f(o +0)=inf f(x) 问题2试述判别imf(x)不存在的各种方法 答(1)按定义验证:VA,证明lf(x)≠A,即 δ),使得 f(x)-A|≥ (2)利用归结原则 (i) Ex, lim →mf(x)不存在 imf(xn)不存在 汁→0 (i)彐两个数列{xn},x” mx=x,mx=x,→/()不存在(31) imf(x2)≠limf(xn) (3)利用函数极限的柯西准则的否定形式 3E>0,V6>0,3x,x0<x 6 imf(x)不存在台 δ,使得f(x)-f(x §4两个重要的极限 问题1为何不能直接利用不等式 n+1/ 其中令n,由=(1+)-得到m() 答不等式的两边是数列1+ +1)和计+刀,而中间项是函数N这就不能利用函
( ) 0 0 ( 0) inf x U x f x + + = f (x) . 问题 2 试述判别 lim ( ) 0 f x x→x 不存在的各种方法. 答 （1）按定义验证： A ，证明 lim ( ) 0 f x x→x ≠A，即 lim ( ) 0 f x x→x ≠A 0 0 ， 0 ， ( ; ) x U x0 ，使得 | f (x ) − A| ≥ 0 . （2）利用归结原则： （i） n x ， 0 lim x x n n = → ， lim ( ) 0 f x x→x 不存在 lim ( ) n n f x → 不存在 （ii） 两个数列 xn ，xn 0 lim x x n n = → ， 0 lim x x n n = → ， lim ( ) 0 f x x→x 不存在. （3.11） lim ( ) lim ( ) n n n n f x f x → → （3）利用函数极限的柯西准则的否定形式： 0 0, 0,x , x ,0 x − x0 lim ( ) 0 f x x→x 不存在 0 x − x0 ，使得 f (x ) − f (x ) ≥ 0 §4 两个重要的极限 问题 1 为何不能直接利用不等式 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + n x n n x n （n≤x<n+1）， 其中令 n→∞，由 e n n n = + + → 1 1 lim 1 得到 e x x x = + →+ 1 lim 1 ？ 答 不等式的两边是数列 n n + + 1 1 1 和 1 1 1 + + n n ，而中间项是函数 x x + 1 1 ，这就不能利用函
数极限的迫敛性来证明lm1+ 为此需要定义两个阶梯函数: f(x)=/1+、1 n+1),n≤x<qn+1, N n≤x<n+1 其中∫(x)递增有上界,g(x)递减有下界,lim∫(x)=img(x)=e.于是由 f(x)=11+|<g(x) 令x→∞,根据函数极限的迫敛性,证得 注若不用迫敛性,也可用E一N与e-M的方法由lm1+ e证得 这证明就留给读者 §5无穷小量与无穷大量 问题1在本节教材例2中求极限 tanx-sn x sIn 时,为何用等价无穷小量代换 x,tanx~x会引出错误的结果? 答由定理32可知,在求极限时,只有对极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来 替代.而在极限式的和、差运算中的应用等价无穷小量代换时,经常会丢失高阶无穷小量,而引起 错误的结果 今后在微分学中由泰勒公式可知 x2+o(x3) SInx=x o(x3) 这里o(x3)是比x3高阶的无穷小量,于是
数极限的迫敛性来证明 e x x x = + →+ 1 lim 1 . 为此需要定义两个阶梯函数： n n f x + = + 1 1 ( ) 1 ，n≤x<n+1， n N+ 1 1 ( ) 1 + = + n n g x ，n≤x<n+1， 其中 f (x) 递增有上界， g(x) 递减有下界， f x g x e x x = = →+ →+ lim ( ) lim ( ) . 于是由 ( ) 1 ( ) 1 g x x f x x = + ， 令 x→∞，根据函数极限的迫敛性，证得 e x x x = + →+ 1 lim 1 . 注 若不用迫敛性，也可用ε—N 与ε—M 的方法由 = + + → 1 1 lim 1 n x n e n n x = + + → 1 1 lim 1 证得 e x x x = + →+ 1 lim 1 ，这证明就留给读者. §5 无穷小量与无穷大量 问题 1 在本节教材例 2 中求极限 3 0 sin tan sin lim x x x x − → 时，为何用等价无穷小量代换 sin x ~ x ， tan x ~ x 会引出错误的结果？ 答 由定理 3.12 可知，在求极限时，只有对极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来 替代. 而在极限式的和、差运算中的应用等价无穷小量代换时，经常会丢失高阶无穷小量，而引起 错误的结果. 今后在微分学中由泰勒公式可知 ( ) 3 1 tan 3 3 x = x + x + o x ， ( ) 6 1 sin 3 3 x = x − x + o x ， 这里 ( ) 3 o x 是比 3 x 高阶的无穷小量，于是
anx-sinx=-x+o(x), 若随意地在原式中用smx~x,tanx~x作代换,将会不合理地舍弃了高阶无穷小量x3,因 而导致错误的结论 问题2怎样给出当x→x0时的非无穷大量的正面陈述? 答若f(x)是当x→x0时的无穷大量,则其定义为 VG>0,38>0,Vx∈U°(x0;a)时,有f(x)G 若f(x)是当x→x时的非无穷大量,则其定义为 3G0>0,Vδ>0,3x'∈U(x0;),使得f(x)|≤G。 作为上述非无穷大量的正面陈述的应用,可以证明:若f(x)是U(x0)上当x→x0时的非无穷 大量,则存在常数G与各项互异的数列{xn},虽mxn=x,但f(xn)≤G0这是因为, 取δ=1,3x1∈U°(x;1),使f(x1)≤Go, 取2=m11-xx2∈U(x),使f(x2)≤G 取,=m(1|-xxx.),侧(x)≤G 意即对x→x时的非无穷大量f(x),存在趋向于x0的各项不相同的数列{xn},而{(xn)是有 界的 第四章函数的连续性 §1连续性概念 问题1设函数∫在某邻域U(x)内有定义,若对一列数En=(n=12,…),存在n>0, 当x-x。<6时,(x)-f(x)<En,试问是否能断定f(x)在点x连续? 答在这种情况下,可以断定f(x)在点x0处连续,这是因为
( ) 2 1 tan sin 3 3 x − x = x + o x ， 若随意地在原式中用 sin x ~ x ， tan x ~ x 作代换，将会不合理地舍弃了高阶无穷小量 3 2 1 x ，因 而导致错误的结论. 问题 2 怎样给出当 0 x → x 时的非无穷大量的正面陈述？ 答 若 f (x) 是当 0 x → x 时的无穷大量，则其定义为 0, 0, ( ; ) G xU x0 时，有| f (x) |>G. 若 f (x) 是当 0 x → x 时的非无穷大量，则其定义为 0, 0, ( ; ) G0 x U x0 ，使得| f (x ) |≤ G0 . 作为上述非无穷大量的正面陈述的应用，可以证明：若 f (x) 是 ( ) 0 U x 上当 0 x → x 时的非无穷 大量，则存在常数 G0 与各项互异的数列 xn ，虽 0 lim x x n n = → ，但| ( ) n f x |≤ G0 .这是因为， 取 1, ( ; ) 1 1 0 1 = x U x ，使| ( )1 f x |≤ G0 ， 取 , , ( ; ) 2 1 2 min 1 0 2 0 2 x x x U x = − ，使| ( ) 2 f x |≤ G0 ， ………… 取 , , ( ; ) 1 n min n 1 0 n 0 n x x x U x n = − − ，使| ( ) n f x |≤ G0 ， ………… 意即对 0 x → x 时的非无穷大量 f (x) ，存在趋向于 0 x 的各项不相同的数列 xn ，而 f (xn ) 是有 界的. 第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 问题 1 设函数 f 在某邻域 U（ 0 x ）内有定义，若对一列数 ( 1,2, ) 2 1 n = n n = ，存在 n 0 ， 当 n x − x0 时， n f (x) − f (x ) 0 ，试问是否能断定 f (x) 在点 0 x 连续？ 答 在这种情况下，可以断定 f (x) 在点 0 x 处连续，这是因为：
VE>0,丑N,n≥N时,l <E 对2,36,>0,当-对<6,(-x52x 于是 vE>0,36(=6)>0,当x-x<6时,f(x)-f(x0)<E 注上面先由E找到N,再由N找到δ的方法,其中N是起了中间桥梁作用,读者应当注意这 种分析技巧.条件中可以用一列En代替En。>0, lim a=0 问题2若f(x)在某个邻域U(x。)内有定义,如何给出f(x)在点x。不连续的正面陈述? 答若f(x)在点x0处不连续,则mf(x)不存在,或者mf(x)存在但不等于f(x).其正面 陈述分别为: imf(x)不存在彐E0>0,6>0,丑x,x'∈U°(x0;0),使得 f(x')-f(x")≥E (1.1) imf(x)≠f(x0)分丑E0>0,Vδ>0,3x'∈U°(x0;a),使得 f(x)-f(x)≥Eo 例如狄利克雷函数 1,x为有理数 D(x) 0,x为无理数 yxo∈R,imD(x)不存在,于是在任意点x为0,1和(0,1)内无理数时,黎曼函数在这些点 处连续;而当x为(0,1)中有理数时,imR(x)≠R(x0),即(0,1)中有理点是黎曼函数的不 x→x0 连续点.这也可直接用(1.2)验证如下 P V>0,取U°(x0δ)中无理点x f(x)-f(x0)=0-=6 于是由(1.2),R(x)在x=P处不连续
0， N, n≥N 时， n 2 1 ； 对 N 2 1 ， N 0 ，当 N N x x f x f x 2 1 , ( ) ( ) − 0 − 0 ； 于是 0, (= N ) 0 ，当 x − x0 时， ( ) − ( ) 0 f x f x . 注 上面先由ε找到 N，再由 N 找到 的方法，其中 N 是起了中间桥梁作用，读者应当注意这 种分析技巧. 条件中 n 2 1 可以用一列 n 代替 n >0，lim = 0 → n n . 问题 2 若 f (x) 在某个邻域 U（ 0 x ）内有定义，如何给出 f (x) 在点 0 x 不连续的正面陈述？ 答 若 f (x) 在点 0 x 处不连续，则 lim ( ) 0 f x x→x 不存在，或者 lim ( ) 0 f x x→x 存在但不等于 ( ) 0 f x . 其正面 陈述分别为： lim ( ) 0 f x x→x 不存在 0, 0, , ( ; ) 0 x x U x0 ，使得 f (x ) − f (x ) ≥ 0 ； （1.1） lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x → 0, 0, ( ; ) 0 x U x0 ，使得 ( ) ( ) 0 f x − f x ≥ 0 ； （1.2） 例如狄利克雷函数 1， x 为有理数， D（x）= 0， x 为无理数. , lim ( ) 0 0 x R D x x→x 不存在，于是在任意点 0 x 为 0，1 和（0，1）内无理数时，黎曼函数在这些点 处连续；而当 0 x 为（0，1）中有理数时， lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x → ，即（0，1）中有理点是黎曼函数的不 连续点. 这也可直接用（1.2）验证如下： 对 , 0 1 , 0 = 0 = q q p x ，取 ( ; ) U x0 中无理点 x ， 0 0 1 | ( ) − ( )|= 0 − = q f x f x 于是由（1.2），R（x）在 q p x0 = 处不连续
§2连续函数的性质 问题1若函数∫在开区间(ab)内一致连续,为何由此可推得f(a+0),f(b-0)存在? 答函数f在(ab)内的一致连续性是∫在(ab)内的整体性质,即 vE>0,36()>0,Vx,x"∈(ab),当x-x"1<δ时, f(r)-f(x'<E 特别当x,x"∈U°(a6)时,有x-x"1<6,于是亦有|(x)-f(x)<E而这就是函数∫当 x→a时存在极限的柯西准则条件,于是f(a+0)存在.同理f(b-0)也存在 这样就从函数∫在(a,b)内一致连续性推得了f(a+0),f(b-0)都存在 若定义[a,b]上的函数F(x) f(a+0) f(x),x∈(a,b) f(b-0)x=b, 则因imF(x)=lmf(x)=f(a+0)=F(a),imF(x)=imf(x)=f(b-0)=F(b),故F(x)为 [a,b]上的连续函数,即(a,b)内的一致连续函数∫可以延拓成[a,b]上的连续函数F.从而F(x)在 [a,b]上有界,在(a,b)内亦有界,而在(a,b)内F(x)=f(x),所以在(a,b)内一致连续的函数 必在(a,b)内有界 注函数极限的柯西准则是函数在某点邻域中满足的局部性质,但一致连续性是区间I上函数 的整体性质,应当注意两者的区别和联系 问题2试总结证明函数为一致连续的常用方法 答通常有以下一些方法: (1)按一致连续性定义验证 (2)若函数∫在区间上满足李普希茨条件,则∫必在该区间上一致连续(见本节习题14 (3)应用一致连续性定理 (4)设区间l的端点c∈l1,区间l2的左端点c∈l2,若函数∫在1,2上都一致连续,则∫在 =1∪l2上一致连续 (5)开区间(a1b)内的连续函数f(x)为一致连续的充要条件为f(a+0),f(b-0)都存在例 如,f(x)=5x为(0.1)内的一致连续函数,这是因为mx=1与m5x=sm都存在 问题3试给出区间I上的函数f(x)不一致连续的正面陈述 答函数f在区间I上不一致连续:360>0.V6>0,3x,x"∈1,满足x-x"1<6,但是 lf(x')-f(x")|≥E0
§2 连续函数的性质 问题 1 若函数 f 在开区间（a,b）内一致连续，为何由此可推得 f (a + 0)， f (b − 0) 存在？ 答 函数 f 在（a,b）内的一致连续性是 f 在（a,b）内的整体性质，即 0, ( ) 0,x , x (a,b) ，当 x − x 时， f (x ) − f (x ) < . 特别当 x ，x U (a; ) + 时，有 x − x ，于是亦有 f (x ) − f (x ) < .而这就是函数 f 当 → + x a 时存在极限的柯西准则条件，于是 f (a + 0) 存在.同理 f (b − 0) 也存在. 这样就从函数 f 在（a,b）内一致连续性推得了 f (a + 0)， f (b − 0) 都存在. 若定义[a,b]上的函数 F（x）： f (a + 0) x = a ， F(x) = f (x) ， x(a,b) ， f (b − 0) x = b ， 则因 lim F(x) lim f (x) f (a 0) F(a) x a x a = = + = → + → + ，lim F(x) lim f (x) f (b 0) F(b) x b x b = = − = → − → − ，故 F(x) 为 [a,b]上的连续函数，即（a,b）内的一致连续函数 f 可以延拓成[a,b]上的连续函数 F.从而 F(x) 在 [a,b]上有界，在（a,b）内亦有界，而在（a,b）内 F(x) = f (x) ，所以在（a,b）内一致连续的函数 必在（a,b）内有界. 注 函数极限的柯西准则是函数在某点邻域中满足的局部性质，但一致连续性是区间 I 上函数 的整体性质，应当注意两者的区别和联系. 问题 2 试总结证明函数为一致连续的常用方法. 答 通常有以下一些方法： （1）按一致连续性定义验证； （2）若函数 f 在区间上满足李普希茨条件，则 f 必在该区间上一致连续（见本节习题 14）； （3）应用一致连续性定理； （4）设区间 1 I 的端点 1 c I ，区间 2 I 的左端点 2 c I ，若函数 f 在 1 2 I , I 上都一致连续，则 f 在 1 2 I = I I 上一致连续. （5）开区间（a,b）内的连续函数 f (x) 为一致连续的充要条件为 f (a + 0)， f (b − 0) 都存在.例 如， x x f x sin ( ) = 为（0,1）内的一致连续函数，这是因为 1 sin lim 0 = → + x x x 与 sin1 sin lim 1 = → − x x x 都存在. 问题 3 试给出区间 I 上的函数 f (x) 不一致连续的正面陈述. 答 函数 f 在区间 I 上不一致连续： 0, 0,x , x I 0 ，满足 x − x ，但是 | f (x ) − f (x )| ≥ 0