]上连续,且取正值. 证明 n n n n f n f n f → 1 2 lim → = n n n n f n f n f e 1 2 ln limn n n n f n f n f → 1 2 试证 lim . 1 0 ln ( ) = f x dx e 利用对数的性质得
极限运算与对数运算换序得 2 lim I In nl n→0 n lim >In n→>0 n→ 指数上可理解为:Inf(x)在0,1区间 上的一个积分和.分割是将{0,1等分 分点为x2=-,(i=1,2,…,n)
= = → n i f n n i n e 1 ln 1 lim n n i f n i n e 1 lim ln 1 = = → 指数上可理解为:ln f (x)在[0,1] 区间 上的一个积分和. 分割是将[0,1]n等分 分点为 n i xi = ,(i = 1,2,,n) → = n n n n f n f n f e 1 2 lim ln 极限运算与对数运算换序得
因为∫(x)在区间0,1上连续,且f(x)>0 所以nf(x)在0,1上有意义且可积, im∑Infl In f(e) n→>∞i=1 2 故limn n→0 ∫(x)d
n n i f n n i 1 lim ln 1 → = = 1 0 ln f (x)dx 故 n n n n f n f n f → 1 2 lim . 1 0 ln ( ) = f x dx e 因为 f (x)在区间[0,1]上连续,且 f (x) 0 所以ln f (x)在[0,1]上有意义且可积