3.乘幂ab与幂函数在高等数学中,如果a为正 数,b为实数,则乘幂ab可表示为ab=ehm,现在 将它推广到复数的情形.设a为不等于0的一个 复数,b为任意一个复数,定义乘幂ab为ebm, 6-ebLn a (2.39) 由于Lna=lna+i(arga+2kπ)是多值的,因而ab 也是多值的.当b为整数时,由于 bLna-eblInlalti(arg a+2kT) eb(nlatiarg a)+2kbii-eblna 所以这时ab具有单一的值
11 3. 乘幂a b与幂函数 在高等数学中, 如果a为正 数, b为实数, 则乘幂a b可表示为a b=eblna , 现在 将它推广到复数的情形. 设a为不等于0的一个 复数, b为任意一个复数, 定义乘幂a b为e bLna , 即 a b=ebLn a (2.3.9) 由于Ln a=ln|a|+i(arg a+2kp)是多值的, 因而a b 也是多值的. 当b为整数时, 由于 a b=ebLna=eb[ln|a|+i(arg a+2kp)] =eb(ln|a|+iarg a)+2kbpi=eblna , 所以这时a b具有单一的值
当b=P/q(p和q为互质的整数,q>0)时,由于 Inlal+i(arg a+2kr) e e9 [cos(arg a+2k)+isin(arg a+2kn)], (2.3.10 ab具有q个值,即当k=0,1,、(-1)时相应的各个 值 除此而外,一般而论ab具有无穷多个值
12 当b=p/q(p和q为互质的整数, q>0)时, 由于 (2.3.10) e [cos (arg 2 ) sin (arg 2 )], e l n| | l n| | (arg 2 ) p p p a k q p a k i q p a a q p a k q p a i q p b = + + + = + + a b具有q个值, 即当k=0,1,...,(q−1)时相应的各个 值. 除此而外, 一般而论a b具有无穷多个值
例2求12和i的值 [解]1 √2√2Lnl2km√2 e e =cos(2kx√2)+isin(2kx√2) (k=0,±1,±2,…); i+kzi e +2kT ,(=0,+1,+2,…) 由此可见是正实数,它的主值是e2
13 2 2 2 2 L n 2 2 2 L n1 2 2 2 , e e ,( 0, 1, 2, ). e e ( 0, 1, 2, ); cos(2 2) sin( 2 2). [ ] 1 e e 2 1 . p p p p p p p p − − + + = = = = = = + = = 由此可见 是正实数 它的主值是 解 例 求 和 的值 i k i i k i i i i k i i i k i k k i k i
应当指出,定义ab=em,当b为正整数n及分 数时是与a的n次幂及a的n次根的定义是完 全一致的因为 i)当b为正整数n时,根据定义 nLna Lna+Lna+…+Lna e (指数n项) Lna lna e ●●● em因子n个) C a (因子n个)
14 . ( ) e e e ( ) e e ( ) ) , . 1 , e , L n L n L n L n L n L n L n L n 因子 个 因子 个 指数 项 当 为正整数 时 根据定义 全一致的因为 数 时是与 的 次幂及 的 次根的定义是完 应当指出 定义 当 为正整数 及分 a a a n n a n i b n a n a n n a b n a a a n n a a a a b b a = = = = = + + +