§3初等函数的连续性 问题为什么说“初等函数是其定义区间上的连续函数”,而不叙述为“初等函数是定义域上的 连续函数”? 答这是因为初等函数的定义域中可能包含某些“孤立”的点例如,函数 f(x)=√x2-1+√1-x 是初等函数,其定义域为两点x0=±1,在这些点的空心邻域中函数没有定义,这里无法讨论极 限mf(x)但在更一般的意义下,用E-δ方式定义的连续性可以容纳孤立点作为连续点(教材下 册第100页) 第五章导数和微分 §1导数的概念 问题1若函数f(x)在点x0可导,试问f(x0)与(f(x0))′有何区别? 答f(x)与(f(xo))′的含义不同。f′(x0)是函数f在点x0的导数,而(f(x))′是常数 f(x0)的导数,即为零,例如对于f(x)=x2,有 f(3)=2xlx=3=6,(f(3))′=(9)=0 问题2设有分段函数 下面是求f+(1)和f-(1)的一种做法:先求导数 f(x)= 现将x=1代入上述的导数表达式,得到 试问这样做得是否正确?不对的话,应当如何求? 答:这做法不对的。分段函数f(x)在x=1处的左、右导数应当按定义求导如下 f"+(1)=lm(+△x)2-12 f"-(1)≈lm(3+Ax)2-1
§3 初等函数的连续性 问题 为什么说“初等函数是其定义区间上的连续函数”，而不叙述为“初等函数是定义域上的 连续函数”？ 答 这是因为初等函数的定义域中可能包含某些“孤立”的点.例如，函数 2 2 f (x) = x −1 + 1− x 是初等函数，其定义域为两点 x0 = 1 ，在这些点的空心邻域中函数没有定义，这里无法讨论极 限 lim ( ) 0 f x x→x .但在更一般的意义下，用 − 方式定义的连续性可以容纳孤立点作为连续点（教材下 册第 100 页）. 第五章 导数和微分 §1 导数的概念 问题 1 若函数 f（x）在点 x0 可导，试问 f′（x0）与（f（x0））′有何区别？ 答 f′（x0）与（f（x0））′的含义不同。f′（x0）是函数 fx 在点 x0 的导数，而（f（x0））′是常数 f（x0）的导数，即为零，例如对于 f（x）=x2 ，有 f′（3）=2x∣x=3=6，（f（3））′=（9）′=0 问题 2 设有分段函数 , 1, 2, 1 2 ( ) = + x x x x f x 下面是求 f′+（1）和 f′—（1）的一种做法：先求导数 2 , 1, 1, 1 ( ) = x x x f x 现将 x=1 代入上述的导数表达式，得到 f′（1）=2·1，f′—（1）=1 试问这样做得是否正确？不对的话，应当如何求？ 答：这做法不对的。分段函数 f（x）在 x=1 处的左、右导数应当按定义求导如下： f′+（1）= x x x + − → + 2 2 lim 0 (1 ) 1 = (2 ) lim 0 x x + + → =0 f′—（1）= x x x + − → + (3 ) 1 2 lim 0
Ax→0 于是f’(1)=2,但f’-(1)不存在。 注由以上结果得知此函数在ⅹ=1处不可导 问题3试问函数f(x)在x处不通常通有几种情形? 答(1)函数在这点不连续(例如在问题2中的例子) (2)函数在这点的左、右导数中至少有一个不存在,例如: 0,x≤0 ∫'-(0)=0,f+(0)不存在 (3)左、右导数都在但不相等,例如 f(x)=|x|,f′+(0)=1,f′-(0)=1 §2求导法则 问题1记号f′(g(x))与(f(g(x))′有何区别? 答函数f(g(x))是由函数y=f(u)用g(x)代入后所得的结果,即 (g(x)=f′(u)laea 而(f(g(x)))’是函数f(g(x))=f′(g(x))·g′(x), 因而不能混淆 问题2设f(x)=(x)+中(x),g(x)=ψ(x)若f(x)或g(x)在点x0处可导,则中 (x),中(x)中至少有一个在点x0可导,上述论断是否正确? 答:不正确,若函数中(x),ψ(x)在x处可导,由导数四则运算法则,f(x)=(x)+ψ (x)与g(x)=(x)·ψ(x)在点x都可导。但反之不必然。例如,φ(x)=|x|,ψ(x) x|在x=0处可不导处,但f(x)=(x)+ψ(x)=0,在x=0处可导,g(x)=(x)·ψ(x) 1x||x|=x2在x=0处也可导 问题3设函数f(x)在邻域U(x)内可导,f′(x+0),f′(x0-0)为导函数在点x0的左、 右极限,试问是否成立。 +(x0+0),f′+(x0)是函数f在点x0的右导数,而f′(x0+0)是导函数f′(x)在点x0 处的右极限,即 ∫+(x)lmnf(x+△x)-f(x0) f(x0+0)=m,f(x) 以§1问题2中的函数 为例,它在u(1)中的导函数为 f(xidI 于是f(1+0)如+2x=2(=f+(1)
= ) 2 (1 lim 0 x x + + → =-∞， 于是 f′+(1)=2，但 f′—（1）不存在。 注由以上结果得知此函数在 x=1 处不可导。 问题 3 试问函数 f（x）在 x0 处不通常通有几种情形？ 答（1）函数在这点不连续（例如在问题 2 中的例子） （2）函数在这点的左、右导数中至少有一个不存在，例如： = − = + ( ) (0) 0, (0)不存在 , 0 1 sin 0,, 0, f x f f x x x x （3）左、右导数都在但不相等，例如： f（x）=∣x∣,f′+(0)=1,f′-(0)=-1 §2 求导法则 问题 1 记号 f′（g（x））与（f（g（x）））′有何区别？ 答 函数 f（g（x））是由函数 y=f（u）用 g（x）代入后所得的结果，即 f′（g（x））=f′（u）︱u=g(x) 而（f（g（x）））′是函数 f（g（x））=f′（g（x））·g′（x）， 因而不能混淆。 问题 2 设 f（x）=ф（x）+ψ（x），g（x）=ψ（x）若 f（x）或 g（x）在点 x0 处可导，则ф （x），ψ（x）中至少有一个在点 x0 可导，上述论断是否正确？ 答：不正确，若函数ф（x），ψ（x）在 x0 处可导，由导数四则运算法则，f（x）=ф（x）+ψ （x）与 g（x）=ф（x）·ψ（x）在点 x0 都可导。但反之不必然。例如，ф（x）=∣x∣，ψ（x）= —∣x∣在 x=0 处可不导处，但 f（x）=ф（x）+ψ（x）=0，在 x=0 处可导，g（x）=ф（x）·ψ（x） =-∣x∣∣x∣=x 2 在 x=0 处也可导。 问题 3 设函数 f（x）在邻域 U 0（x0）内可导，f′（x0+0），f′（x0-0）为导函数在点 x0 的左、 右极限，试问是否成立。 f′+（x0+0），f′+（x0）是函数 f 在点 x0 的右导数，而 f′（x0+0）是导函数 f′（x）在点 x0 处的右极限，即 , ( ) ( ) ( ) lim 0 0 x f x x f x f x o o x + − + = → + ( 0 0) ( ) lim 0 f x f x x x + = → + 以§1 问题 2 中的函数 , 1 2, 1 2 ( ) = + x x x x f x 为例，它在 u 0（1）中的导函数为 2 , 1 1, 1 ( ) x x x f x ， 于是 (1 0) 2 2( (1)), lim f + x→1+ x = = f +