公共课 (2)平面方程、直线方程,平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的 条件,点到平面的距离,*点到直线的距离。 (3)曲面方程和空间曲线方程的概念,旋转曲面,柱面,*二次曲面。空间曲线的一般方程和 参数方程,空间曲线在坐标面上的投影线方程 3.教学方法: 三维向量空间是分析多元函数的基点,空间想像能力也是数学要培养的一种能力,从二维向 三维发展在思维上是一种飞跃,同时也是教与学上的难点 (1)三维空间向量学生在高中阶段已经有所接触,教学可采用自学与讲解相结合的方式,重 点讲学生没有接触过的内容,以期使学生了解整个向量空间的概况 (2)对曲面的教学可以采用多媒体直观教学,让学生对空间图形有具体的想象,对理解各种 曲面有帮助 (3)安排一次习题课,系统地复习整章的重点内容,处理作业和习题中的问题,归纳总结解 题技巧和方法。 4.学习资料:B.∏I.吉米多维奇,高等数学习题精选精解。数学软件 Mathematica在高等数 学中的运用。 5.思考题:每节课后布置适当的作业,每单元可提供适当的复习题 第九章多元函数微分学(13学时) 1.教学要求: (1)理解多元函数的概念及其几何意义,了解二元函数的极限与连续性的概念,知道有界闭 区域上二元连续函数的性质。 (2)理解多元函数的偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解 全微分形式不变性,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数,知道隐函数存在定理,会求多元隐函 数的偏导数,对方程组的情形,不要求使用行列式的公式法 (3)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线,并会求它们的方程 (4)知道方向导数和梯度的概念 (5)了解多元函数极值和条件极值的概念,会求二元函数的极值(最值)。会用拉格朗日乘数 法求条件极值,会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题 2.主要内容 (1)多元函数的概念,二元函数的几何意义,二元函数的极限与连续的概念,*有界闭区域上 多元连续函数的性质 (2)多元函数的偏导数和全微分,全微分存在的必要条件和充分条件,多元复合函数、隐函 数的求导法,二阶偏导数,*方向导数和梯度 (3)空间曲线的切线和法平面,曲面的切平面和法线。 (4)多元函数的极值和条件极值,多元函数的最大值、最小值及其简单应用。 3.教学方法:本章节是将原有的一元思维方式拓展到多元思维方式,思维上它是一个质的飞 跃,教师在教学中应注意 (1)注意比较、分析一元与多元函数微分学中概念、理论之间的相同与不同之处 327
— 327 — 公 共 课 (2) 平面方程、直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的 条件，点到平面的距离，*点到直线的距离。 (3) 曲面方程和空间曲线方程的概念，旋转曲面，柱面，*二次曲面。空间曲线的一般方程和 参数方程，空间曲线在坐标面上的投影线方程。 3. 教学方法： 三维向量空间是分析多元函数的基点，空间想像能力也是数学要培养的一种能力，从二维向 三维发展在思维上是一种飞跃，同时也是教与学上的难点。 (1) 三维空间向量学生在高中阶段已经有所接触，教学可采用自学与讲解相结合的方式，重 点讲学生没有接触过的内容，以期使学生了解整个向量空间的概况。 (2) 对曲面的教学可以采用多媒体直观教学，让学生对空间图形有具体的想象，对理解各种 曲面有帮助。 (3) 安排一次习题课，系统地复习整章的重点内容，处理作业和习题中的问题，归纳总结解 题技巧和方法。 4. 学习资料：B. . 吉米多维奇，高等数学习题精选精解。数学软件 Mathematica 在高等数 学中的运用。 5. 思考题：每节课后布置适当的作业，每单元可提供适当的复习题。 第九章 多元函数微分学（13 学时） 1. 教学要求： (1) 理解多元函数的概念及其几何意义，了解二元函数的极限与连续性的概念，知道有界闭 区域上二元连续函数的性质。 (2) 理解多元函数的偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解 全微分形式不变性，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，知道隐函数存在定理，会求多元隐函 数的偏导数，对方程组的情形，不要求使用行列式的公式法。 (3) 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。 (4) 知道方向导数和梯度的概念。 (5) 了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值（最值）。会用拉格朗日乘数 法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 2. 主要内容： (1) 多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续的概念，*有界闭区域上 多元连续函数的性质。 (2) 多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件，多元复合函数、隐函 数的求导法，二阶偏导数，*方向导数和梯度。 (3) 空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线。 (4) 多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用。 3. 教学方法：本章节是将原有的一元思维方式拓展到多元思维方式，思维上它是一个质的飞 跃，教师在教学中应注意： (1) 注意比较、分析一元与多元函数微分学中概念、理论之间的相同与不同之处
公共课 (2)复合函数求偏导数是本章中的难点,也是重点,可利用画变量之间关系图,帮助学生正 确求导,从而做到不重不漏。 (3)复合函数的高阶偏导数,以讲二阶为主,例题不宜过难、过繁 (4)拉格朗日乘数法是解决条件极值的有效方法,具有实际应用价值,应重点讲解 (5)安排一次习题课,系统地复习整章的重点内容,处理作业和习题中的问题,归纳总结解 题技巧和方法 4.学习资料:B.∏l吉米多维奇,高等数学习题精选精解。数学软件 Mathematica在高等数 学中的运用 5.思考题:每节课后布置适当的作业,每单元可提供适当的复习题 第十章重积分(14学时) 1.教学要求: (1)理解二重积分、三重积分的概念,了解二重积分、三重积分的性质,知道二重积分的中 值定理, (2)掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。 (3)会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标) (4)会用重积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、质量、质心、 形心等)。 2.主要内容: 二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用 3.教学方法:本章节的重点与难点在于化二重积分为二次积分,三重积分化为三次积分 (1)注意比较定积分与重积分的概念和性质,清楚积分区域与化多次积分的关系。图示直观 教学是化重积分为多次积分的关键 (2)用极坐标计算二重积分是难点,积分区域用极坐标表示是关键 (3)安排一次习题课,系统地复习整章的重点内容,处理作业和习题中的问题,归纳总结解 题技巧和方法。 4.学习资料:B.∏吉米多维奇,高等数学习题精选精解。数学软件 Mathematica在高等数 学中的运用。 5.思考题:每节课后布置适当的作业,每单元可提供适当的复习题。 第十一章曲线积分与曲面积分(14学时) 1.教学要求 (1)理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质,知道两类曲线积分的关系,会计 算两类曲线积分。 (2)了解平面曲线积分与路径无关的条件,会求二元函数全微分的原函数,重点掌握使用格 林公式计算对坐标的曲线积分的方法。 (3)了解两类曲面积分的概念和性质,知道两类曲面积分的关系,会计算两类曲面积分。 (4)重点掌握使用高斯公式计算对坐标的曲面积分的方法。 主要内容 328
— 328 — 公 共 课 (2) 复合函数求偏导数是本章中的难点，也是重点，可利用画变量之间关系图，帮助学生正 确求导，从而做到不重不漏。 (3) 复合函数的高阶偏导数，以讲二阶为主，例题不宜过难、过繁。 (4) 拉格朗日乘数法是解决条件极值的有效方法，具有实际应用价值，应重点讲解。 (5) 安排一次习题课，系统地复习整章的重点内容，处理作业和习题中的问题，归纳总结解 题技巧和方法。 4. 学习资料：B. . 吉米多维奇，高等数学习题精选精解。数学软件 Mathematica 在高等数 学中的运用。 5. 思考题：每节课后布置适当的作业，每单元可提供适当的复习题。 第十章 重积分（14 学时） 1. 教学要求： (1) 理解二重积分、三重积分的概念，了解二重积分、三重积分的性质，知道二重积分的中 值定理。 (2) 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 (3) 会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标）。 (4) 会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、质量、质心、 形心等）。 2. 主要内容： 二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用。 3. 教学方法：本章节的重点与难点在于化二重积分为二次积分，三重积分化为三次积分。 (1) 注意比较定积分与重积分的概念和性质，清楚积分区域与化多次积分的关系。图示直观 教学是化重积分为多次积分的关键。 (2) 用极坐标计算二重积分是难点，积分区域用极坐标表示是关键。 (3) 安排一次习题课，系统地复习整章的重点内容，处理作业和习题中的问题，归纳总结解 题技巧和方法。 4. 学习资料：B. . 吉米多维奇，高等数学习题精选精解。数学软件 Mathematica 在高等数 学中的运用。 5. 思考题：每节课后布置适当的作业，每单元可提供适当的复习题。 第十一章 曲线积分与曲面积分（14 学时） 1. 教学要求： (1) 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质，知道两类曲线积分的关系，会计 算两类曲线积分。 (2) 了解平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数，重点掌握使用格 林公式计算对坐标的曲线积分的方法。 (3) 了解两类曲面积分的概念和性质，知道两类曲面积分的关系，会计算两类曲面积分。 (4) 重点掌握使用高斯公式计算对坐标的曲面积分的方法。 2. 主要内容：
公共课 (1)两类曲线积分的概念、性质及计算,*两类曲线积分的关系,格林(Gren)公式,平面曲 线积分与路径无关的条件,二元函数全微分的原函数 (2)两类曲面积分的概念、性质及计算,*两类曲面积分的关系,高斯( Gauss)公式 3.教学方法: (1)本章的重点是两类四种积分的概念、格林公式和高斯公式。在教学中要通过实例引导学 生理解不同类型积分的来历和物理意乂,让学生掌握每一种积分的计算方法,特别是使用格林公 式、高斯公式计算对坐标的曲线积分、曲面积分 (2)本章的难点是对坐标的曲面积分概念及其计算,教师可以通过多媒体手段突破这一难点 对这一难点不作过高的要求,仅要求学生会算常规的、简单的曲面积分 (3)不要求学生掌握两类曲线积分的关系和两类曲面积分的关系,当然使用这一转化关系计 算线面积分的方法不要求掌握 (4)安排一次习题课,系统地复习整章的重点内容,处理作业和习题中的问题,归纳总结解 题技巧和方法。 4.学习资料:B.∏吉米多维奇,高等数学习题精选精解。数学软件 Mathematica在高等数 学中的运用。 5.思考题:每节课后布置适当的作业,每单元提供单元复习题 第十二章无穷级数(12学时) 1.教学要求: (1)理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必 要条件,掌握几何级数与p-级数的收敛与发散的条件。 (2)掌握正项级数收敛性的比较审敛法和比值审敛法,会用根值审敛法 (4)了解交错级数的莱布尼兹审敛法。 (3)了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系 (4)知道函数项级数的收敛域及和函数的概念,理解幂级数的收敛半径和收敛区间的概念, 并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法 (5)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分),会求 些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和 (6)掌握,,ex,sinx,cosx,ln(1+x)等常见函数的麦克劳林( Maclaurin)展开式,会用它 们将一些简单函数间接展开为幂级数 2.主要内容: (1)常数项级数的收敛与发散的概念,收敛级数的和的概念,级数的基本性质与收敛的必要 条件,几何级数与p-级数及其收敛性。 (2)正项级数收敛性的判别法,交错级数与莱布尼茨定理,任意项级数的绝对收敛与条件收 (3)函数项级数的收敛域与和函数的概念,幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和 收敛域,幂级数的和函数,幂级数在其收敛区间内的基本性质,简单幂级数和函数的求法,常见
— 329 — 公 共 课 (1) 两类曲线积分的概念、性质及计算，*两类曲线积分的关系，格林（Green）公式，平面曲 线积分与路径无关的条件，二元函数全微分的原函数。 (2) 两类曲面积分的概念、性质及计算，*两类曲面积分的关系，高斯（Gauss）公式。 3. 教学方法： (1) 本章的重点是两类四种积分的概念、格林公式和高斯公式。在教学中要通过实例引导学 生理解不同类型积分的来历和物理意义，让学生掌握每一种积分的计算方法，特别是使用格林公 式、高斯公式计算对坐标的曲线积分、曲面积分。 (2) 本章的难点是对坐标的曲面积分概念及其计算，教师可以通过多媒体手段突破这一难点。 对这一难点不作过高的要求，仅要求学生会算常规的、简单的曲面积分。 (3) 不要求学生掌握两类曲线积分的关系和两类曲面积分的关系，当然使用这一转化关系计 算线面积分的方法不要求掌握。 (4) 安排一次习题课，系统地复习整章的重点内容，处理作业和习题中的问题，归纳总结解 题技巧和方法。 4. 学习资料：B. . 吉米多维奇，高等数学习题精选精解。数学软件 Mathematica 在高等数 学中的运用。 5. 思考题：每节课后布置适当的作业，每单元提供单元复习题。 第十二章 无穷级数（12 学时） 1. 教学要求： (1) 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必 要条件，掌握几何级数与 p-级数的收敛与发散的条件。 (2) 掌握正项级数收敛性的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法。 (4) 了解交错级数的莱布尼兹审敛法。 (3) 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 (4) 知道函数项级数的收敛域及和函数的概念，理解幂级数的收敛半径和收敛区间的概念， 并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法， (5) 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求 一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 (6) 掌握 1 , , sin , cos , ln(1 ) 1 x e x x x x 等常见函数的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它 们将一些简单函数间接展开为幂级数。 2. 主要内容： (1) 常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要 条件，几何级数与 p-级数及其收敛性。 (2) 正项级数收敛性的判别法，交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的绝对收敛与条件收 敛。 (3) 函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和 收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数和函数的求法，常见
公共课 函数的幂级数展开式。 (4)函数展开成幂级数 3.教学方法 本章节的重难点是无穷级数敛散性的判断、幂级数求和以及函数的幂级数展开。 (1)注意强调级数收敛的必要条件,及其逆否命题 (2)在讲解几何级数、调和级数、p-级数的敛散性基础上,讲透比较、比值和根值审敛法的本 质,增强学生对级数敛散性的认识。 (3)幂级数求和是一个重点。几何级数的和∑x 01、(-1<x<1)是基本和式,教学中应 予以重视,对此式求导、求积分、变量代换等运算所得级数是常见的幂级数形式,有很多应用, 要让学生熟悉各种变形以及求和的方法。 (4)函数展开为幂级数是幂级数求和的逆过程,也是一个重点。要提醒学生注意其收敛区域, 对推导函数e,sinx,cosx,ln(1+x)麦克劳林展开式的过程,可以通过求幂级数和函数的方法回 避麦克劳林公式,简化过程。要求学生重点掌握利用常见函数的幂级数展开式的间接展开法,进 而可以求出某些数项级数的和 ◆。(5)安排一次习题课,系统地复习整章的重点内容,处理作业和习题中的问题,归纳总结解 技巧和方法 4.学习资料:B.∏l吉米多维奇,高等数学习题精选精解。无穷级数的发展史,无穷级数在 研究函数性质与数值逼近上的作用。数学软件 Mathematica在高等数学中的运用 思考题:每节课后布置适当的作业,每单元可提供适当的复习题。 说明 (1)该大纲对应全国硕士研究生入学考试数学一大纲,但由于课时限制,内容略少于数学一, 要求也低于数学一的要求。 (2)由于课时限制,加者和教学要求中冠以“知道”者为选讲内容,考试不考。 (3)根据当时学期长短可进行适当的调整教学内容。 附件1:理论课程(含有实验的理论课)教学大纲格式模板 330
— 330 — 公 共 课 函数的幂级数展开式。 (4) 函数展开成幂级数。 3. 教学方法： 本章节的重难点是无穷级数敛散性的判断、幂级数求和以及函数的幂级数展开。 (1) 注意强调级数收敛的必要条件，及其逆否命题。 (2) 在讲解几何级数、调和级数、p-级数的敛散性基础上，讲透比较、比值和根值审敛法的本 质，增强学生对级数敛散性的认识。 (3) 幂级数求和是一个重点。几何级数的和 0 1 ,( 1 1) 1 n n x x x 是基本和式，教学中应 予以重视，对此式求导、求积分、变量代换等运算所得级数是常见的幂级数形式，有很多应用， 要让学生熟悉各种变形以及求和的方法。 (4) 函数展开为幂级数是幂级数求和的逆过程，也是一个重点。要提醒学生注意其收敛区域， 对推导函数 , sin , cos , ln(1 ) x e x x x 麦克劳林展开式的过程，可以通过求幂级数和函数的方法回 避麦克劳林公式，简化过程。要求学生重点掌握利用常见函数的幂级数展开式的间接展开法，进 而可以求出某些数项级数的和。 (5) 安排一次习题课，系统地复习整章的重点内容，处理作业和习题中的问题，归纳总结解 题技巧和方法。 4. 学习资料：B. . 吉米多维奇，高等数学习题精选精解。无穷级数的发展史，无穷级数在 研究函数性质与数值逼近上的作用。数学软件 Mathematica 在高等数学中的运用。 5. 思考题：每节课后布置适当的作业，每单元可提供适当的复习题。 说明： (1) 该大纲对应全国硕士研究生入学考试数学一大纲，但由于课时限制，内容略少于数学一， 要求也低于数学一的要求。 (2) 由于课时限制，加*者和教学要求中冠以“知道”者为选讲内容，考试不考。 (3) 根据当时学期长短可进行适当的调整教学内容。 附件 1：理论课程（含有实验的理论课）教学大纲格式模板
《高等数学B1》课程教学大纲 (Advanced Mathematics) 大纲主撰人:郑德印大纲审核人:韩征 【课程代码】11024901041 【课程修习类型】必修 【开课学院】理学院 【适用专业】(应用)化学、生物科技、制药、环境科学、经济学、心理学、食品安全等专业 【学分数】4 【学时数】64(64、0;0) 【建议修读学期】第1学期 【先修课程】高中数学 、课程说明 1.课程介绍: 《高等数学B1》是面向杭州师范大学化学、生物、经济、金融、环境、管理、心理等专业的 本科生而开设的专业基础课,主要内容包括一元函数的极限与连续、导数与微分、不定积分与定 积分,是学习后续课程和进一步获取数学知识的数学基础,是大学工科、经济、金融、管理、环 境、心理各专业专业学习不可缺少的前置课程。在培养这些专业人才过程中起到了重要的基础性 作用。课程的主要任务是传授高等数学知识和方法,同时通过各个教学环节逐步培养学生的抽象 思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力以及综合运用所学知识和方法分 析问题和解决问题的能力 Advanced Mathematics Bl is a professional basic course which offered to undergraduate students major in chemistry, biology, economics, finance, environment, management and psychology in Hangzhou Normal University. The main contents include the limit and continuous of one variable function, derivative, differentiation, indefinite integral and definite integral. This course is an essential base for students to learn the follow-up courses and obtain further mathematical knowledge. It is also an indispensable prerequisite course in major of engineering, chemistry, biology, economics, finance environment, management and psychology, and plays an important fundamental role in the process of cultivating professional talents. The primary mission of this course is to impart advanced mathematics knowledge and methods, at the same time through each link of teaching, to train the students'abilities of abstract thinking, logical reasoning, graphic thinking, operational capability, self-study, as well as analyzing and solving problems through the comprehensive knowledge and methods 331
— 331 — 公 共 课 《高等数学 B1》课程教学大纲 （Advanced Mathematics） 大纲主撰人：郑德印 大纲审核人：韩征 【课程代码】11024901041 【课程修习类型】必修 【开课学院】理学院 【适用专业】（应用）化学、生物科技、制药、环境科学、经济学、心理学、食品安全等专业 【学分数】4 【学时数】64（64、0；0） 【建议修读学期】第 1 学期 【先修课程】高中数学 一、课程说明 1.课程介绍： 《高等数学 B1》是面向杭州师范大学化学、生物、经济、金融、环境、管理、心理等专业的 本科生而开设的专业基础课，主要内容包括一元函数的极限与连续、导数与微分、不定积分与定 积分，是学习后续课程和进一步获取数学知识的数学基础，是大学工科、经济、金融、管理、环 境、心理各专业专业学习不可缺少的前置课程。在培养这些专业人才过程中起到了重要的基础性 作用。课程的主要任务是传授高等数学知识和方法，同时通过各个教学环节逐步培养学生的抽象 思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力以及综合运用所学知识和方法分 析问题和解决问题的能力。 Advanced Mathematics B1 is a professional basic course which offered to undergraduate students major in chemistry，biology，economics，finance，environment，management and psychology in Hangzhou Normal University. The main contents include the limit and continuous of one variable function，derivative，differentiation，indefinite integral and definite integral. This course is an essential base for students to learn the follow-up courses and obtain further mathematical knowledge. It is also an indispensable prerequisite course in major of engineering，chemistry，biology，economics，finance， environment，management and psychology，and plays an important fundamental role in the process of cultivating professional talents. The primary mission of this course is to impart advanced mathematics knowledge and methods，at the same time，through each link of teaching，to train the students’ abilities of abstract thinking，logical reasoning，graphic thinking，operational capability，self-study，as well as analyzing and solving problems through the comprehensive knowledge and methods