《现代控制理论》课程资源（教学讲义）第一章 系统描述

《现代控制理论基础》第一章(讲义) 第一章系统描述 1.1引言 个复杂系统可能有多个输入和多个输出,并且以某种方式相互关联或耦合。为了分析 这样的系统,必须简化其数学表达式,转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计 算。从这个观点来看,状态空间法对于系统分析是最适宜的 经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的,而现代控制理 论以n个一阶微方程来描述系统,这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。应 用向量矩阵表示方法,可极大地简化系统的数学表达式。状态变量、输入或输出数目的增 多并不增加方程的复杂性。事实上,分析复杂的多输入-多输出系统,仅比分析用一阶纯量 微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些 本文将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述、分析与设计。本章将首先给出状态空 间方法的描述部分。将以单输入单输出系统为例,给出包括适用于多输入多输出或多变量系 统在内的状态空间表达式的一般形式、线性多变量系统状态空间表达式的标准形式(相变量 对角线、 Jordan、能控与能观测)、传递函数矩阵,以及利用 MATLAB进行各种模型之间的 相互转换。第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法。第三章将绐岀几种主要的设计方法 本章1.1节为控制系统状态空间分析的引言。1.2节介绍传递函数的状态空间表达式, 并给出状态空间表达式的各种标准形。1.3节讨论用 MATLAB进行系统模型的转换(如从 传递函数变换为状态空间模型等) 1.2状态空间表达式 为获得传递函数的状态空间表达式,有多种方法。在《系统分析与控制》中曾介绍过几 种。本节将介绍状态空间的能控标准形、能观测标准形、对角线形与 Jordan标准形,在例 1.17~1.21中将讨论由传递函数获得这些状态空间表达式的方法。 1.2.1状态空间表达式的标准形式 考虑由下式定义的系统 y+a, y y+a,y=b bm-i+b, u (1.1) 式中u为输入,y为输出。该式也可写为 Y(s) bos"+b,s.+b-S+b 下面给出由式(1.1)或式(1.2)定义的系统状态空间表达式之能控标准形、能观测标 准形和对角线形(或 Jordan形)标准形

《现代控制理论基础》第一章(讲义) 1 第一章 系统描述 1.1 引言 一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合。为了分析 这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计 算。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。 经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理 论以 n 个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。应 用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。状态变量、输入或输出数目的增 多并不增加方程的复杂性。事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量 微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。 本文将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述、分析与设计。本章将首先给出状态空 间方法的描述部分。将以单输入单输出系统为例，给出包括适用于多输入多输出或多变量系 统在内的状态空间表达式的一般形式、线性多变量系统状态空间表达式的标准形式(相变量、 对角线、Jordan、能控与能观测)、传递函数矩阵，以及利用 MATLAB 进行各种模型之间的 相互转换。第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法。第三章将给出几种主要的设计方法。 本章 1.1 节为控制系统状态空间分析的引言。1.2 节介绍传递函数的状态空间表达式， 并给出状态空间表达式的各种标准形。1.3 节讨论用 MATLAB 进行系统模型的转换（如从 传递函数变换为状态空间模型等）。 1.2 状态空间表达式 为获得传递函数的状态空间表达式，有多种方法。在《系统分析与控制》中曾介绍过几 种。本节将介绍状态空间的能控标准形、能观测标准形、对角线形与 Jordan 标准形，在例 1.17~1.21 中将讨论由传递函数获得这些状态空间表达式的方法。 1.2.1 状态空间表达式的标准形式 考虑由下式定义的系统： (1.1) 1 ( 1) 1 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y a y a y a y b u b u bn u bnu n n n n o n n + + + + = + + + − + − − −     式中 u 为输入，y 为输出。该式也可写为 (1.2) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 1 n n n n n n n n s a s a s a b s b s b s b U s Y s + + + + + + + = − − −   － 下面给出由式（1.1）或式（1.2）定义的系统状态空间表达式之能控标准形、能观测标 准形和对角线形（或 Jordan 形）标准形

《现代控制理论基础》第一章(讲义) 1.2.1.1能控标准形 下列状态空间表达式为能控标准形: 0 0 0 0 0 [b-a, bo: b bou (14) 在讨论控制系统设计的极点配置方法时,这种能控制准形是非常重要的。从式(1.1) 或式(1.2)到式(1.3)和式(14)的推导,可见例1.17。 1212能观测标准形 下列状态空间表达式为能观测标准形: 0 0 b-a b (1 b-a,b 0 00…01 b (1.6) 注意,式(1.5)给出的状态方程中n×n维系统矩阵是式(13)所给出的相应矩阵的转置

《现代控制理论基础》第一章(讲义) 2 1.2.1.1 能控标准形 下列状态空间表达式为能控标准形： (1.3) 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 1 2 1 1 2 1 u x x x x x a a a a x x x n n n n n n n                       • • • +                       • • •                       − − − − • • • • • • • • • • • • =                       • • • − − − −         [ ] (1.4) 0 2 1 1 1 1 1 b u x x x y b a b b a b b a b n n n o n n o o +                     • • • = −  − − −  − 在讨论控制系统设计的极点配置方法时，这种能控制准形是非常重要的。从式（1.1） 或式（1.2）到式（1.3）和式（1.4）的推导，可见例 1.17。 1.2.1.2 能观测标准形 下列状态空间表达式为能观测标准形： [0 0 0 1] (1.6) (1.5) 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 b u x x x x y u b a b b a b b a b x x x a a a x x x o n n o n n o n n o n n n n +                       • • • =             − − − +                     • • •                     − • • • • • • • • • • • • − − =                     • • • − − − −         注意，式（1.5）给出的状态方程中 n×n 维系统矩阵是式（1.3）所给出的相应矩阵的转置

《现代控制理论基础》第一章(讲义) 1213对角线标准形 参考由式(1.2)定义的传递函数。这里,考虑分母多项式中只含相异根的情况。对此, 式(1.2)可写成: Y(s)b。s"+b1s"-+…+bn-S+bn (1.7) U(s) (S+Pus+ p2)-(S+Pn,) =6 S+p, S+ p2 Stp. 该系统的状态空间表达式的对角线标准形由下式确定: PI P (1.8) P x2 y=[c1c2…cn b u 1.2.1.4 Jordan标准形 下面考虑式(1.2)的分母多项式中含有重根的情况。对此,必须将前面的对角线标准形 修改为 Jordan标准形。例如,假设除了前3个P;即P=P2=P3相等外,其余极点P 相异。于是,Y(s)/U(s)因式分解后为 Y(s bos"+b U(s)(S+P)(S+ P)s+ Ps)-(S+Pu) 该式的部分分式展开式为 Y(szh+x1x+)(s+P)++…+、S (s+P1)(s St pn 该系统状态空间表达式的 Jordan标准形由下式确定

《现代控制理论基础》第一章(讲义) 3 p1 ＝p2 = p3 i p 1.2.1.3 对角线标准形 参考由式（1.2）定义的传递函数。这里，考虑分母多项式中只含相异根的情况。对此， 式（1.2）可写成： (1.7) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 n n n n n o s p s p s p b s b s b s b U s Y s + + + + + + + = − −   n n o s p c s p c s p c b + + + + + + = +  2 2 1 1 该系统的状态空间表达式的对角线标准形由下式确定： [ ] (1.9) (1.8) 1 1 1 0 0 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 b u x x x y c c c u x x x p p p x x x o n n n n n +                     • • • =                     • • • +                     • • •                     − • • • − − =                     • • •     1.2.1.4 Jordan 标准形 下面考虑式（1.2）的分母多项式中含有重根的情况。对此，必须将前面的对角线标准形 修改为 Jordan 标准形。例如，假设除了前 3 个 即 相 等 外 ， 其 余 极 点 相异。于是，Y（s）/U(s)因式分解后为： ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4 5 3 1 1 1 0 1 n n n n n s p s p s p s p b s b s b s b U s Y s + + + + + + + + = − −   该式的部分分式展开式为 n n s p c s p c s p c s p c s p c b U s Y s + + + + + + + + + + = +  4 4 2 1 2 3 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 该系统状态空间表达式的 Jordan 标准形由下式确定： i p

《现代控制理论基础》第一章(讲义) PI 0 pI 0 -PI 0 (1.10) y=lec2…cnl b [例1.1考虑由下式确定的系统: S U(s) 试求其状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线标准形。 解:能控标准形为 y(1)=[3 能观测标准形为: u() x x( (t)=[01 x2(D) 对角线标准形为: 101x1() x2()[0-21x2(O) x2(D)

《现代控制理论基础》第一章(讲义) 4 [ ] (1.11) (1.10) 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2 1 1 2 4 3 2 1 4 1 1 1 4 3 2 1 b u x x x y c c c x x x x x p p p p p x x x x x o n n n n n +                     • • • =                           • • • +                           • • •                           − • • • • • • • • • − − − − =                           • • •             [例 1.1] 考虑由下式确定的系统： 3 2 3 ( ) ( ) 2 + + + = s s s U s Y s 试求其状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线标准形。 解： 能控标准形为：       =       +            − − =      ( ) ( ) ( ) [3 1] ( ) 1 0 ( ) ( ) 2 3 0 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 x t x t y t u t x t x t x t x t   能观测标准形为：       =       +            − − =      ( ) ( ) ( ) [0 1] ( ) 1 3 ( ) ( ) 1 3 0 2 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 x t x t y t u t x t x t x t x t   对角线标准形为：       = −       +            − − =      ( ) ( ) ( ) [2 1] ( ) 1 1 ( ) ( ) 0 2 1 0 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 x t x t y t u t x t x t x t x t  

《现代控制理论基础》第一章(讲义) 1.22n×n维系统矩阵A的特征值 n×n维系统矩阵A的特征值是下列特征方程的根: a-A=0 这些特征值也为称特征根 例如,考虑下列矩阵A: 0 0 6-11 特征方程为 11-AEJ0 11 3+622+112+6 (2+1)(2+2)(+3)=0 这里A的特征值就是特征方程的根,即一1、-2和-3 1.2.3n×n维系统矩阵的对角线化 如果一个具有相异特征值的n×n维矩阵A由下式给出: 0 0 A (1.12) 作如下非奇异线性变换x=Pz,其中 A12 P

《现代控制理论基础》第一章(讲义) 5 1.2.2 n×n 维系统矩阵 A 的特征值 n×n 维系统矩阵 A 的特征值是下列特征方程的根： | I − A |= 0 这些特征值也为称特征根。 例如，考虑下列矩阵 A：           − − − = 6 11 6 0 0 1 0 1 0 A 特征方程为： ( 1)( 2)( 3) 0 6 11 6 6 11 6 0 1 1 0 | 3 2 = + + + = = + + + + − − − =           I A 这里 A 的特征值就是特征方程的根，即－1、－2 和－3。 1.2.3 n×n 维系统矩阵的对角线化 如果一个具有相异特征值的 n×n 维矩阵 A 由下式给出： (1.12) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1                       − − − − • • • • • • • • • • • • = a a − a − a A n n n     作如下非奇异线性变换 x = P z，其中                     • • • • • • • • • = − −1 −1 2 1 1 1 2 1 1 1 n n n n n P         