问题2如何用e-N方法给出Iman≠a的正面陈述?并验证|n2|和|(-1)"|是发散数列 答lman≠a的正面陈述:彐c0>0,N∈N,丑n≥N,使得 ≥E0 数列{an}发散分Va∈R, lim a≠a (1)an=n2Ya,3n=,WN∈N,只要取n=maxl+1N},便可使n2-a|=≥n2-|al l+-1a|≥,于是{n2}为发散数列 (2)an=(-1).若a=1,E0=1,取m为任何奇数时,有|an-1=2>5o.若a=-1,彐E0=1, 取n为任何偶数时,有an-(-1)=2>E0·若a≠±1,E0=min{a+1a-1},对任何n∈N 有|an-a|≥E0·故|(-1)|为发散数列 §2收敛数列的性质 问题1数列{an}的子列{an}的下标n,是n在变动还是k在变动? 答子列{an}的下标n4是随着k变动的例如{ax}是由{an}中偶数项组成的子列,其中 n=2k.子列的下标n满足①n<n4n1;②n≥k.这是子列下标的两个基本性质 问题2如何从man≠a,推得存在E>0和{an}的子列{an},使得 Eo 答这是因为lma≠a,于是彐E。>0,VN>0,彐n》,使得 取N=1,3n11,使得|an-a≥E 取N=1,丑n1》1,使得|an-a|≥E0, 彐n>n4,使得|an-a|≥
问题 2 如何用ε-N 方法给出 an a n → lim 的正面陈述？并验证| 2 n |和| n (−1) |是发散数列. 答 an a n → lim 的正面陈述： 0 >0，N N+ ，n ≥N，使得 | an − a |≥ 0 数列{ n a }发散 a R ， an a n → lim . （1） an = n .a 2 ， 0 = 4 1 ，N N+ ，只要取 n = a + , N 2 1 max ，便可使 | | 2 n − a ≥ | | 2 n − a ≥ | | 2 1 2 a − a + ≥ 4 1 ，于是{ 2 n }为发散数列. （2） n an = (−1) . 若 a=1， 0 =1，取 n 为任何奇数时，有 | an −1|= 2 > 0 .若 a=-1， 0 =1， 取 n 为任何偶数时，有 | an − (−1)|= 2 > 0 . 若 a≠ 1， 0 = min{| 1|,| 1|} 2 1 a + a − ，对任何 n N+ ， 有| an − a |≥ 0 . 故| n (−1) |为发散数列. §2 收敛数列的性质 问题 1 数列{ n a }的子列{ nk a }的下标 k n ，是 n 在变动还是 k 在变动？ 答 子列{ nk a }的下标 k n 是随着 k 变动的. 例如{ k a2 }是由{ n a }中偶数项组成的子列，其中 k n =2k. 子列的下标 k n 满足① k n < nk +1 ；② k n ≥k. 这是子列下标的两个基本性质. 问题 2 如何从 an a n → lim ，推得存在 0 >0 和{ n a }的子列{ nk a }，使得 | nk a - a |≥ 0 ？ 答 这是因为 an a n → lim ，于是 0 >0，N >0，n >N，使得 | an - a |≥ 0 . 取 N=1， n1 >1，使得| n1 a - a |≥ 0 ， 取 N=1， n1 >1，使得| n2 a - a |≥ 0 ， ………… 取 N= nk −1， nk > nk −1 ，使得| nk a - a |≥ 0
这样就选出{an}的一个子列{an}满足 注这是由man≠a选出子列{an},使得|an-a|≥E0的方法.这种方法在以后类似的的问题 中将会多次遇到 §3数列极限存在的条件 问题1如何给出柯西收敛准则的否定形式的正面陈述 答柯西收敛准则的否定形式是 {an}发散3E6。>0,VN>0,3n0,mN,使|an1-an|≥E0·它的直观意义是:总存在正数 E0,不论N怎样大,总存在大于N的n,m,使得an与am之间的距离大于或等于 上述准则的一个重要应用是可以用它证明数列的发散性,例如a,=1++…+-为一发散数列. 这是因为:彐=1,vN,Bn,2m>N,使得 1≥n=1 这个结论在级数理论中将有重要的作用 问题2试对验证数列收敛和发散的一些充要条件或充分条件加以总结 答验证数列收敛的一些方法如下 (1)按定义验证: iman=a分VE>0,3N,hn洲N,有|a-a|<ε (2)用邻域形式验证: iman=a分VE>0,在U(a;ε)外最多只有数列{an}中有限项 (3)子列定理 iman=aevn}n},有lman= {a收敛∞v}{},有{an}收敛 (4)柯西准则 an|收敛分VE>0,彐,n,mN,有|an-a|<e (5)单调有界定理: 若{n}单调有界→{an}收敛
………… 这样就选出{ n a }的一个子列{ nk a }满足 | nk a - a |≥ 0 注 这是由 an a n → lim 选出子列{ nk a }，使得| nk a - a |≥ 0 的方法. 这种方法在以后类似的的问题 中将会多次遇到. §3 数列极限存在的条件 问题 1 如何给出柯西收敛准则的否定形式的正面陈述？ 答 柯西收敛准则的否定形式是： { n a }发散 0 >0，N >0，n0 ， m0 >N，使| n0 m0 a − a |≥ 0 .它的直观意义是：总存在正数 0 ，不论 N 怎样大，总存在大于 N 的 0 n ， m0 ，使得 n0 m0 a 与a 之间的距离大于或等于 0 . 上述准则的一个重要应用是可以用它证明数列的发散性,例如 n a =1+ 2 1 +…+ n 1 为一发散数列. 这是因为： 0 = 2 1 ，N ， n ，2n>N，使得 n n n ab a n 2 1 2 1 1 1 | | 2 + + + + + − = ≥ 2 1 2 = n n . 这个结论在级数理论中将有重要的作用. 问题 2 试对验证数列收敛和发散的一些充要条件或充分条件加以总结. 答 验证数列收敛的一些方法如下—— （1）按定义验证： = → an a n lim >0， N ，n >N，有| n a - a |<ε. （2）用邻域形式验证： = → an a n lim >0，在 U（a；ε）外最多只有数列{ n a }中有限项. （3）子列定理： n n n n a a a a k = → lim ，有 a a nk n = → lim . an an an k { }收敛 ，有{ nk a }收敛. （4）柯西准则： | |收敛 an >0， N ，n ，m>N，有| an − a |<ε. （5）单调有界定理： 若 an 单调有界 an 收敛
(6)迫敛性:若an≤c≤b,且 lim a =lim b=a,则imcn=a 验证数列发散的一些方法如下 (1)按极限定义的否定形式验证: an}发散台如a,lman≠a iman≠a台彐E0>0,HN, (2)用邻域形式验证: iman≠a分350>0,在U(aE0)外存在数列{an}中无限多项 (3)用子列验证: 若n}c{a,{n}发散→an}发散 若两个子列{}{},ma=a ai"ca,j a'≠a"→{n}发散 (4)用柯西准则否定形式验证: 发散e360)0,VN,3n,mN,{n一an|≥6 (5)若数列{n}无界→{an}发散 第三章函数极限 §1函数极限概念 问题1在函数极限的E-8定义中,怎样理解ε的“任意”和“给定”这两个性质? 答E-8方法是用“静态”的定量形式描述动态的极限过程.“对给定的ε>0,36()>0,当 0<x-x0|<8时,有f(x)-A|<ε”,形式上是一个“静态”的描述;当ε变动趋向于零时,一系 列“静态”描述就刻画了动态的极限过程.由此可见正数ε的“任意”和“给定”这两个特性在上 述过程中是相辅相成的 问题2试总结当f(x)为分式时,用e-8方法验证lmf(x)=A的具体步骤 答(1)简化分式∫(x)的形式:当分子分母有当x→x时的零化因子(x-x0)时,则应消去这
（6）迫敛性：若 n a ≤ n c ≤ n b ，且 n n a → lim = n n b → lim = a ，则 n n c → lim = a . 验证数列发散的一些方法如下—— （1）按极限定义的否定形式验证： an 发散 a ， n n a → lim ≠ a . n n a → lim ≠ a 0 >0，N ，n >N，| an − a |≥ 0 . （2）用邻域形式验证： n n a → lim ≠ a 0 >0，在 U（ 0 a; ）外存在数列 an 中无限多项. （3）用子列验证： 若 an an k ， nk a 发散 an 发散. 若 两个子列 an an k ， a a nk k = → lim ， an an k ， a a nk k = → lim ， a a an 发散. （4）用柯西准则否定形式验证： 0 发散 an >0，N ，n0 ， m0 >N， n0 m0 a − a ≥ 0 . (5)若数列 an 无界 an 发散. 第三章 函数极限 §1 函数极限概念 问题 1 在函数极限的ε-δ定义中，怎样理解ε的“任意”和“给定”这两个性质？ 答 ε-δ方法是用“静态”的定量形式描述动态的极限过程.“对给定的ε>0， ( ) >0，当 0<| 0 x − x |<δ时，有| f (x) − A |<ε”，形式上是一个“静态”的描述；当ε变动趋向于零时，一系 列“静态”描述就刻画了动态的极限过程. 由此可见正数ε的“任意”和“给定”这两个特性在上 述过程中是相辅相成的. 问题 2 试总结当 f (x) 为分式时，用ε-δ方法验证 f (x) A x x = → 0 lim 的具体步骤. 答 （1）简化分式 f (x) 的形式：当分子分母有当 0 x → x 时的零化因子 ( ) 0 x − x 时，则应消去这
些因子 (2)把|f(x)-A|化简为下述形式: f(x)-Al=lp(x)x-xoI (3)选取合适的n>0,当xeU°(xin)时,估算得|(x)≤M,即估计p(x)在U°(x;n) 内的上界 4)对任给c),求得=mM,当0x=x(B时,()-4K 问题3如何给出imf(x)≠A和imf(x)≠A的正面陈述? 答limf(x)≠A的正面陈述: 360)0,v6>0,丑x',0<x2-xo|<6,使得 (x)-4≥60 或者用邻域形式叙述为 存在E0>0,无论δ多么小,在点x0的空心邻域U(x0;δ)内总存在点x'’,使得f(x')gU(AE) imf(x)≠A的正面陈述: 彐E。>0,VM>0,彐x3>M,使得 J(x)-A≥ 或者:存在0>0,无论M多大,在U(+∞)={xx>M}中总存在点x,使得f(x1)eU(AEn) §2函数极限的性质 问题1区间(a,b)上的函数f(x)若在定义域中每点处局部有界,试问f(x)是否在 上有界?是否存在(a,b)上的函数f(x),它在定义域中任何点处都不是局部有界的? 答设函数f(x),x∈(a,b),x∈(a,b),若存在U(x),f(x)在U(x0)内有界,则称f(x)在 x。局部有界.函数的局部有界性是局部性概念,而函数在(a,b)上的有界性是整体性概念,两者 含义不同 (a,b)上的有界函数一定在(a,b)内每点局部有界;但在(a,b)内每点处局部有界的函 数不一定是有界函数.例如
些因子. （2）把| f (x) − A |化简为下述形式： | f (x) − A |= ( ) 0 x x − x . （3）选取合适的η>0，当 x U （ x0 ; ）时，估算得 (x) ≤M，即估计 (x) 在 U （ x0 ; ） 内的上界. （4）对任给ε>0，求得 = M min , ，当 0< 0 x − x <δ时，| f (x) − A |<ε. 问题 3 如何给出 f x A x x → lim ( ) 0 和 f x A x →+ lim ( ) 的正面陈述？ 答 f x A x x → lim ( ) 0 的正面陈述： 0 >0， 0 ， x ，0< 0 x − x < ，使得 f (x ) − A ≥ 0 . 或者用邻域形式叙述为： 存在 0 >0，无论 多么小，在点 0 x 的空心邻域 Uº（ x0 ; ）内总存在点 x ，使得 ( ) ( ; ) 0 f x U A . f x A x →+ lim ( ) 的正面陈述： 0 >0，M 0， x >M，使得 f (x ) − A ≥ 0 . 或者：存在 0 >0，无论 M 多大，在 U(+) = x x M 中总存在点 x ，使得 ( ) ( ; ) 0 f x U A . §2 函数极限的性质 问题 1 区间（a，b）上的函数 f (x) 若在定义域中每点处局部有界，试问 f (x) 是否在（a，b） 上有界？是否存在（a，b）上的函数 f (x) ，它在定义域中任何点处都不是局部有界的？ 答 设函数 f (x) ，x(a,b) ， ( , ) x0 a b ，若存在 ( ) 0 U x ， f (x) 在 ( ) 0 U x 内有界，则称 f (x) 在 0 x 局部有界. 函数的局部有界性是局部性概念，而函数在（a，b）上的有界性是整体性概念，两者 含义不同. （a，b）上的有界函数一定在（a，b）内每点局部有界；但在（a，b）内每点处局部有界的函 数不一定是有界函数. 例如：
f(x)=-,x∈(0.1) x0∈(0,1),lm=-,由函数极限的局部有界性定理可知f(x)在点x0处局有部界,但是 f(x)在(0,1)上是无界的 存在(0,1)上的函数f(x),它在(O,1)内任何点都不是局部有界的.例如:定义在(0,1) 上的函数 当x=2,p,q为互质正整数 f(x) 0,当x为(0,1)内的无理数 yxn∈(01),彐有理数列{x,},严格递增,且x1→x,设x1=P,数列{qn}必定无界,这是 qs 因为假如{q}有界,则{x}中最多有限项互不相等,与{x}的严格递增性相矛盾.对x的任何邻域 U(x0),丑K>0,当k>K时,x∈U(x0).由{q4}的无界性,M>0,3x1(k>K),使得 f(x4)=q4>M,即f(x)在点x的任何邻域内无界,即f(x)在(0,1)中任何点处都不是局部有 界的 问题2极限除法法则(2.4)中为什么只假设limg(x)≠0,而不假设g(x)≠0? 答若lmg(x)≠0,由函数极限局部保号性,彐邻域U(x。),ⅵx∈U°(x),f(x)≠0,这就 保证了分式J(x0)内有意义,且mf(x)mf(x) x→g(x)limg(x) 若只设g(x)≠0,有可能img(x)=0,于是极限除法法则不成立.例如g(x)=(x-x0)2,当 x≠x0时,g(x)≠0,但是Img(x)=0 §3函数极限存在的条件 问题1设∫为定义在U°(x0)上的单调有界函数,则f(x0+0)存在但在(3.8)中,若∫为 U°(x0)上的单调函数,则f(x0+0)也存在,那里并不要求有界性条件,为什么? 答在那里∫在U°(x0)上的递增性,保证了∫在U°+(x0)内的有下界性.这是因为取定 x'∈U°(x),x∈U°,(x0),有f(x)≥f(x),即f(x)为f(x)在U°,(x0)内的一个下界,于是 由函数极限的单调有界定理
x f x 1 ( ) = ， x(0,1) . (0,1) x0 ， 0 1 1 lim 0 x x x x = → ，由函数极限的局部有界性定理可知 f (x) 在点 0 x 处局有部界，但是 f (x) 在（0，1）上是无界的. 存在（0，1）上的函数 f (x) ，它在（0，1）内任何点都不是局部有界的. 例如：定义在（0，1） 上的函数 q, 当 q p x = ，p，q 为互质正整数， f (x) = 0， 当 x 为（0，1）内的无理数. (0,1) x0 ， 有理数列 xk ，严格递增，且 0 x x k → . 设 k k k q p x = ，数列 { } qk 必定无界，这是 因为假如 { } qk 有界，则 xk 中最多有限项互不相等，与 xk 的严格递增性相矛盾. 对 0 x 的任何邻域 ( ) 0 U x ， K 0 ，当 k>K 时， ( ) 0 x U x k . 由 { } qk 的无界性， M 0 ， x (k K) k ，使得 f (xk ) = qk M ，即 f (x) 在点 0 x 的任何邻域内无界，即 f (x) 在（0，1）中任何点处都不是局部有 界的. 问题 2 极限除法法则（2.4）中为什么只假设 lim ( ) 0 0 → g x x x ，而不假设 g(x) 0 ？ 答 若 lim ( ) 0 0 → g x x x ，由函数极限局部保号性， 邻域 ( ) 0 U x ， ( ) 0 xU x ， f (x) ≠0，这就 保证了分式 ( ) ( ) g x f x 在 ( ) 0 U x 内有意义，且 lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 g x f x g x f x x x x x x x → → → = . 若只设 g(x) 0 ，有可能 lim ( ) 0 0 = → g x x x ，于是极限除法法则不成立. 例如 2 0 g(x) = (x − x ) ，当 0 x x 时， g(x) 0 ，但是 lim ( ) 0 0 = → g x x x . §3 函数极限存在的条件 问题 1 设 f 为定义在 ( ) 0 U x + 上的单调有界函数，则 ( 0) f x0 + 存在. 但在（3.8）中，若 f 为 ( ) 0 U x 上的单调函数，则 ( 0) f x 0+ 也存在，那里并不要求有界性条件，为什么？ 答 在那里 f 在 ( ) 0 U x 上的递增性，保证了 f 在 ( ) 0 U x + 内的有下界性. 这是因为取定 ( ) 0 x U x − ，x ( ) 0 U x + ，有 f (x) ≥ f (x ) ，即 f (x ) 为 f (x) 在 ( ) 0 U x + 内的一个下界，于是 由函数极限的单调有界定理