实例2(求变速直线运动的路程) 设某物体作直线运动,已知速度v=v()是 时间间隔[T1,T2上的一个连续函数,且 v()≥0,求物体在这段时间内所经过的路程. 思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上 速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便 得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值
实例2 （求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是 时间间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程. 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
分割T1=t<1<L2<…<tn1<tn=T AM=t1-t1As,≈v(zA 部分路程值 某时刻的速度 (2)求和s≈∑v)A (3)取极限x=maxA1,△M2,…,△An} 路程的精确值s=lim∑v(τ)千
（1）分割 1 0 1 2 1 T2 T t t t t t = n− n = i = i − i−1 t t t i i i s v( )t 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 i i n i s v t = ( ) 1 （3）取极限 max{ , , , } 1 2 n = t t t i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0 路程的精确值
定积分的定义 定义设函数f(x)在a,b上有界,在a,b中任意插入 若干个分点a=x0<x1<x2<…<xn1<x=b 把区间m,6分成个小区间,各小区间的长度依次为 △x1=x2-x1,(i=1,2,…),在各小区间上任取 点5;(5∈△x;),作乘积f()x;(i=1,2,…) 并作和S=∑f(5)△x, i=1 记=max{△x1,△x2,…,Axn},如果不论对a,b
设函数 f (x)在[a,b]上有界， 记 max{ , , , } = x1 x2 xn ，如果不论对[a,b] 在[a,b]中任意插入 若干个分点 a x x x x x b = 0 1 2 n−1 n = 把区间[a,b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为 xi = xi − xi−1，(i = 1,2, )，在各小区间上任取 一点 i（ i xi），作乘积 i xi f ( ) (i = 1,2, ) 并作和 i i n i S = f x = ( ) 1 ， 二、定积分的定义 定义
怎样的分法,也不论在小区间x=1,x上 点与怎样的取法,只要当λ→0时,和S总趋于 确定的极限Ⅰ,我们称这个极限为函数∫(x) 在区间[a,b上的定积分,记为 识分上限 积分和 f(x)x=I=m∑f5A →>0 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 la,b积分区间
怎样的分法， = = ba f (x)dx I i i ni f x = → lim ( ) 1 0 被积函数 被积表达式 积分变量 [a,b]积分区间 也不论在小区间[ , ] xi−1 xi 上 点 i怎样的取法，只要当 → 0时，和S总趋于 确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f (x) 在区间[a,b]上的定积分， 记为 积分上限 积分下限 积分和
注意: (1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关 /(r)dx=lf(t)dt=L,f(u)du (2)定义中区间的分法彬;的取法是任意的 (3)当函数f(x)在区间[a,b上的定积分存在时, 称f(x)在区间a,b上可积
注意： （1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关， b a f (x)dx = b a f (t)dt = b a f (u)du （2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的. （3）当函数 f (x)在区间[a,b]上的定积分存在时， 而与积分变量的字母无关. 称 f (x)在区间[a,b]上可积