2对数函数对数函数定义为指数函数的反函 数.将满足方程 e=z (z≠0) 的函数w=/(z)称为对数函数令w=+iv,z=re, au+Iv=re e 所以=nr,. 因此W=2+irgz 由于Argz为多值函数,所以对数函数=(2)为 多值函数,并且每两个值相差2π-整数倍,记 作 Ln z=Inz+iArg z (236)
6 2.对数函数 对数函数定义为指数函数的反函 数. 将满足方程 e w=z (z0) 的函数w=f(z)称为对数函数. 令w=u+iv, z=re iq , 则 e u+iv=re iq , 所以 u=ln r, v=q. 因此 w=ln|z|+iArg z 由于Arg z为多值函数, 所以对数函数w=f(z)为 多值函数, 并且每两个值相差2pi的整数倍,记 作 Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)
Ln z=Inz+iarg z (236) 如果规定上式中的Argz取主值argz,则Lnz为 单值函数,记作nz,称为Lnz的主值,因此 In z=Inzltiarg z (23.7) 而其余各值可由 Lnz-ln2+2kπi(k=±1,+2,)(2.38) 表达对于每一个固定的k,(2.38)式为一单值 函数,称为Lnz的一个分支 特别,当z=x>0时,Lnz的主值lnz-lnx,就是实 变数对数函数
7 Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6) 如果规定上式中的Arg z取主值arg z, 则Ln z为 一单值函数, 记作ln z, 称为Ln z的主值, 因此 ln z = ln|z|+iarg z (2.3.7) 而其余各值可由 Ln z=ln z+2kpi (k=1,2,...) (2.3.8) 表达. 对于每一个固定的k, (2.3.8)式为一单值 函数, 称为Ln z的一个分支. 特别, 当z=x>0时, Ln z的主值ln z=ln x, 就是实 变数对数函数
例1求Ln2,Ln(-1)以及它们相应的主值 解]因为Ln2-1n2+2kπ,所以它的主值就是 ln2.而Ln(-1)=n1+irg(-1)=(2k+1)i(k为整 数),所以它的主值是ln(-1)=πi 在实变函数中,负数无对数,此例说明在复数 范围内不再成立.而且正实数的对数也是无穷 多值的.因此,复变数对数函数是实变数对数 函数的拓广.利用幅角的性质不难证明: Ln(z,2)=Ln z,+Ln z2 L n -l= Ln zLn
8 例1 求Ln 2, Ln(−1)以及它们相应的主值. [解] 因为Ln 2=ln 2+2kpi, 所以它的主值就是 ln2. 而Ln(−1)=ln 1+iArg(−1)=(2k+1)pi(k为整 数), 所以它的主值是ln(−1)=pi. 在实变函数中, 负数无对数, 此例说明在复数 范围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷 多值的. 因此, 复变数对数函数是实变数对数 函数的拓广. 利用幅角的性质不难证明: 1 2 2 1 1 2 1 2 Ln Ln Ln Ln( ) Ln Ln z z z z z z z z = − = +
对数函数的解析性就主值lz而言,其中lnz 除原点外在其它点都是连续的,而argz在原点 与负实轴上都不连续因为若设z=xy,则当 <0时, lim arg z=-丌, lim arg z=兀 >0 y→ y->0 所以,除去原点与负实轴,在复平面内其它点 lnz处处连续.综上所述,z=e在区域 丌<argx<π内的反函数w=hnz是单值的,由 反函数求导法则可知:dhz11 d de d
9 对数函数的解析性. 就主值ln z而言, 其中ln|z| 除原点外在其它点都是连续的, 而arg z在原点 与负实轴上都不连续. 因为若设z=x+iy, 则当 z<0时, lim arg , lim arg π . 0 0 = − = → − → + z z y y p z w z z w 1 d de 1 d d ln = = 所以, 除去原点与负实轴, 在复平面内其它点 ln z处处连续. 综上所述, z=ew在区域 −p<v=arg z<p内的反函数w=ln z是单值的, 由 反函数求导法则可知:
所以,血nz在除去原点及负实轴的平面内解析 由(2.3.8)式就可知道,Lnz的各个分支在除去 原点及负实轴的平面内也解析,并且有相同的 导数值 今后我们应用对数函数Lnz时,指的都是它在 除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支
10 所以, ln z在除去原点及负实轴的平面内解析. 由(2.3.8)式就可知道, Ln z的各个分支在除去 原点及负实轴的平面内也解析, 并且有相同的 导数值. 今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在 除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支